任务六　弯矩、剪力、荷载集度间的关系

一、弯矩、剪力、荷载集度间的关系

梁在荷载作用下,横截面上将产生弯矩和剪力两种内力。若梁上作用一分布荷载q(x),则横截面上的弯矩、剪力和分布荷载的集度都是x的函数,三者之间存在着某种关系,这种关系有助于梁的内力计算和内力图的绘制。下面从一般情况推导这种关系式。

设梁上作用有任意分布荷载q(x),如图3-27(a)所示,规定q(x)以向上为正、向下为负。坐标原点取在梁的左端。在距左端为x处截取长度为dx的微段梁研究其平衡。微段梁上作用有分布荷载q(x)。由于微段dx很微小,在dx微段上可以将分布荷载看作是均匀的。微段左侧横截面上的剪力和弯矩分别为Q(x)和M(x)；微段右侧截面上的剪力和弯矩分别为Q(x)＋dQ(x)和M(x)＋dM(x),如图3-27(b)所示。

由微段梁平衡条件∑Fy＝0可得

整理得到

即剪力对x的一阶导数等于该截面分布荷载的集度。

由微段梁平衡条件∑MO＝0(矩心O取在右侧截面的形心)可得

略去二阶微量整理得到

即弯矩对x的一阶导数等于该截面的剪力。

将式(3-4)代入式(3-3)又可得

即弯矩对x的二阶导数等于该截面分布荷载的集度。

式(3-3)～式(3-5)就是弯矩、剪力、荷载集度间普遍存在的微分关系式。

二、弯矩、剪力、荷载集度间的关系在内力图绘制中的应用

在数学上,一阶导数的几何意义是曲线上切线的斜率。所以,分别代表剪力图、弯矩图上的切线的斜率。＝q(x)表明：剪力图曲线上某点处切线的斜率等于该点处分布荷载的集度。＝Q(x)表明：弯矩图曲线上某点处切线的斜率等于该点的剪力值。二阶导数＝q(x)可以用来判断弯矩图曲线的凹凸性。

根据上述各关系式及其几何意义,可得画内力图的一些规律：

(1)q(x)＝0时。当梁段上没有分布荷载作用时,q(x)＝0,由＝q(x)＝0可知,Q(x)＝常量,此梁段的剪力图为水平线。由＝Q(x)＝常量可知,M(x)为x的线性函数,此梁段的弯矩图为斜直线。当Q(x)＞0时,M(x)为增函数,弯矩图为向右下斜直线；当Q(x)＜0时,M(x)为减函数,弯矩图为向右上斜直线。

(2)q(x)＝常量时。当梁段上作用有均布荷载时,q(x)＝常量,由＝q(x)＝常量可知,Q(x)为x的线性函数,此梁段的剪力图为斜直线。由＝q(x)可知,M(x)为x的二次函数,此梁段的弯矩图为二次曲线。当均布荷载向下作用时,＝q(x)＜0,Q(x)为减函数,剪力图为向右下斜直线；由＝q(x)＜0可知,弯矩图应向下凸。当均布荷载向上作用时,＝q(x)＞0,Q(x)为增函数,剪力图为向右上斜直线；由＝q(x)＞0可知,弯矩图应向上凸。由＝Q(x)可知,在Q(x)＝0处M(x)有极值,即剪力等于零的截面上弯矩有极大值或极小值。

(3)集中力F作用处。如上任务所述,在集中力作用处,剪力图发生突变,且突变值等于该集中力的大小；弯矩图出现尖角,且尖角的方向与集中力的方向相同。

(4)集中力偶作用处。如上任务所述,在集中力偶作用处,剪力图不变化；弯矩图发生突变,且突变值等于该集中力偶的力偶矩。

掌握上述荷载与内力图之间的规律,将有助于绘制和校核梁的剪力图和弯矩图。将这些规律列于表3-1。根据表中所列各项规律,只要确定梁上几个控制截面的内力值,就可按梁段上的荷载情况直接画出各梁段的剪力图和弯矩图。一般取梁的端点、支座及荷载变化处为控制截面。如此,绘梁的内力图不需列内力方程,只求几个截面的剪力和弯矩,再按内力图的特征画图即可,非常简便。这种画图方法称为简捷法。下面举例说明。

【例3-12】　用简捷法绘出图3-28(a)所示简支梁的内力图。

解：求支座反力为

根据荷载变化情况,该梁应分为AC、CB两段。

(1)剪力图。CB梁段有均布荷载,剪力图为斜直线,可通过QC＝6kN,QB左＝-FB＝-18kN画出。该梁段Q＝0处弯矩有极值。设该截面到B支座距离为a,极值点位置计算：

AC梁段无外力,剪力图为水平线,可通过Q＝FA＝6kN画出。剪力图如图3-28(b)所示。由图可见,|Q|max＝18kN,作用在B左截面。

(2)弯矩图。AC梁段无外力,弯矩图为斜直线,可通过MA＝0,MC左＝FA×2＝12(kN·m)画出。

CB梁段有向下的均布荷载,弯矩图为下凸的二次抛物线。可通过MC右＝MC左＋m＝24(kN·m),MB＝FBa-＝27(kN·m)画出。

弯矩图如图3-28(c)所示。由图可见,|M|max＝27kN·m,作用在距B支座3m处。

【例3-13】　试绘制图3-29(a)所示外伸梁的剪力图和弯矩图。

解：求支座反力为

梁分段为AC、CD、DB、BE四段。

(1)剪力图。先确定各控制截面内力,再按内力图特征画图。

AC段：QA右＝FA＝7kN,QC左＝QA右-q×4＝3kN

CD段：QC右＝QC左-F＝1kN,QD＝QC右-q×4＝-3kN

因Q变号,M有极值。Q＝0截面位置可由几何关系确定,如图3-29(d)所示。

剪力图如图3-29(b)所示。由图可见,|Q|max＝7kN,作用在截面A右。

(2)弯矩图。

弯矩图如图3-29(c)所示。由图可见,|M|max＝20.5kN·m,作用在距A支座5m处。

简捷法绘制梁内力图的步骤如下：

1)求支座反力。

2)根据外力情况将梁分段,一般分界截面即梁内力图的控制截面。

3)确定各控制截面内力值。

4)根据各梁段内力图特征,逐段画内力图。

5)校核内力图并确定内力最大值。