任务三　力矩和力偶

一、力对点之矩

力对刚体的运动效应包括移动效应和转动效应。其中,力对刚体的移动效应用力矢来度量；而力对刚体的转动效应可用力对点之矩来度量。

考察图1-12所示扳手拧螺栓的情形。在扳手A点加力F,将使扳手和螺母一起绕螺母中心O转动。力F使扳手绕O点转动的效应,不仅与力F的大小成正比,而且还与O点到力的作用线的垂直距离d成正比。另外,力的方向不同,扳手绕O点转动的方向也随之改变,即用扳手既可以拧紧螺栓,又可以松开螺栓,转动效果是不同的。因此,可以用力F的大小与O点到力F作用线的垂直距离d的乘积,再冠以正负号来表示力F使物体绕O点转动的效应,称为力F对O点之矩,简称力矩。用符号mO(F)表示力矩,即

其中,O点称为“力矩中心”,简称“矩心”；矩心O到力的作用线的垂直距离d称为“力臂”；力F与矩心O所确定的平面称为力矩平面。在平面图形中,矩心为一点,实际上它表示过该点且垂直于图平面的轴线。

式(1-3)中的正负号表示在力矩平面内力使物体绕矩心转动的方向,一般规定：力使物体绕矩心逆时针方向转动时,力矩为正；反之,力矩为负。可见,在平面问题中,力对点之矩只取决于力矩的大小和转向。因此,力矩是代数量。力矩的单位为N·m或kN·m。

由图1-13可以看出,力F对O点之矩的大小,即F·d,它在数值上等于以力F为底边、矩心O为顶点所构成的△OAB面积的2倍,即

式中：S△OAB为△OAB的面积。

矩心O不仅可以取在物体绕之转动的固定支点,而且还可以取在物体上或物体外任意一点。

由力矩的定义可以得出如下结论：

(1)力对点之矩不仅与力的大小和方向有关,而且与矩心位置有关。同一个力对不同点的力矩,一般是不相同的。

(2)当力的大小为零或力的作用线通过矩心(即力臂d＝0)时,力矩恒等于零。

(3)当力沿其作用线滑动时,不改变力对指定点之矩。

二、合力矩定理

平面力系的合力对平面内任一点之矩,等于其各分力对同一点之矩的代数和。

证明：如图1-14所示,已知正交两分力F1、F2作用于物体上A点,其合力为FR。在力系平面内任取一点O为矩心。以O为坐标原点,建立直角坐标系xOy,并使Ox、Oy轴分别与力F2和F1平行。设A点的坐标为(x,y),合力FR与x轴的夹角为α。根据力对点之矩的定义可得

由图1-14可见,d＝OCcosα＝(y-stanα)cosα,所以有

应当指出,虽然这个定理是由两个共点的正交力组成的简单力系导出的,但是它适用于任何平面力系。合力矩定理给出了合力和其各分力对同一点力矩的关系。由此可简化力矩的计算。

【例1-1】　试计算图1-15中力F对A点之矩,已知F、a、b。

解：本例可有两种解法。

(1)由力矩的定义计算力F对A点之矩。

求力臂d,由图中几何关系得

所以

(2)根据合力矩定理计算F对A点之矩。

将力F在C点分解为正交的两个分力Fx和Fy。由合力矩定理可得

本例两种方法的计算结果是相同的,而当力臂不易确定时,用后一种方法较为简便。

【例1-2】　已知挡土墙重FG＝75kN,铅垂土压力FN＝120kN,水平土压力FH＝90kN,如图1-16所示。试分析挡土墙是否会绕A点倾倒。

解：挡土墙受自重和土压力作用,其中水平土压力对A点的力矩m倾有使挡土墙绕A点倾倒的趋势,而自重和铅垂土压力对A点的力矩m抗起着抵抗倾倒的作用。若m抗＞m倾,挡土墙不会绕A点倾倒；若m抗＜m倾,挡土墙将会绕A点倾倒。

由于|m抗|＞m倾,所以挡土墙不会绕A点倾倒。

三、力偶及其性质

(一)力偶

大小相等、方向相反且不共线的两个平行力组成的力系,称为力偶。

力偶常用记号(F,F')表示。力偶中两力作用线所确定的平面称为力偶作用面,两力作用线之间的垂直距离称为力偶臂,如图1-17所示。

在日常生活和工程实际中,物体受力偶作用的情形是常见的。如图1-18(a)所示,钳工用丝锥在工件上加工螺纹孔时,双手加在铰杠两端的力；又如图1-18(b)所示,汽车司机转动方向盘时,双手加在方向盘上的两个力。此外,人们用手拧水龙头、瓶盖等,都是物体受力偶作用的例子。

需要注意的是,组成力偶的两个力虽然等值、反向,但由于不在一条直线上,因此力偶并不是平衡力系。力偶仅对刚体产生转动效应。

(二)力偶矩

实践表明,平面力偶对物体的作用效应取决于组成力偶的力的大小和力偶臂的长短,同时也与力偶在其作用平面内的转向有关。因此,可以用力偶中力F的大小与力偶臂的乘积F·d,再冠以适当的正负号来度量力偶对物体的转动效应。力与力偶臂的乘积称为力偶矩,用符号m(F,F')表示,简记为m,即

在平面问题中,力偶矩是代数量,其绝对值等于力的大小与力偶臂的乘积,正负号表示力偶的转向,通常规定：力偶使物体逆时针方向转动时,力偶矩为正；反之为负。

力偶矩的单位与力矩单位相同,即为N·m或kN·m。力偶矩的大小、力偶的转向、力偶的作用平面称为平面力偶的三要素。

(三)力偶的性质

力和力偶是静力学中两个基本要素。由力偶的定义及其对刚体的作用效应,可得力偶的如下性质：

(1)力偶不能简化为一个力,即力偶不能与一个力等效,也不能与一个力平衡,力偶只能与力偶平衡。

(2)力偶对其作用平面内任一点之矩恒等于力偶矩,与矩心位置无关。

证明：设有力偶(F,F'),其力偶矩m＝F·d,如图1-19所示。在力偶作用平面内任取一点O为矩心。设O点到力F'作用线的垂直距离为x。力偶对O点的力矩,即组成力偶的两个力对O点力矩的代数和为

这个性质表明,力偶使物体绕其作用面内任一点的转动效应都是相同的。

(3)作用在同一平面内的两个力偶,若两者力偶矩大小相等,转向相同,则两力偶等效。

由力偶的等效性质可以得出以下两个推论：

推论1：只要保持力偶矩的大小和转向不变,力偶可以在其作用平面内任意转移,而不改变它对刚体的作用效应。即力偶对刚体的作用效应与力偶在其作用平面内的位置无关。

推论2：只要保持力偶矩的大小和转向不变,可以同时改变组成力偶的力的大小和力偶臂的大小,而不改变力偶对刚体的作用效应。

此外,还可以证明：只要保持力偶矩的大小和转向不变,力偶可以从一个平面移至另一个与之平行的平面,而不会改变对刚体的效应。

关于力偶等效的性质和推论,不难通过实践加以验证。如钳工用丝锥加工螺纹和司机转动方向盘,只要保持力偶矩大小和转向不变,双手施力的位置可以任意调整,其效果相同。由力偶的性质可知,在平面问题中,力偶对刚体的转动效应完全取决于力偶矩。因此,分析与力偶有关的问题时,不必知道组成力偶的力的大小和力偶臂的长度,只需知道力偶矩的大小和转向即可,故可以用带箭头的弧线来表示力偶,如图1-20所示。图中弧线所在的平面代表力偶作用面,箭头表示力偶的转向,m表示力偶矩的大小。

四、力的平移定理

力的可传性表明,力可以沿其作用线滑移到刚体上的任意一点,而不改变力对刚体的作用效应。但当力平行于原来的作用线移动到刚体上任意一点时,力对刚体的作用效应便会改变。为了将力等效地平行移动,有如下的定理：

力的平移定理：作用于刚体上的力可以平行移动到刚体上任意一点,为保持原有的作用效应,必须同时附加一个力偶,附加力偶的力偶矩等于原来的力对平移点的力矩。

证明：设力F作用于刚体上A点,如图1-21(a)所示。为将力F等效地平行移动到刚体上任意一点B,为此,根据加减平衡力系公理,在点B加上两个等值、反向的力F'和F″,并使F'＝-F＝F,如图1-21(b)所示。显然,力F、F'、F″组成的力系与原来的力F等效。由于在力系(F,F',F″)中,力F与力F″等值、反向且作用线平行,它们组成力偶(F,F″)。于是,作用在B点的力F'和力偶(F,F″)与原力F等效,亦即把作用于A点的力F平行移动到任一点B,但同时附加了一个力偶,如图1-21(c)所示。由图可见,附加力偶的力偶矩为

力的平移定理表明,一个力可以分解为作用在同一平面内的一个力和一个力偶；反之,也可以将同一平面内的一个力和一个力偶合成为作用在另一点的一个力。

力的平移定理不仅是力系向一点简化的依据,而且可以用来分析工程中某些力学问题。如图1-22所示的偏心受压柱,若将偏心压力F平移到柱截面形心O处,便得到一个中心压力F'和一个力偶矩为m的力偶。力F'使柱产生压缩变形,而力偶使柱产生弯曲变形。可见,偏心受压对构件的安全是不利的。

应当注意的是,力的平移定理只适用于刚体,而不适用于变形体,并且力只能在同一刚体上平行移动。