2.2.1 单一参数的正弦交流电路

1.纯电阻电路

负载只有电阻元件构成的电路，称为纯电阻电路。如白炽灯、电烙铁、电炉等实际元件组成的交流电路，都可近似看成是纯电阻电路，如图2-8a所示。

（1）电压与电流的关系

如图2-8所示，电阻R两端的电压和电流采用关联参考方向，设电阻两端电压按正弦规律变化，即u=U_msinωt，根据欧姆定律

式中，，等式两端同时除以，则电压与电流的有效值关系为

根据以上分析，可得出如下结论：

1）纯电阻电路中电压与电流同相位，即它们的初相角相同φ_u=φ_i，波形图与相量图如图2-9所示。

2）电压与电流的瞬时值、最大值、有效值关系都满足欧姆定律，即

（2）功率

1）瞬时功率。

在任一瞬间，电阻中的电流瞬时值与同一瞬间加在电阻两端的电压瞬时值的乘积，称为电阻的瞬时功率。

由此可知，p（t）即为瞬时功率，始终是大于零的，这说明电阻在任意时刻总是消耗能量的，电阻属于耗能元件，如图2-9a所示。

2）平均功率。

瞬时功率在一个周期内的平均值，称为有功功率，用P表示，其单位为W。即

可以证明，电阻消耗的平均功率可表示为

2.纯电感电路

由电阻很小的电感线圈组成的交流电路，可近似地看成是纯电感电路，如图2-10所示。

（1）电压与电流的关系

设电感L两端的电压和电流采用关联参考方向，u、i均为正弦量，设电流为参考正弦量，即电流的初相为零，则其瞬时表达式为i=I_msinωt。在关联参考方向下，电感元件的电压、电流关系为

则电感元件上的电压为

电压与电流的最大值关系为

其中，ωL是一个具有电阻量纲的物理量，单位为Ω，起阻碍电流通过的作用，称为感抗，用X_L 表示，即X_L=ωL=2πfL，L为自感系数，单位是亨，用字母H表示。

电压与电流的有效值的关系为

根据以上分析，可得出如下结论：

1）纯电感电路中电压的相位超前于电流，即它们初相角的关系为，相量图与波形图如图2-11所示。

2）电感电路中具有感抗，感抗X_L=ωL=2πfL，是频率的函数，L一定时，感抗与频率成正比。因此电感在交流电路中起阻碍电流的作用，所以电感具有“通直阻交”的特点。

3）电路中的电压与电流用有效值表示时，满足欧姆定律的关系，即

（2）功率

1）瞬时功率。

由上式确定的瞬时功率曲线如图2-11a所示，在第一和第三个1/4周期，p＞0，线圈吸收功率，此时线圈从外电路吸收能量并储存在磁场中；在第二和第四个1/4周期，p＜0，线圈输出功率，此时线圈将储存在磁场中的能量输出给外电路。

由以上讨论可知，在一个周期从平均效果来说，纯电感电路是不消耗能量的，它只是与外电路进行能量交换。电感在电路中起着能量的“吞吐”作用，其有功功率（平均功率）为零，所以电感被称为储能元件。

2）无功功率。

在纯电感电路中有功功率为零，但电路中时刻进行着能量的交换，为了表示电感和电源之间能量交换的大小，引入了无功功率的概念。把电路瞬时功率的最大值叫作无功功率，用Q_L表示，单位为var（乏），即

注意：“无功”的含义是“交换”而不是“消耗”，它是相对“有功”而言的，不能理解为“无用”，生产实际中的具有电感性质的变压器、电动机等设备都是靠电磁转换工作的。

【例2-4】已知一个线圈的电感L=25.5mH，接到的正弦电源上，试求：1）该电感的感抗X_L；

2）电路中的电流I及电流的瞬时值表达式；

3）其他条件不变，若外加电源的频率变为1kH，重求以上各项。

解：1）感抗X_L=ωL=314×25.5×10^-3Ω≈8Ω

电流的有效值为27.5A，相位滞后90°，则瞬时值表示为

当频率为1kHz时，Ω≈160Ω

频率增加20倍，感抗也增大20倍，因而电流减小为原值的1/20，电流瞬时值表示为

3.纯电容电路

由介质损耗少、绝缘电阻大的电容组成的交流电路，可近似地看成是纯电容电路，如图2-12所示。

（1）电压与电流的关系

电容C两端的电压和电流采用关联参考方向，如图2-12所示，u、i均为正弦量，设电压为参考正弦量，即电压的初相为零，则其瞬时表达式为u=U_msinωt，则有

则流过电容元件的电流为

电压与电流最大值关系为

式中，具有电阻量纲，单位为Ω，起阻碍电流通过的作用，称为容抗，用X_C表示，即

根据式（2-20）得出电压与电流有效值的关系为

根据以上分析，可得出如下结论：

1）纯电容电路中电压的相位滞后于电流，即它们初相角的关系为，相量图与波形图如图2-13所示。

2）电容电路中具有容抗，容抗，是频率的函数，C一定时，容抗与频率成反比。因此电容在交流电路中随着频率的增加阻碍电流的作用反而降低，对直流有阻断的作用，所以电容具有“通交隔直”的特点。

3）电路中的电压与电流用有效值表示时，满足欧姆定律的关系，即。（2）功率

1）瞬时功率。

由上式确定的瞬时功率曲线如图2-13a所示。由图可看出p（t）是一个角频率为2ω的正弦量。在第一和第三个1/4周期，p＞0，电容吸收功率，此时电容从外电路吸收能量并以电场能的形式储存起来；在第二和第四个1/4周期，p＜0，电容输出功率，此时电容将储存的能量释放给外电路。

由此可见，在一个周期从平均效果来说，纯电容电路是不消耗能量的，它只是与外电路进行能量交换。电容在电路中起着能量的“吞吐”作用，其有功功率（平均功率）为零。

2）无功功率。

在纯电容电路中时刻进行着能量的交换，和纯电感电路一样，其瞬时功率的最大值被定义为无功功率，反映电容与外电路进行能量交换的幅度，用Q_C表示，单位为var，即

【例2-5】已知一个电容器，其电容C=38.5μF，接到的正弦电压上，试求：1）该电容的容抗X_C；

2）电路中的电流I及电流的瞬时值表达式；

3）其他条件不变，若外加电源的频率变为1kHz，重求以上各项。

电流的有效值为2.75A，相位超前90°，则瞬时值表示为

3）当频率为1kHz时，

容抗减小了20倍，因而电流增大20倍，即I'=2.75A×20=55A，电流瞬时值表示为