3.2 模型方程离散求解

方程组求解时采用非耦合解，每个计算时段分三步计算，首先推求水面线，算出各断面的水力要素；第二步求各河段各组泥沙的冲淤量，包括推移质和悬移质；第三步河床变形计算，包括修改横断面形态及床沙组成。

3.2.1 水流方程求解

采用三级解法对水流方程进行求解，首先对水流方程采用普列斯曼的四点隐式差分格式进行离散，可得差分方程如下：

式中系数均按实际条件推导得出。

假设某河段中有mL个断面，将该河段中通过差分得到的微段方程式（3.10）和式（3.11）依次进行自相消元，再通过递推关系式将未知数集中到汊点处，即可得到该河段首尾断面的水位流量关系：

式中系数α₁，β₁，δ₁，θ_mL，η_mL，γ_mL由递推公式求解得出。

将边界条件和各河段首尾断面的水位流量关系代入汊点连接方程，就可以建立起不同河道各汊点水位为未知量的代数方程组，求解此方程组得各汊点水位，逐步回代可得到河段端点流量以及各河段内部的水位和流量。

3.2.2 泥沙方程求解

（1）悬移质泥沙方程求解。对悬移质泥沙连续方程用显格式离散得

将该方程代入河床变形方程，然后对河床变形方程进行离散得

式中：Δx为空间步长；Δt为时间步长；ΔA_di为悬移质河床变形面积；角标j为时间层。

在求出干支流河道所有断面的水位与流量后，即可根据式（3.14）自上而下依次推求各断面的含沙量，汊点分沙计算采用分沙比等于分流比的模式，最后根据式（3.15）进行河床变形计算。

（2）推移质泥沙方程求解。推移质输沙率采用长江科学院研究的推移质输沙经验曲线求得，输沙曲线的关系式为：

其中

推移质引起的河床变形：

式中：Δx为空间步长；Δt为时间步长；G_b为推移质总输沙率；d为粒径；U为流速；A_b为推移质河床冲淤面积；V_d为近床面流速；h为水深；q_b为推移质单宽输沙率；ΔA_bi为悬移质河床变形面积。

3.2.3 相关问题处理

1.断面修改

修改横断面形态有两种方法，一种是按沿湿周等厚变形修改，另一种是滩槽分配修改。一般宽阔断面淤积时沿湿周等厚分布，冲刷时仅冲槽不冲滩；窄深断面按水平状态进行淤积或冲刷。

2.汊点分流分沙

在水面线计算方程中，过水面积、河宽、流速中隐含未知项，故需试算求解。此方程组中试算次数随河网中河段的数目加大而增加，计算次数越多，引入的舍入误差越大，同时随计算量的增加，计算时间也增加，带来一系列问题。为此，我们引入预分流分沙实时校正法。

3.区间来水

区间流量往往会集中汇入，其影响不容忽视，在非恒定流计算中必须考虑区间流量的汇入。我们将区间流量通过分配到各入汇支流上加入计算河段。