第2章 测量基础知识

2.1 地面点位置的表示方法

2.1.1 地球的形状和大小

测量工作是在地球的表面上进行的，因此有必要先了解地球的形状和大小，理解和掌握重力、铅垂线、水准面、大地水准面、参考椭球面和法线等概念，并了解它们之间的关系。

地球表面不平坦也不规则，有高山、丘陵、平原、江、河、湖、海等，海洋面积约占71%，陆地面积约占29%，珠穆朗玛峰海拔高达8844.43m，马里亚纳海沟深达海平面以下11022m。

尽管地球的自然表面是高低起伏的，但相对于地球庞大的形体来说，还是很有限的，不妨将地球总的形状看成是一个被海水包围的球体。也就是设想一个静止的海水面，向陆地延伸而形成一个封闭的曲面，把这个静止的水面称为水准面。受潮汐影响，水准面有无数个，其中与平均海水面吻合的水准面称为大地水准面，它所包围的形体称为大地体。

如图2.1所示，由于地球的自转，其表面的质点P除受万有引力的作用外，还受到离心力的影响。P点所受的万有引力与离心力的合力称为重力，重力的方向称为铅垂线方向。

图2.1 地球自然表面、水准面、大地水准面、参考椭球面、铅垂线、法线间的关系

由于地球内部物质的密度分布不均匀，造成地球各处万有引力的大小不同，致使重力方向产生变化，所以大地水准面仍是有微小起伏、不规则、很难用数学方程表示的复杂曲面。如果将地球表面上的物体投影到这个复杂曲面上，计算起来将非常困难。为了解决投影计算问题，选择一个与大地水准面非常接近、能用数学方程表示的椭球面作为投影基准面。这个椭球面是由长半轴为a、短半轴为b的椭圆NESW绕其短轴NS旋转而成的旋转椭球面。旋转椭球又称参考椭球，所以，其表面又称参考椭球面。

由地表任一点向参考椭球面所作的垂线称为法线，地表点的铅垂线与法线一般不重合，其夹角δ称为垂线偏差。

决定参考椭球大小的元素为椭圆的长半轴a和短半轴b。此外，根据a和b定义了扁率α，其定义为长、短半轴之差与长半轴之比，即

a、b和α称为参考椭球元素。现将我国建立大地测量坐标系采用过的两套参考椭球元素值及GPS测量使用的WGS-84坐标系参考椭球元素值列于表2.1中。

地球的扁率是很小的，因此，当测区范围不大时，可以将参考椭球近似看作为圆球，其半径=6371km。

决定参考椭球相对于地球的位置称为参考椭球定位，参考椭球面与大地水准面相切的点称为大地原点，该点的铅垂线与法线重合。新中国成立以来，我国先后两次选用不同的地球椭球元素以解决椭球体的定位，使其尽量与大地体吻合并建立大地测量坐标系。

新中国成立初期，采用苏联克拉索夫斯基椭球体元素，依此建立了“1954年北京坐标系”，其大地原点位于苏联西北部（现俄罗斯圣彼得堡）的普尔科沃。

20世纪80年代，采用国际大地测量与地球物理协会（IUGG）1975年推荐的地球椭球体元素，在我国陕西省泾阳县永乐镇设大地原点，建立了新的大地测量基准，即“1980西安坐标系”。1980西安坐标系的大地原点如图2.2所示，其中图2.2（a）为大地原点所在地的大门，图2.2（b）为大地原点的塔楼，图2.2（c）为大地原点的标志。

图2.2 1980西安坐标系大地原点

2.1.2 地面点的坐标

测绘工作的实质即确定地面点的空间位置，而空间点的位置是用它的坐标和高程来表示的。测绘上常用的坐标系有地理坐标系和平面直角坐标系。

2.1.2.1 地理坐标系

按坐标系所依据的基本线和基本面的不同以及求取坐标方法的不同，地理坐标系又分为天文地理坐标系和大地地理坐标系两种。

1.天文地理坐标系

天文地理坐标又称天文坐标，表示地面点在大地水准面上的位置，其基准是铅垂线和大地水准面，用天文经度λ和天文纬度φ两个参数来表示地面点在球面上的位置。

如图2.3所示，过地面上任一点P的铅垂线与地球旋转轴NS所组成的平面称为该点的天文子午面，天文子午面与大地水准面的交线称为天文子午线，也称经线。过英国格林尼治天文台G的天文子午面为首子午面。

P点天文经度λ定义为：过P点的天文子午面与首子午面的两面角，从首子午面向东或向西计算，取值范围是0°～180°，在首子午线以东为东经，以西为西经；P点天文纬度φ定义为：P点铅垂线与赤道面的夹角，自赤道起向南或向北计算，取值范围为0°～90°，在赤道以北为北纬，以南为南纬。

图2.3 天文地理坐标系

2.大地地理坐标系

图2.4 大地地理坐标系

大地地理坐标又称为大地坐标，表示地面点在参考椭球面上的位置，基准是参考椭球面和法线，用大地经度L和大地纬度B表示。

如图2.4所示，P点大地经度L定义为：过P点的大地子午面和首子午面所夹的两面角；P点大地纬度B定义为：过P点的法线与赤道面的夹角。大地经、纬度是根据起始大地点的大地坐标，按大地测量所得数据推算而得。起始大地点又称为大地原点，该点的大地经纬度与天文经纬度一致。我国以陕西省泾阳县永乐镇大地原点建立的大地坐标系，即“1980西安坐标系”，其地理坐标为东经108°55′、北纬34°32′。

2.1.2.2 平面直角坐标系

1.地球投影概述

球面坐标对局部测量工作很不方便，局部测量计算最好在平面上进行，但地球是一个不可展的曲面，须通过投影方法将地球表面上的点位化算到平面上。投影的方法有多种，为了便于研究和使用，有必要进行适当分类。

（1）按投影面分类。按投影面形态不同，可以将投影分为圆锥投影、圆柱投影和方位投影。

1）圆锥投影。想象用一个巨大的圆锥体罩住地球，把地表的位置投影到圆锥面上，然后沿着一条经线将圆锥切开展成平面。圆锥体罩住地球的方式可以有两种情形，即与地球相切（单割线）、与地球相割形成两条与地球表面相割的割线（双割线）。

2）圆柱投影。用一个圆柱体罩住地球，把地表的位置投影到圆柱体面上，然后将圆柱体切开展成平面。圆柱投影可以作为圆锥投影的一个特例，即圆锥的顶点延伸到无穷远。

3）方位投影。以一个平面作为投影面，切于地球表面，把地表的位置投影到平面上。方位投影也可以作为圆锥投影的一个特例，即圆锥的夹角为180°，圆锥变为平面。

（2）按投影面与地球椭球体的相对位置分类。根据投影面与地球椭球体的相对位置的不同，可以将投影分为正轴投影、斜轴投影和横轴投影。

1）正轴投影。投影面的轴（圆锥圆柱的轴线，平面的法线）与地球椭球体的旋转轴重合，也称正常位置投影，或称极投影。

2）斜轴投影。投影面的轴（圆锥圆柱的轴线，平面的法线）既不与地球椭球体的旋转轴重合，也不与赤道面重合，也称水平投影。

3）横轴投影。投影面的轴（圆锥圆柱的轴线，平面的法线）与地球赤道面重合，也称赤道投影。

（3）按投影后的几何变形分类。按照投影后的几何变形，可以将投影分为等角投影、等面积投影和等距离投影。

1）等角投影又称正形投影。地面上的任意两条直线的夹角，在经过地球投影绘制到平面图纸上以后，其夹角保持不变。

2）等面积投影。地面上的一块面积，在经过地球投影绘制到平面图纸上以后，面积保持不变。

3）等距离投影。地面上的两个点之间的距离，在经过地球投影绘制到平面图纸上以后，距离保持不变。

综上所述，投影名称可以结合上述3种分类方法，即投影面形状、投影面与地球椭球体的位置、投影后的变形性质，加以命名，如正轴等角圆锥投影、正轴等角圆柱投影等。下面介绍几种最常用的投影方法及以此建立的平面直角坐标系。

2.墨卡托投影

墨卡托投影是一种等角正切圆柱投影，荷兰地图学家墨卡托（Gerhardus Mercator，1512—1594年）在1569年拟定。假设地球被围在一中空的圆柱里，其标准纬线与圆柱相切接触，然后再假想地球中心有一盏灯，把球面上的图形投影到圆柱体上，再把圆柱体展开。

墨卡托投影没有角度变形，由每一点向各方向的长度比相等，它的经纬线都是平行直线，且相交成直角。经线间隔相等，纬线间隔从标准纬线向两极逐渐增大。墨卡托投影长度和面积变形明显，但标准纬线无变形。从标准纬线向两极变形逐渐增大，但因为它具有各个方向均等扩大的特性，保持了方向和相互位置关系的正确。

取零子午线或自定义原点经线与赤道交点的投影为原点，零子午线或自定义原点经线的投影为纵坐标x轴，赤道的投影为横坐标y轴，构成墨卡托平面直角坐标系。

在地图上保持方向和角度的正确，是墨卡托投影的优点，所以墨卡托投影地图常用作航海图和航空图，如果循着墨卡托投影图上两点间的直线航行，可以方向不变一直到达目的地，因此它对舰船在航行中定位、确定航向具有有利条件，给航海者带来很大方便。

3.高斯-克吕格投影及高斯平面直角坐标系

高斯投影是德国科学家高斯（Gauss）在1820—1830年间提出的一种投影方法，从1912年起，德国学者（大地测量学家）克吕格（Kruger），将高斯投影公式加以整理和扩充，并推导出了实用计算公式，所以完整地称其为高斯-克吕格投影，一般简称高斯投影。

如图2.5所示，高斯投影是将地球按经线划分成带，称为投影带。投影时，设想用一个空心椭圆柱横套在参考椭球外面，使椭圆柱与某一中央子午线相切，将椭球面上的图形，按保角投影的原理投影到圆柱体面上，将圆柱体沿过南北极的母线切开，展开成平面，并在该平面上定义平面直角坐标系。

图2.5 高斯投影与高斯平面直角坐标系

高斯投影是保角投影，球面上的角度投影到横椭圆柱面上后保持不变，而距离将变长，只有中央子午线和赤道投影后距离不变，并相互垂直，以此建立的直角坐标系称为高斯平面直角坐标系。

高斯平面直角坐标系与数学的笛卡儿坐标系比较，x轴与y轴互换了位置，其象限按顺时针方向编号，这样做是为了将数学上定义的各类三角函数，在高斯平面直角坐标系中直接应用，无需作任何改变。

我国采用的即是高斯—克吕格投影。我国位于北半球，x坐标值恒为正，y坐标值则有正有负，最大的y坐标负值约为-334km。为保证y坐标恒为正，统一规定将每带的坐标原点向西移500km，即给每个点的y坐标值加500km。为确定投影带的位置，还在y坐标前冠以带号。

高斯投影距离变形的规律是，离中央子午线越远，距离变形越大，减小距离变形的方法是缩小投影带的带宽。带宽用投影带两边缘子午线的经度差表示，常用带宽为6°、3°和1.5°，分别简称为6°、3°和1.5°带投影。国际上对6°和3°带投影的中央子午线有统一规定，满足这一规定的投影，称为统一6°带投影和统一3°带投影。统一6°带投影与3°带投影的关系如图2.6所示。

图2.6 统一6°带投影与3°带投影的关系

（1）统一6°带高斯投影。投影带从首子午线起，每隔经度6°划分为一带（称统一6°带），自西向东将整个地球划分为60个带，带号N从首子午线开始，用阿拉伯数字表示。位于各带中央的子午线称为本带中央子午线，第一个6°带中央子午线的经度为3°。带号N与中央子午线经度L₀的关系为

若已知地面任一点的经度L，则计算该点所在的统一6°带带号的公式为

式中 Int——取整函数。

（2）统一3°带高斯投影。统一3°带投影的中央子午线经度与带号n的关系为

若已知地面任一点的经度L，则计算该点所在的统一3°带带号的公式为

图2.7 中国所处统一6°投影带带号及中央子午线经度

中国所处的经度范围是东经73°27′～135°09′，统一6°带投影与统一3°带投影的带号范围分别为13～23和25～45，两种投影带的带号不重复，根据y坐标前的带号可以判断属于何种投影带。中国统一6°带投影的分布情况如图2.7所示。

（3）UTM投影。UTM是Universal Transverse Mercator的首字母，意即通用横轴墨卡托投影。UTM投影是一种等角横轴割圆柱投影，椭圆柱割地球于南纬80°、北纬84°两条等高圈，如图2.8所示。投影分带方法与高斯—克吕格投影相似，是自西经180°和西经174°之间为起始带（1带），每隔经差6°自西向东分带，将地球划分为60个投影带，依次为1，2，3，…，60连续编号。

图2.8 UTM投影

与高斯投影相似，UTM投影角度没有变形，中央经线为直线且为投影的对称轴。中央经线长度变化比例因子取0.9996，投影后保证中央经线左右两条割线没有变形，即有两条不失真的经线。离开这两条割线越远变形越大，在两条割线以内长度变形为负值，在两条割线以外长度变形为正值。它的平面直角坐标系建立方法与高斯投影相同，和高斯投影坐标系有一个简单的比例关系，即有的文献表述的：UTM投影是0.9996的高斯投影。UTM投影由美国军事测绘局1938年提出，1945年开始采用。使用时直角坐标的实用公式为

高斯投影与UTM投影都是横轴墨卡托投影的变种。目前，一些国外的软件或国外进口仪器的配套软件，往往不支持高斯投影，但支持UTM投影，因此常有把UTM投影当作高斯投影的现象。从计算结果看，两者主要差别在比例因子上，高斯投影中央经线上的比例系数为1，UTM投影为0.9996。有文献采用以下方式进行坐标转换，即

注意：如果坐标纵轴西移了500000m，转换时必须将y值减去500000m后再乘比例因子，然后再加上500000m。

4.独立平面直角坐标系

图2.9 独立测量平面直角坐标系

当测区范围小，可选择任意原点和坐标轴建立平面直角坐标系，称为独立平面直角坐标系，如图2.9所示。注意：独立平面直角坐标系也是将坐标轴x、y与数学笛卡儿坐标系互换了位置，且象限按顺时针方向编号，这样做同样是为了直接应用数学上各类三角函数公式。

2.1.3 地面点的高程

2.1.3.1 高程的定义

地面点沿铅垂线到大地水准面的距离称为该点的绝对高程或海拔，简称高程。通常用大写英文字母H加点名作下标表示，如图2.10中H_A、H_B分别表示A点和B点的高程。高程系是一维坐标系，基准是大地水准面。

图2.10 高程与高差的定义及其相互关系

因海水面受潮汐、风浪等影响，它的高低时刻在变化，在海边设立验潮站，进行长期观测，求得海水面的平均高度作为高程零点，以通过该点的水准面（大地水准面）为高程基准面，也即大地水准面上的高程为零。

在局部地区，当无法获得绝对高程时，可假定一个水准面作为高程起算面，地面点到假定水准面的铅垂距离，称为假定高程或相对高程，通常用H′加点名作下标表示，如图2.10中A、B两点的相对高程表示为。

地面两点间的绝对高程或相对高程之差称为高差，用h加两点点名作下标表示，如图2.10中A、B两点高差为

2.1.3.2 国家高程基准

我国以青岛大港验潮站历年观测的资料计算黄海平均海水面，作为高程基准面，并于1954年在青岛市观象山建立了水准原点，用玛瑙石作水准原点标志，如图2.11（a）所示，设在青岛市观象山验潮站的一间特殊的石屋内，如图2.11（b）所示。

图2.11 国家水准原点

通过水准测量的方法，将验潮站确定的高程零点引测到水准原点，求出水准原点的高程。

1.1956年黄海高程系

1956年，采用青岛大港验潮站1950—1956年7年的潮汐记录资料，以此推算出的大地水准面为基准，引测出水准原点的高程为72.289m，如图2.12（a）所示，以这个大地水准面为高程基准建立的高程系称为“1956年黄海高程系”，简称“56高程系统”。

图2.12 水准原点高程

2.1985国家高程基准

20世纪80年代，又采用青岛验潮站1952—1979年的潮汐记录资料推算出的大地水准面为基准，引测出水准原点的高程为72.260m，如图2.12（b）所示，以这个大地水准面为高程基准建立的高程系称为“1985国家高程基准”，简称“85高程基准”。

由于水准原点实际高程并非为海拔0m，2006年，经国家测绘局批准，由专家精确移植水准原点信息数据，在青岛银海大世界内建起了“中华人民共和国水准零点”。水准零点标志雕塑，底座像一个铅锤，顶部为一地球仪，如图2.13（a）所示；在雕塑的下面是一个观测井，井底设有一个红色玛瑙球，如图2.13（b）所示，这个球体的顶平面就是海拔0m的地方。

图2.13 国家水准零点