3.3 振动机械弹性元件结合质量的计算

3.3.1 板弹簧结合质量的计算

用于振动机械中的板弹簧有以下三种常见的结构：悬臂式、一端固接一端平移式和中点对两端平移式。它们的结合质量的计算方法不相同。

1. 悬臂式板弹簧（见图3-7a）

单质体式振动输送机有时采用这种结构的板弹簧。根据动能互等条件求板弹簧的结合质量，即整根板弹簧运动时产生的动能，应等于结合质量在板弹簧端点处运动产生的动能。根据材料力学公式，离板弹簧固接点O距离为x的点的变位y，与板弹簧端点的变位y_max有以下关系：

式中 y_max——板弹簧端点的最大变位；

l——板弹簧的有效长度；

x——板弹簧上某点对O点的距离。

式（3-28）表明板弹簧上任意点的变位，相当于板弹簧上端点的变位乘以分式，而该点的速度为

式中——板弹簧端点的速度。

设W₁为板弹簧单位长度的质量，则长度为dx的小段板弹簧的质量为，整根板弹簧的动能则可表示为

对于单质体振动机械，就是机体的运动速度，端点的振幅也就是机体的振幅，而就是转化到端点的板弹簧当量质量，并称它为结合质量。因此，在计算振动质量时，只要计入板弹簧质量的就行了。

2. 一端固接另一端做平移运动的板弹簧（见图3-7b）

单质体式振动输送机有时采用这种结构的板弹簧。根据材料力学公式，该种板弹簧任意的变位y与端点最大变位y_max有以下关系：

任意点的速度与端点最大速度的关系如下：

整根板弹簧的动能为

也就是说，只要将板弹簧质量的作为与机体一起运动的振动质量就行了。

3. 中点对两端做平移运动的板弹簧（见图3-7c）

电磁式振动给料机和振动输送机常常采用这种板弹簧。电磁式振动机械通常为双质体式振动系统，也就是说板弹簧的中点对其两端做相对运动，而板弹簧上某点为不动点。双质体振动输送机里的板弹簧，相当于电磁振动给料机板弹簧的一半，它们结合质量的计算方法是一样的。

这类板弹簧和上述两种单质体振动输送机的板弹簧的差别，在于它的不动点不是在端部，而是在中部某处，如图3-7c中的S点。假设S点在板弹簧长度的1/4处，即当双质体振动机械的两个质体的质量相等时，这相当于长度为l/4的悬臂板弹簧，其悬臂端为铰接固定，而固接端做平移运动的情况，这种情况与图3-7a恰好相反，其任意点的变位y与最大变位y_max的关系为

式中 d——板弹簧的长度。

任意点的速度为

长度为d（其中）的板弹簧的动能可由式（3-36）计算：

这样，对于双质体振动机械，为了近似计算板弹簧的结合质量大小，将板弹簧的全部质量分配到两个振动质体上，然后再乘以就行了。如板弹簧质量为m_s，则分配给m₁的板弹簧质量为，分配给m₂的为（与分别为质体1和2的计算质量）。当时，两者都等于。

3.3.2 圆柱螺旋弹簧结合质量的计算

在振动机械中，广泛采用圆柱形螺旋弹簧。它的结合质量也同样可以根据动能互等条件计算。在图3-8中，l为弹簧的安装长度，和分别为左右振动质体的计算质量。由振动的实际情况可知，只有弹簧两端，即和m₁及m₂连接的地方a₁和a₂点的位移和速度，分别和m₁及m₂的位移和速度相同，离开a₁和a₂点的弹簧上各点的位移与速度就不相同，并且分别自a₁、a₂点按比例递减，直至O点位移和速度均等于零。零点的位置由振动质量的比来决定，即

式中 l₁、l₂——不动点至质体1和质体2的距离；

、——质体1和质体2的计算质量。

由上式可求得以下关系：

式中 l——螺旋弹簧的安装长度。

设s₁和s₂分别为m₁和m₂的变位，则

取弹簧上某任意点至O点的距离为x，则该点的变位为

其速度为

设弹簧单位长度的重量为W₁，则长度为dx的一小段弹簧的质量为，而长度为l₁的这一段弹簧的动能为

和前述板弹簧的情况类似，从式（3-42）可知，只要将该段弹簧质量的计入m₁就行了。设弹簧的全部质量为m_s，则计入m₁的弹簧质量为

同理，计入m₂的弹簧质量为

以上说明是对双质体振动机械而言的。对单质体振动机械，可取，则按式（3-43）可求得，所以，弹簧的结合质量为其全部质量的。

3.3.3 剪切橡胶弹簧结合质量的计算

圆柱形（中空和实心的）橡胶弹簧结合质量计算，可参考圆柱形螺旋弹簧的计算方法。这里只对剪切橡胶弹簧进行分析。

如图3-9所示，设矩形橡胶块的长度为l，厚度为B，由振动的实际情况可知，只有两侧平面与中间平面上橡胶的位移与速度，分别和和相同，离开这两个平面的各点，其位移与速度就不相同。在橡胶弹簧中间的某点，其位移与速度为零。根据质量比的大小，可以求出不同点的位置，即

式中 b₁、b₂——不动点至右侧平面及中间平面的距离。

根据式（3-45），可求出以下关系：

设s₁和s₂分别为和的位移，则有

因此，橡胶弹簧上任意点的位移为

其速度为

设单位厚度弹簧的质量为W₁，则厚度为db的一小片弹簧的质量为，它的动能为

厚度为b₁的这一部分弹簧的动能为

可见橡胶剪切弹簧的结果和前述圆柱螺旋弹簧的结果相同，而且可以得出与式（3-43）和式（3-44）完全相同的结果。

表3-3中列出了单质体与双质体振动机械弹性元件结合质量的计算公式。