前言

科学著作是无意间形成的时间胶囊。它没有保质期，这就表明，在图书出版之后的多年里，读者可以运用他们的博闻广识，对书中所提出的理论、事实和证据进行评估。《脑与数学》一书是我15年前在20多岁时完成的一本著作，它同样也符合这一规律。

20世纪90年代初期，我开始着手撰写《脑与数学》一书，幸运的是，当时对数量的研究尚处于初级阶段，只有少数实验室刚刚触及这一领域的表层。一些研究者关注婴儿如何感知物体的集合，一些研究者则关注学龄儿童学习乘法口诀表的方式，还有一些研究者则更关注脑损伤所引起的计算能力受损的患者的怪异行为。最后，还有一些研究者，比如我，为了弄清楚学生被问及简单的算术问题（比如，6比5大吗？）时哪些脑区会被激活，率先进行了脑成像研究。当时，我们之中只有少数人意识到，有朝一日，这些研究会汇聚为一个独立的领域——数学认知领域，会通过多层面的技术来回答神经学家沃伦·麦卡洛克（Warren McCulloch）那个令人振奋的问题：

人能够理解的数字是什么？能够理解数字的人是什么样的？

对《脑与数学》一书，我唯一的写作目的是，整合能搜集到的有关人脑如何进行初级算术的所有事实，并证明一个实验证据丰富、具有广阔前景的全新领域正在萌芽。同时，我也希望此书能够阐明古代哲学关于数学本质的争论。在对这一新兴领域的所有分支研究进行整合的那三年里，我认识到，这些复杂的研究可以整合为一个合乎逻辑的整体，因此，我的研究热情与日俱增。对动物的研究表明，它们拥有加工近似数量的古老能力，这种“数感”在人类的婴儿阶段同样存在，它赋予人类数量直觉。而诸如算盘或阿拉伯数字这样的文化产物，则将这种直觉转换为我们对符号数学的全面认知能力。因此，对数感的相关脑结构进行认真研究，显然可以解释人类对数学的理解，阐明进化过程，并将人类的数学能力与猴子甚至老鼠和鸽子的脑表征数量的方式联系起来。

自15年前完成此书以来，一些创新性的研究以前所未有的力量推动着这个领域的发展。现在，数学认知是认知科学范畴中的一个成熟领域，它不再只专注于数量的概念和起源，而是拓展至代数、几何等相关领域。《脑与数学》一书中仅仅概述过的一些研究主题，如今已经发展成全面完整的研究领域，如动物的数感、数值计算的脑成像研究、数学学习困难儿童的障碍本质等。其中最令人兴奋的一个突破性进展，是在猴脑中发现了负责数量编码的单个神经元，它们位于顶叶皮层的一个特定位置，这个区域对应于人类进行运算时所激活的脑区。另一个突飞猛进的发展，是这些知识在教育中的应用。我们开始理解学校教育如何培养学生对精确数量和算术的理解，以及如何用简单的游戏和软件帮助那些可能存在计算障碍的儿童。

重读此书的第1版时，我欣喜地发现，尽管这些想法在15年前有几分猜测性，但现在它们都已萌芽。既然这些研究已经证实了这些想法，我认为《脑与数学》一书应该再版了。诚然，1997年以来出版了许多优秀的书籍，其中有布赖恩·巴特沃思（Brian Butterworth）在1999年所著的《数学脑》（The Mathematical Brain）、拉斐尔·努涅斯（Rafael Nuñez）和乔治·莱考夫（George Lakoff）⁽¹⁾于2000年所著的《数学来自哪里》（Where Mathematics Comes From），以及杰米·坎贝尔（Jamie Campbell）在2004年编写的《数学认知手册》（Handbook of Mathematical Cognition），但是没有一本书囊括了如今我们对脑与数学的所有认识。

非常感谢我的代理人马克斯·布罗克曼（Max Brockman）和约翰·布罗克曼（John Brockman）⁽²⁾，也非常感谢编辑阿比·格罗斯（Abby Gross）和奥迪尔·雅各布（Odile Jacob），是他们鼓励我撰写这本新版的《脑与数学》，并帮助我确定此书的撰写形式。我们一致认为重写旧版较为棘手，甚至有些冒失。重要的是，我们要让读者感受到这个领域在过去20年间是如何形成的，是什么激发了我们提出现在的假设和实验方法，在此之后又取得了哪些进展，以及它如何充实或者驳斥了我们的理论（所幸后者不太多）。因此，我们所构思的第2版没有改变过去的版本，但会运用新的文献对其进行补充，尤其是会补充一个新的章节，以较长的篇幅勾勒出自第1版出版至今该领域中最重要的发现。过去15年间，这个领域经历了巨大的发展，所以挑选将要收入最终章节的相关研究是一项艰巨的任务。确实，相关的科学发现不胜枚举，我决定挑选能够从大脑层面阐述算术的实质以及阐述如何进行算术教学的一小部分惊人的发现。

大多数数学家，或显或隐，都是柏拉图主义者（Platonists）。他们认为自己所探索的领域独立于人类思维而存在，它比生命更古老，是宇宙结构的固有成分。伟大的数学家理查德·戴德金（Richard Dedekind）在他的专著《数的本质及其意义》（The Nature and Meaning of Numbers）中却不这样认为。他认为，数是“人类思维的自由创作”，是“纯粹思维法则的直接产物”。我非常认同这一观点，但是解释证明这一观点的重担就落在了心理学家和神经科学家的肩上。他们需要弄清楚，一个仅仅由神经细胞构成的有限的大脑是如何运用这类抽象思维的。这本书能够为解答这一引人入胜的问题做出些许贡献。

斯坦尼斯拉斯·迪昂

2010年7月