2.5 测量误差基本知识

2.5.1 测量误差概述

2.5.1.1 测量误差

测量工作的实践表明，尽管是使用精密的仪器，采取合理的观测方法，观测者的工作态度也是认真负责的，但对同一数值的多次观测，各个观测值之间往往还是存在差异。例如，对一段距离测量若干次，测得的结果常常不会完全相等。又如，观测平面三角形的3个内角若干次，其观测值之和往往不等于理论值180°。在测量中，经常而又普遍发生的这种差异，称为测量误差或观测误差。

任何一个观测量，客观上必定存在一个能代表其真正大小的数值，将这一数值称为该观测量的真值。设对某量观测n次，观测值为l₁，l₂，…，l_n，又设真值为X，则有

式中 Δ_i——测量误差（观测误差），通常称为真误差，简称误差。

2.5.1.2 测量误差的来源

测量误差的产生有多方面的原因，可以归纳为以下3个方面。

（1）任何测量仪器，不论多么精密，其准确度都是有一定的限度，由此观测所得的数据必然带有误差。此外，测量仪器的构造也不可能十分完善，也就是各部件之间，不可能完全达到理论上要求的关系，由此也会使观测结果受到一定的影响。

（2）观测者进行测量工作是通过感觉器官进行的，而人的感觉器官的鉴别能力有一定的局限性，所以在仪器的安置、照准、读数等方面都会产生误差。此外，观测者的技术水平和工作态度也会对测量结果产生相关的影响。

（3）观测时所处的外界条件，如温度升降、湿度变化、风吹、日晒、振动、大气折光等都会给测量结果带来种种影响。

把上述3个方面的原因综合起来，称为观测条件，即观测条件包含仪器因素、观测者因素、外界条件因素。把观测条件相同的各次观测，称为等精度观测，而观测条件不同的各次观测，称为非等精度观测。

显然，观测条件的优劣，与观测精度密切相关，观测条件优则观测成果的精度就会高，观测条件劣则观测成果的精度就会低。

2.5.1.3 测量误差分类

测量误差，按其对测量结果影响的性质，可分为以下两大类。

1.系统误差

在相同的观测条件下，对某量进行一系列的观测，若误差在符号、大小上表现出系统性，即在观测过程中保持为常数或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。

例如，用名义长为30m的钢尺量距，若该尺的实际长度为30.003m，则每量一尺段，就会产生0.003m的系统误差。

系统误差具有累积性，对测量结果影响甚大。但由于它的符号与大小有一定的规律性，所以，系统误差可以用计算的方法加以改正，或用一定的观测方法来消除其影响。例如，在使用钢尺进行量距时，可以用尺长方程式对观测结果进行尺长改正。又如，在水准测量时，采取使前、后视距相等的观测方法可以消除或减弱i角误差对水准测量的影响。

2.偶然误差

在相同的观测条件下，对某数值进行一系列的观测，若误差在符号、大小上表现出偶然性，即从单个误差看，该列误差的大小和符号没有规律性，但就大量误差的总体而言，具有一定的统计规律，这种误差称为偶然误差。

读数误差、照准误差、对中误差等均属于偶然误差。对于单个的偶然误差，由于其出现的符号及大小无规律性，故无法像系统误差那样通过各种手段来消除或减弱其影响，但就大量的偶然误差总体而言，则具有一定的规律性，而且误差的个数越多，规律性越明显。

系统误差与偶然误差在观测过程中往往是同时产生的，当观测中有显著的系统误差时，偶然误差就处于次要地位，测量误差呈现出系统的性质；反之，则呈现出偶然误差的性质。通常在各种测量工作中，人们总是根据系统误差的规律性，采取前面所述的各种方法来消除或减弱其影响，使系统误差处于次要地位，此时，观测结果可以认为只是带有偶然误差的观测值。因此，研究偶然误差的统计性质和如何对一系列偶然误差占主导地位的观测值进行数据处理，就成为测量数据处理的重要内容之一。

在测量中，除了不可避免的误差外，还可能产生错误，如在观测时读错数、记录时记错数、照准瞄错目标等。错误一般都是由于观测者的疏忽大意造成的。在测量结果中是不允许存在错误的，因此，在观测时必须及时发现和更正错误。

2.5.1.4 多余观测

由于观测结果中不可避免地存在着偶然误差的影响，因此，在实际工作中，为了提高成果的质量，以及发现观测值中有无错误，必须进行多余观测。多余观测，即观测值的个数多于确定未知量所必须观测的个数。例如，丈量距离，往返各测一次，则有一次多余；测一平面三角形的3个内角，则有一角多余。有了多余观测，势必在观测结果之间产生矛盾，在测量上称为不符值，也称闭合差。因此，必须对这些带有偶然误差的观测成果进行处理，此项工作在测量上称为测量平差。

2.5.1.5 偶然误差特性

前已述及，在测量工作中，错误是不允许存在的，系统误差是可以消除或减弱其影响的，因此，观测结果即为一系列偶然误差占主导地位的观测值。为了对这样的观测值进行数据处理，就必须进一步研究偶然误差的统计规律性，从而提高测量结果的精度。

为了研究偶然误差的规律性，做了这样一个试验：在相同的观测条件下，对一个三角形的内角独立观测了358次。由于在观测结果中存在偶然误差，三角形的3个内角之和不一定正好等于理论值180°。由式（2.20）可以计算出三角形内角和的真误差，将358个误差按3″为一个区间，并按其绝对值的大小排列，分别统计误差出现在各个区间的个数及相对个数，其结果见表2.5。

从表2.5中可以看出，误差的分布情况具有以下规律：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的频率高；绝对值相等的正、负误差出现的频率相同；最大的误差不超过24″。统计试验结果表明偶然误差具有以下特性。

（1）在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值，即偶然误差的有限性。

（2）绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大，即偶然误差的单峰性。

（3）绝对值相等的正、负误差出现的概率相同，即偶然误差的对称性。

（4）当观测次数无限增大时，偶然误差的算术平均值趋于零，即偶然误差的抵偿性，即

式中 ［］——取括号中数值的代数和。

上述第四个特性可以由第三个特性导出。测量工作的实践表明，对于在相同的观测条件下独立进行的一系列观测而言，其观测误差必然具备上述4个特性，且观测次数n越大，这种特性就越明显。

2.5.2 评定观测精度的指标

精度系指在对某个量的多次观测中，各观测值之间的离散程度。若观测值非常密集，则精度高；反之则低。习惯上所说的精度，通常都是对误差而言的，即误差大，精度低；误差小，精度高。所以，精度是误差的反义词。

为了便于衡量观测值的精度，常用一个具体数字来反映误差分布的离散程度，这个数字就称为评定观测精度的指标。

2.5.2.1 中误差

前面已经讲到，对于一个观测量，客观上必定存在一个能代表其真正大小的数值，即真值，对它进行观测，观测值与真值之差Δ，称为真误差，观测若干次，就可以得到若干个真误差，即Δ₁，Δ₂，…，Δ_n。定义

式中 ［ΔΔ］=Δ₁Δ₁+Δ₂Δ₂+…+Δ_nΔ_n；

σ——均方差，可以用于反映观测的精度。

实际观测中，观测个数n是有限的，由有限个观测值的真误差，计算σ的估值，用m表示，称之为“中误差”。

【例2.3】 设某段距离用钢尺丈量了6次，观测值为49.988m、49.975m、49.981m、49.978m、49.987m、49.984m。该段距离用高精度的仪器测得，其结果为49.984m，可视为真值。试求用钢尺丈量距离的中误差。

解 将求算过程列于表2.6中。

2.5.2.2 极限误差与允许误差

由偶然误差的特性可知，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值，这个限值就是极限误差。由概率论的理论可知，在等精度观测的一组误差中，偶然误差出现在［-σ，+σ］、［-2σ，+2σ］、［-3σ，+3σ］区间内的概率分别为

P(-σ≤Δ≤+σ)≈68.3%

P(-2σ≤Δ≤+2σ)≈95.5%

P(-3σ≤Δ≤+3σ)≈99.7%

即是说，绝对值大于2倍标准差的偶然误差出现的概率为4.5%，而绝对值大于3倍标准差的偶然误差出现的概率仅为0.3%，实际上是接近于0的小概率事件，在有限次观测中不太可能发生。因此，误差理论中，将3倍标准差作为偶然误差的限值，称为极限误差。在实际工作中，通常规定3倍中误差为偶然误差的允许值，即允许误差为

Δ _允=3m

如果实际工作要求较严格，有时也采用2倍中误差作为允许误差，即

Δ _允=2m

测量工作中，某误差超过了允许误差，则认为它是粗差，应舍去该观测值不用。

2.5.2.3 相对误差

在衡量观测值精度时，有时只用中误差还不能完全表达精度的优劣。例如，在距离测量中，分别测量了100m和400m两段距离，其中误差均为±0.02m。虽然两段距离中误差是相同的，但显然，它们的测量精度是不同的。当观测值的精度与其大小有关时，就必须使用相对误差来衡量观测值的精度。相对误差K是中误差m的绝对值与相应观测值D的比值，即

相对误差是一个无单位的数，一般以分子为1的分式来表示。上述两段距离的相对误差分别为

真误差和允许误差，有时也用相对误差表示。例如，在距离测量中，常用往返测量结果的相对校差进行成果检核，即；在导线测量中，规定图根导线全长相对闭合差的限值为1/2000，即是相对允许误差。

相对误差不用于评定测角的精度，因为角度观测的误差与角度大小无关。同样高差观测的误差与高差大小无关，所以相对误差也不用于评定测高差的精度。

2.5.3 测量误差传播

前面讨论了如何根据一组等精度的独立观测值的真误差，求观测值的中误差。但在实际工作中，有些量往往不是直接观测值，而是某些观测值的函数。直接观测量含有误差，必然导致函数值也有误差，这就是误差传播。如何根据观测值的中误差求观测值函数的中误差，反映观测值的中误差与观测值函数中误差之间的关系式，称为误差传播定律。

函数有多种多样，但总体上可以分为两类，一类是线性函数，另一类是非线性函数。

2.5.3.1 线性函数误差传播定律

设有函数

式中 k₁，k₂，…，k_n，k₀——任意常数；

x ₁，x₂，…，x_n——独立观测量。

则函数Z即为线性函数。设Z和x_i的真误差分别是Δ_Z和Δ_i，则可以写出

Δ_Z=k₁Δ₁±k₂Δ₂±…±k_nΔ_n

又设x₁，x₂，…，x_n的中误差分别为m₁，m₂，…，m_n，则函数Z的中误差为

式（2.24）即线性函数的误差传播定律。

2.5.3.2 非线性函数误差传播定律

设有一般函数

式中 x₁，x₂，…，x_n——独立观测量，其中误差分别为m₁，m₂，…，m_n。

由数学分析可知，任意函数自变量误差与函数误差之间的关系，可以通过函数的全微分来近似表达。对函数式（2.25）求全微分，并用真误差代替微分量，即有

式中——函数对各个自变量的偏导数，i=1，2，…，n。

以观测值代入计算得出的常系数。令=f_i（i=1，2，…，n），则式 （2.26）可写成

显然，式（2.27）与线性函数的真误差表达式（2.23）的形式相同，按线性函数的误差传播定律公式，可以写出

式（2.28）即非线性函数的误差传播定律。

【例2.4】 水准测量。已知在水准尺上的读数中误差为m_读=±2mm，试求一测站高差的中误差m_h。

解 设在后、前视水准尺上的读数为a和b，一测站高差为h，则

h=a-b

式由 （2.24）得，=±2.8mm

【例2.5】 在某处倾斜地面测得一段长度为89.996m，测距的中误差为±0.004m。又测得地面的倾角为3°18′06″，测角的中误差为±4″。试求该段的水平距离及其中误差。

解 设倾斜距离为S，倾角为α，水平距离为D，则有

D=Scosα=89.996×cos3°18′06″=89.847(m)

由式（2.28）得

代入数据得

2.5.4 多次独立观测的最可靠结果及其精度

2.5.4.1 等精度观测的最可靠结果及其精度评定

1.最或是值

在相同的观测条件下对某未知量进行n次观测，观测值为l₁，l₂，…，l_n，设该量的真值为X，相应的真误差为Δ₁，Δ₂，…，Δ_n，由式（2.20）得

Δ ₁=l₁-X

Δ ₂=l₂-X



Δ_n=l_n-X

将上式求和后除以n，得

即

对上式取极限，并根据偶然误差的特性，得

当n→∞时，观测值算术平均值的极限就是该观测值的真值。由于在实际工作中n总是有限的，故可以求得X的估值为

可见，等精度独立观测值的算术平均值应该是最可靠的，称为最或是值或者最可靠值。

2.精度评定

在利用式（2.22）计算等精度独立观测的中误差m时，需要知道观测值的真误差Δ_i。而一般情况下，观测值的真值X是不知道的，那么真误差也就无法求得。因此，在实际工作中，多用算术平均值与观测值之差v，计算观测中误差。

记

v_i=x-l_i i=1,2,…,n

又

Δ_i=l_i-X i=1,2,…,n

将上面两式相加得

v_i+Δ_i=x-X

令x-X=δ，代入上式并移项得

Δ_i=-v_i+δ i=1,2,…,n

上式各项平方后求和，即

［ΔΔ］=［vv］-2［v］δ+nδ²

而［v］=（x-l₁）+（x-l₂）+…（x-l_n）=nx-（l₁+l₂+…+l_n）=0

所以有

式（2.29）中

等式两边平方，即

根据偶然误差特性，当n→∞时，上式等号右边的第二项趋于0，即

将式（2.30）代入式（2.29），得

整理上式，得

顾及式 （2.22）：，用算术平均值与观测值之差v_i计算观测中误差的公式，即

式（2.31）也称为白赛尔公式。

下面再讨论等精度独立观测的算术平均值即最或是值的精度。在相同的观测条件下对某未知量进行n次观测，观测值为l₁，l₂，…，l_n，其最或是值为x，即

由式（2.24）线性函数的误差传播定律，得

可见，算术平均值的中误差是观测值中误差的。结合式 （2.31），并记m_x为M，用算术平均值与观测值之差v_i计算最或是值中误差的公式得

【例2.6】 对某段距离进行了6次等精度观测，观测结果列于表2.7中。试求该段距离的最或是值、观测值的中误差、最或是值的中误差及其相对误差。

解 将求算过程列于表2.7中。

2.5.4.2 非等精度观测的最可靠结果及其精度评定

前面讨论了对某量进行n次等精度独立观测，如何求最或是值（最可靠值）及评定精度的问题。在实际测量工作中，除等精度观测外，还有非等精度观测。下面讨论对某量进行非等精度独立观测情况下，如何求其最或是值及评定精度问题。解决这一问题，要引出“权”的概念。

1.权

设对某量进行了n次不等精度观测，观测值分别为l₁，l₂，…，l_n，相应的中误差为m₁，m₂，…，m_n。由于各观测值的中误差不同，所以各观测值的精度不同。把各非等精度观测值的相对精度用一个数值来表示，称为各观测值的“权”。权是衡量观测值相对精度的量，中误差越小，观测值的精度越高，其权就越大，其结果的可靠性就越大。因此，可以用中误差来定义观测值的权，即

式中 P_i——第i个观测值的权；

λ——任意常数。

【例2.7】 设对某角度进行了不等精度观测，各观测值的中误差分别为m₁=±4.0″、m₂=±2.0″、m₃=±3.0″。试求各观测值的权。

解 由式（2.34），得

若取λ=4″，则有P₁=1、P₂=4、；若取λ=12″，则有P₁=9、P₂=36、P₃=16。

由例2.7可知，对于一组已知中误差的非等精度观测，选定了一个λ值，就对应一组相应的权。而一组权的大小，随λ的不同而异，但无论λ选择何值，权之间的比例关系始终不变，即权的意义不在于其数值的大小，而在于权之间的比例关系。所以，在同一问题中，只能选择一个λ值。

在式 （2.34）中，λ为任意常数。若取λ=m_i，则有。如在例2.7中，当λ=m₁时，有P₁=1，而其他观测值的权则是以P₁为单位确定的。可见，凡是中误差等于1的观测值，其权必然等于1。因此，通常称λ为单位权中误差，一般用m₀表示，对应的观测值称为单位权观测值。由此可得式 （2.34）的另一种权的表达式，即

由式（2.35）得中误差的另一种表达式为

2.非等精度观测值的最或是值

设对某量进行了n次不等精度观测，观测值分别为l₁，l₂，…，l_n，相应的权为P₁，P₂，…，P_n，则该量的最或是值即加权平均值计算式为

3.非等精度观测的精度评定

式（2.37），即

应用误差传播定律式（2.24），得

由式 （2.35）有，代入上式，得

从式（2.38）可知，欲求最或是值的中误差m_x，需先求单位权中误差m₀。由式（2.35）有。所以，用真误差求单位权的中误差计算式为

仿式（2.31）白赛尔公式，用最或是值与观测值之差v_i计算单位权中误差的计算公式为

综合式（2.38）和式（2.40），得

【例2.8】 如图2.25所示，在水准测量中，分别从4个已知高程点A、B、C、D出发，测得E点的高程值及各水准路线的长度列于表2.8中。试求E点高程的最或是值及其中误差。

图2.25 结点水准网

解 将求算过程列于表2.8中。