2.3　水轮机的效率和基本方程式

2.3.1　水轮机的能量损失和效率

式（2－3）表明，水轮机输出功率恒小于输入功率，这是因为水流在通过水轮机进行能量转换的过程中，会产生各种能量损失。水轮机能量损失包括3部分：水力损失、容积损失和机械损失。水轮机的效率等于输出功率与输入功率的比值，因此损失越大则效率越低。这些损失可分别用水力效率ηh、容积效率ηv和机械效率ηm来衡量。

2.3.1.1　水力损失和水力效率

水轮机工作时，水流流经它的过水部件，如蜗壳、导水机构、转轮及尾水管等，会产生摩擦、撞击、涡流、脱流及尾水管出口（速度水头）等损失，统称为水力损失。它包括两部分：①管流损失，即水流流经过水部件时产生的沿程损失、局部损失，以及出口的流速损失等；②撞击损失和涡流损失，即水流进入和流出水轮机转轮时与叶片发生碰撞和脱流，离开转轮时在尾水管中产生真空涡带造成的损失等。水力损失与水流流速的大小、过流部件的表面形状和粗糙度及水轮机的工作状况有关。

设H为水轮机的工作水头，∑h为从水轮机进口至出口的水头损失，则水轮机的有效水头He为H－∑h，水轮机的水力效率ηh为有效水头与工作水头之比，即

2.3.1.2　容积损失和容积效率

在水轮机运行的过程中，有一小部分流量∑q未能对转轮做功而造成的能量损失称为容积损失。这部分流量包括从水轮机转动部件和固定部件之间的缝隙漏掉的流量以及水斗式水轮机未冲击到水斗上的流量等。设进入水轮机的流量为Q，则实际对转轮做功的有效流量Qe为Q－∑q，水轮机的容积效率ηv为

2.3.1.3　机械损失和机械效率

考虑水力损失、容积损失之后，水流作用在水轮机转轮上的有效功率Pe（kW）为

这部分能量仍然不能全部传递到水轮机轴上输出，因为其中有一小部分要消耗在轴承和止漏装置等处的摩擦上，这些摩擦损失总称为机械损失。机械损失的功率用ΔPm表示，则水轮机的机械效率ηm为

故水轮机的输出功率P（kW）为

所以水轮机的总效率（简称水轮机效率）η为

由上面的分析可知，水轮机的效率随水轮机的型式、尺寸及工作状况的不同而不同。现有的理论公式只能提供定性分析水轮机效率的参数，定量地确定3种效率必须通过模型试验，然后将模型试验所得的效率利用相似理论换算到原型水轮机上。

根据水轮机试验资料，对于一定的转轮直径D、转速n和工作水头H的某一具体水轮机，当流量变化时，水轮机效率与输出功率的关系曲线如图2－8所示。从图2－8中可看出，当D、n、H一定时，容积损失和机械损失基本上是不变的，只有水力损失随水轮机工况的改变有较大的变化且占总损失的绝大部分，其中管流损失随流量（功率）的增加而增加，撞击损失及涡流损失随流量的增加而减小。

图2－9为不同类型的水轮机的效率与输出功率的关系曲线（或称水轮机工作特性曲线），横坐标的功率P采用与最大输出功率的相对百分数表示。可以看出，现代大型水轮机的最高效率可达90%～95%。轴流转桨式水轮机因转轮叶片可以转动以适应工况的变化，故高效率区比较宽；轴流定桨式水轮机的转轮叶片固定不功，偏离最优工况后效率迅速降低；而水斗式水轮机的最高效率与其他机型相比虽然最低，但高效率区却最宽，这是由它的构造特点决定的。各类型水轮机的最高效率点都不是对应最大功率，而在最大功率的85%～90%左右。

2.3.2　反击式水轮机的基本方程式

由动量矩定理可知，在单位时间内水流质点绕主轴动量矩的变化，就等于该水流质点所受的外力矩，而水流质点所受的外力矩恰是水流质点在水轮机转轮叶片上的反作用力对主轴的作用力矩。若用L表示动量矩，用Ma表示转轮对水流质点的作用力矩，则动量矩定律可用下式表示：

下面根据式（2－23）推求水轮机的基本方程式。

1.单位时间内水流通过转轮时动量矩的变化

在反击式水轮机转轮水流绝对速度的正交分解中（图2－4），径向分速度通过轴心，轴向分速度与主轴平行，所以两者都不对主轴产生动量矩，只有圆周切向分速度对主轴产生动量矩。

根据水流连续定律，进入转轮和流出转轮的流量不变，均为有效流量Qe。因此单位时间内进入和流出转轮的水流质量为，其中γ为水的容重，g为重力加速度。

当水轮机正常运行时，转轮中的水流可认为是恒定流。因此只有转轮叶片进、出口两部分产生动量矩变化。即

2.水流所受的外力矩Ma

水轮机转轮结构是轴对称的，其进、出口断面的动水压力及上冠、下环内表面对水流的压力，都由于轴对称而相互抵消，只有叶片对水流的作用力矩构成了Ma。根据式（2－23）和式（2－24）可得

由于Ma与水流对叶片的反作用力矩M大小相等、方向相反，即M＝－Ma。则

式（2－26）给出了水轮机将水能转变为机械能的概念。它说明了水流在转轮中交换能量是由于动量矩的改变，而转换能量的大小则取决于水流在转轮进、出口处速度的大小，也取决于转轮流道的形状和叶片的翼型。

3.水轮机基本方程式

由于水轮机的输出功率等于水流对转轮叶片的反作用力矩M与转轮的旋转角速度ω的乘积，则

水流通过水轮机转轮时，输出功率还可近似表示为

式中：H为水轮机工作水头，m；ηh为水轮机的水力效率。

将式（2－28）代入式（2－27）则可得到水轮机的基本方程式为

也可写为

式（2－29）～式（2－31）均称为水轮机工作的基本方程式，只是表达的形式有所不同，均表明了水轮机的有效水头与转轮叶片进、出口水流速度矩的变化之间的关系。因此水轮机基本方程式给出了水轮机能量参数与运动参数的关系。

水轮机基本方程式还可用环量的形式表示，即

式中：C1为转轮进口处的水流速度环量，C1＝2πr1vu1；C2为转轮出口处的水流速度环量，C2＝2πr2vu2。

此外，由转轮叶片进、出口水流速度三角形得

将式（2－33）和式（2－34）代入式（2－30）得

式（2－35）给出了水轮机有效水头与转轮叶片进、出口水流速度三角形中各项速度之间的关系。

总之，式（2－29）～式（2－32）及式（2－35）均是水轮机基本方程式的不同表达形式，均是针对某一流线导出的，如果用于整个转轮，方程式右侧的各参数均为断面平均值。水轮机基本方程式表明了水轮机水力效率、工作水头和转轮进出口速度矩的变化之间的关系，是水轮机制造厂家进行转轮设计的主要依据。它既适用于反击式水轮机，也适用于冲击式水轮机。

2.3.3　水斗式水轮机的基本方程式

水斗式水轮机的转轮在空气中旋转，自喷嘴喷射出来的射流以很大的绝对速度射向运动着的转轮，如图2－10所示，可由下式求得

式中：μ为喷嘴射流的流速系数，一般取0.97～0.98；H为自喷嘴中心起算的水轮机额定水头，m。

在选定喷嘴数目z0之后，则通过z0个喷嘴的流量Q为

式中：d0为射流的直径，m。

由于流速系数μ的变化很小，可以认为在喷针的所有开度下，射流速度的大小和方向均保持不变。

如图2－10所示的水斗式水轮机进、出口水流速度三角形，当以速度为、直径为d0的射流在以D1为直径的圆周上冲击水斗时，水流在水斗进口处的绝对速度实际上就等于射流速度，即v1＝v0。假定射流在水斗进口和出口的位置距旋转轴的距离相等，则

在水斗进口的速度三角形中，绝对速度的方向角α1非常小，可以认为α1＝0，故

忽略水斗表面的摩擦损失之后，可认为水斗内表面各点处水流的相对速度大小不变，则w2＝w1＝v0－u。由出口速度三角形的几何关系可知

将式（2－38）～式（2－40）代入式（2－31）式得

式（2－41）即为基本方程式在水斗式水轮机上的表达形式，它给出了水斗式水轮机将水能转换为旋转机械能的基本平衡关系。