1.4.2　同一天生日的概率是多少

第一个例子是生日悖论。历史上有很多著名的悖论，它们的结论往往令人意想不到，或与直觉不符。生日悖论的问题是这样的：在一个50人的班级中，出现两个人同一天生日的概率是多少？

很多人会想，一年有365天（闰年为366天），班里只有50个人，两个人同一天生日的概率应该不大。结论真是这样吗？

为便于计算，我们假定一年有365天，也就是不考虑闰日（2月29日）的情况。假定班级中有个人，每个人的生日可以是一年中的任意一天，那么这个班级所有同学的生日组合共有种可能。

让我们先来计算这些人生日各不相同的概率，可以这样考虑。

第一个人的生日是从365天中任意选出一天；一旦确定了这天的日期，第二个人只能从剩下的364天中随意选择一天作为生日；以此类推，第n个人的生日是从365-(n-1)天中选出。把这些可能的选项相乘后，除以总的可能组合，就得到了所有人生日各不相同的概率：

有了所有人生日不同的概率，就很容易得到这些人中出现相同生日的概率：

。式中的!代表阶乘。

省略计算过程，这里直接贴上最终结果，如下表所示。

可以看到，一个50人的班级出现相同生日现象的概率竟然达到97%。当班级人数达到57人时，这个概率竟然高达99%！而根据鸽笼原理，只有超过366人，才能保证班级里必然出现相同生日的情况。

不仅如此，随意让23人聚在一起，就有50%的概率能够找到同一天出生的两人。是的，只要23人。这个数字可比很多人直觉想象的要少得多！

这是为什么？因为我们只要找到任意两个人同一天生日就行，并没有指定是哪两个人，也没有指定具体日期。在数学上，将23人两两配对有253种排列组合，其中任意一种组合都有可能出现同一天生日的情况。

[1] 鸽笼原理，也称抽屉原理。它可以简单地表述为，假设有n个鸽笼和n+1只鸽子，所有的鸽子都被关在鸽笼，则至少有2只鸽子会被关在同一个鸽笼中。