二、逻辑的发展

逻辑产生以后，在历史上有很多发展。在中世纪，逻辑作为“三艺”（逻辑、语法、修辞）之一是进入神学院的必备知识。逻辑的发展最重要的阶段是在现代，就是从弗雷格（1848—1925）开始。弗雷格建立了第一个一阶逻辑系统（一阶谓词演算系统）。大学逻辑课上所学的命题逻辑和谓词逻辑的思想主要来源于弗雷格，而对当方阵和三段论等内容主要来源于亚里士多德。实际上，从亚里士多德到弗雷格，逻辑有非常大的发展，这个发展的实质就是实现了形式化。形式化的特征有两个：一个是建立形式语言，另一个是建立演算。形式语言是用人工符号表达的，其中每一个符号与它所表达的东西是一一对应的，因此没有歧义。一般来说，一阶逻辑有如下语言：

命题变元：p、q、r…

命题联结词：¬、∨、∧、→、←→

个体常元：a、b、c…

个体变元：x、y、z…

谓词：F、G…

量词：∀、∃

真值符号：T、⊥

括号：（、）

这里，符号的意义都是经过定义的、明确的，是没有歧义的，因此由此形成的命题也是没有歧义的。比如，根据形成规则，“p∧q”是一个命题（或是一个句子）。它的意思是，它是真的，当且仅当p是真的并且q也是真的。当我们有这样一套语言，就可以根据需要建立逻辑系统。比如我们可以选择一些命题作为公理，按照推理规则，从公理推出定理，这是公理系统的方法。我们也可以选择一些推理模式作为推理规则，从它们出发来证明定理，这是自然演绎系统的方法。有了这样的方法以后，我们就可以实现亚里士多德所说的“必然地得出”，由于使逻辑形成这样一套演算，我们就可以实现莱布尼茨的理想：当我们发生争论的时候，我们坐下来，拿出笔和纸算一算。

现代逻辑不仅实现了莱布尼茨的想法，而且在基本的思想与基本的精神上与亚里士多德是一脉相承的。亚里士多德的基本思想是“必然地得出”。现代逻辑不这样说了，而说要考虑推理的有效性。有效性也就是保证我们的推理从真的前提得出真的结论。二者的思想是一致的，后者采用了一套技术，能够完整地体现前者的思想，所以说这个发展是巨大的。比如说，我们今天都知道亚里士多德逻辑中的命题都是一元性质命题。在

M—P

S—M

S—P中，M、S、P都是类概念，这样的逻辑只能处理关于类的问题，而且都是一元性质的，不能处理二元或多元的东西。现代逻辑可以处理个体的东西，这是在亚里士多德那里被排斥掉的。而且我们可以利用个体变元的顺序表达关系。有了量词之后，我们还可以处理比较复杂的量词情况，比如一句话中有两个或三个量词的情况，从而更好地处理关系问题。现代逻辑的表达能力极大地丰富了逻辑的表达。而且我们知道亚里士多德的逻辑是形式的，但不是形式化的。比如亚里士多德逻辑的四种基本句式：所有S是P，所有S不是P，有S是P，有S不是P。这四种基本句式虽然使用了变元，但是仍然保留了一些自然语言的东西，就有可能产生歧义。我们知道，尽管自然语言的表达是很丰富的，但是它有一个弱点，那就是容易产生歧义，所以使用它来达到“必然地得出”是有障碍的。而现代逻辑是完全形式化的，没有使用自然语言。有了这个特征以后，它可以把逻辑的性质体现得非常清楚，不仅没有违背亚里士多德最开始提出的“必然地得出”的思想，而且把这种思想更清晰地表达出来，把围绕这套思想所形成的体系刻画得更加深刻，使它的表现力更强。比如“凡人皆有死，苏格拉底是人，所以苏格拉底有死”，这个三段论是有效的。这样一个推理当中含有个体词——“苏格拉底”。因此，似乎三段论也可以含有个体词，似乎也可以处理含有个体词的推理。但是实际上是不行的。在这个具体的推理中不出问题，不意味着在其他含有个体词的推理中也不出问题，因为有个体词的情况与没有个体词的情况是不一样的，而且含有个体词的情况非常复杂。所以我们说三段论提供给我们的这套方法只适合于类概念，不适合于个体词。

传统逻辑中三段论有24个式，其中有一些式传统逻辑认为是有效的，但是经过现代逻辑的方法检验，发现它们不是有效的，或者可能不是有效的。这就是逻辑的发展。逻辑经过这样的发展以后，人们发现，除了逻辑力量大大加强之外，这样一套语言与我们的日常语言是非常相近的，并且基本上能够满足日常语言的需要。从前面给出的一阶逻辑语言可以看出，p、q、r相当于日常语言中的句子，而p∧q、p→(q→p)等相当于日常语言中一些句子组合；a、b、c相当于日常语言中的名字；F、G相当于日常语言中表达性质、关系、类的词，比如“是人”“哥哥”“红色的”等；∀和∃表达了两类最基本的量词，“所有”和“至少有一个”。所以，这样一套形式语言基本上涵盖了日常推理中常用的语言要素。

现在请大家想一想，我们的日常语言除了会表达以上这些东西之外，还会表达什么东西呢？也就是说，逻辑的这套语言是否能表达自然语言的大多数情况？之所以说“大多数”，是因为自然语言的表达是非常丰富的，想要用像逻辑这样一套形式语言涵盖所有的自然语言的表达是不可能的，而且逻辑的目的是刻画推理，而不是刻画自然语言。只是因为日常推理当中涉及了这样一些要素，所以我们要看这样一些要素在自然语言当中占据什么样的位置。

今天我给大家介绍的主要是一阶逻辑，其实在自然语言中显然还有一些表达不包括在这里面。比如“必然”“可能”，考虑这两个算子的逻辑是模态逻辑。举例来说，“必然8大于7”，“必然行星的数目大于7”。

其实逻辑发展到今天，直观地说，就是在弗雷格逻辑的基础上不断地添加算子。当然，算子多了，句法会有不同，语义也会复杂得多。比如在一阶逻辑基础上，增加“必然”和“可能”两个算子，建立起模态逻辑。而借助模态逻辑的方法，在一阶逻辑上增加“应当”“允许”等算子，可以建立道义逻辑系统。比如我们看宪法，就会发现宪法其实是一个封闭的体系，在这个封闭的体系中，讲的是两部分内容：公民的权利与义务。属于你权利范围的就是允许你做的，属于你义务范围的就是你应该做的。因此，借助对“应当”和“允许”这两个算子的考虑，即我们把这两个算子用符号表述出来，并构造相应的逻辑系统，就可以把宪法中的那套语言表述用逻辑语言表达出来，并对其中至少一部分或者最主要的内容进行研究。再比如，今天非常普遍的认知逻辑，主要是在一阶逻辑基础上增加诸如“相信”“知道”等一些算子，或者再以加下标的方式表示认知主体等。

总而言之，逻辑有了弗雷格提供的基础之后，具有了生成能力，可以继续发展，当然这些发展都是围绕着有效性这种逻辑基本性质的。也就是说，不同的逻辑系统可以是不一样的，但是它们有一点是相同的，就是最后的结果都要满足有效性，或者说，都要符合“必然地得出”。现代逻辑还有很多的发展，而且应用也非常广泛，比如在语言学、计算机等领域的应用。因为时间关系就不介绍了，大家有兴趣可以自己学习。