01　会算术的“天才”动物

从18世纪开始，有关自然历史的一些书中就流传着这样一则故事：

一只乌鸦将它的巢筑在一座塔上，而这座塔坐落在一个贵族的领地上，于是这个贵族就想将这只乌鸦射下来。但是每当贵族接近那座塔时，那只乌鸦就会飞到射程之外，一旦这个贵族离开，它又会重新回到自己的巢穴。贵族请他的邻居帮忙，两个猎手一起进入那座塔，之后他们中的一个离开了。但是乌鸦并没有掉入这个陷阱，而是一直等到第二个人离开才返回自己的巢穴。后来，贵族又请来3个人、4个人、5个人帮忙，这些计谋都没有蒙蔽这只聪明的鸟儿。每一次，这只乌鸦总能等到所有的人都离开才飞回巢穴。最后，6个猎手一起进入了那座塔，当他们中的第五个离开时，乌鸦自信地飞了回来，毕竟它不是那么擅长计数，最终它被第六个猎手射落。

这个故事真实可信吗？没有人知道。我们也不清楚这是否和数字能力有关：据我们所知，鸟类能够记住的是每个猎人的相貌，而不是猎人的数量。但是，我引用这个故事是因为它很好地说明了动物的算术能力，而这正是本章要讨论的主题。首先，在许多严格控制的实验中，鸟类和其他动物物种不需要经过特殊的训练就能表现出感知数量的能力。其次，这种感知并不是非常精确，随着数字的增大，这些参与实验的动物的感知准确率会下降，这就是为什么故事中的那只乌鸦混淆了5和6。最后，也是最滑稽的，这则故事告诉我们，达尔文提出的自然选择的理论也同样适用于算术领域。如果那只乌鸦可以数到6，那么它可能就不会被射中了！在许多物种中，估计捕食者的数量和凶残程度，量化和比较两种食物源的收益，这都是生死攸关的大事。这样的进化观点能够帮助我们理解一些科学实验，它们能够揭示动物进行数字计算时的复杂过程。

一匹名叫汉斯的马

在20世纪初，一匹名叫汉斯（Hans）的马登上德国报纸¹的头条。它的主人威廉·冯·奥斯滕（Wilhelm Von Osten）可不是一名普通的马戏团驯兽师，受到达尔文观点的影响，他热衷于证明动物的智力水平。他用十多年的时间教他的马学习算术、阅读和音乐。虽然训练的效果过了很久才体现出来，但是最终却大大超出了他的预期。这匹马似乎拥有极高的智力，它可以解决算术问题，甚至可以拼出单词！

冯·奥斯滕常常会在自家院子里向众人展示聪明的汉斯的能力。人们在汉斯的前面围成一个半圆，并向驯马师提出一个算术问题，比如：“5加3等于多少？”冯·奥斯滕会在汉斯面前的一张桌子上摆上5件物品，在另一张桌子上摆上3件物品。在仔细审“题”之后，汉斯就会以蹄子敲击地面的方式来回答问题，敲击的次数与两数相加的和相同。然而，汉斯的数学能力远不止在这种简单的技艺上所表现的。对一些由观众口头提出或用数字符号写在黑板上的算术问题，汉斯仍能够轻松地解决（见图1-1）。汉斯还能解决两个分数相加的问题。比如“2/5+1/2”，它会先敲击9下，再敲击10下，给出9/10的答案。据说，即便是“28的约数有哪些”这样的问题，汉斯也能够给出非常准确的答案：2、4、7、14和28。显然，汉斯对数字知识的了解已经远远胜过了那些聪明的小学生！

1904年9月，一个专家委员会对汉斯的技艺进行了深入彻底的调查，著名的德国心理学家卡尔·斯图姆夫（Carl Stumpf）也是委员会成员之一。他们最终得出结论：汉斯的技艺是真实的，并不存在欺骗性。然而，这个笼统的结论并没有使斯图姆夫的学生奥斯卡·芬格斯特（Oskar Pfungst）感到满意。在冯·奥斯滕的帮助下——这位主人确信他的天才马具有极高的智力，芬格斯特开始对汉斯的能力进行系统的研究。芬格斯特的实验，即便拿现在的标准来看，也是严密和富有创造力的典范。他的研究假设是：汉斯对数学根本一无所知，因此，一定是主人自己，或是人群中知道答案的某人，在汉斯敲击到正确数字的时候给了它隐蔽的信号，从而使它停止敲击。

为了证明这个假设，芬格斯特设计了一个方法，将汉斯对问题的认识与主人对问题的认识区分开来。他将之前的程序进行了微小的调整：主人可以看到用很大的印刷体写在题板上的简单加法算式，之后题板会转向汉斯，使得它能够看见问题并解答。然而，在实验中，有时芬格斯特在向汉斯展示问题之前会暗中调换加法算式，比如，主人看到的是“6+2”，而实际上汉斯要尝试解决的问题是“6+3”。

在经过一些后续的细节控制之后，这项实验的结果非常明确。每当主人知道正确答案时，汉斯就能得出正确答案，而当主人不知道正确答案时，汉斯则会给出错误答案。另外，汉斯所给出的错误答案通常就是主人所期待的数字。显然，是冯·奥斯滕自己，而不是汉斯，得出了不同算术问题的答案。但是汉斯究竟是怎样知道要在何时停止敲击的呢？芬格斯特最终推断，汉斯真正惊人的能力在于它能够捕捉到主人头部和眉毛的微小动作，而这些动作通常表明停止敲击的时机。事实上，芬格斯特一直确信这位驯兽师是诚实的。他相信那些信号的发出完全是无意识的，而并非故意所为。即便冯·奥斯滕不在场，马也能继续给出正确的答案：显然，当敲击到正确的数字时，汉斯能够感受到观众的情绪中增长的紧张感。即便发现了汉斯能够利用哪些身体线索，芬格斯特也不能阻断人们与它进行无意识交流的所有方式。

芬格斯特的实验对“动物智力”的论证提出了严重质疑，同时也对那些像斯图姆夫一样自称专家却盲目认同这一论点的人的能力提出了质疑。确实，今天的心理学课堂中仍在讲授“聪明的汉斯现象”，它仍然象征着实验者的预期和干预可能对心理实验结果产生的不良影响，不论这种预期和干预多么微乎其微，不论实验对象是人还是动物。从历史层面来看，汉斯的故事在塑造心理学家和动物行为研究者的批判性思维方面起了重要的作用，它让人们注意到严谨的实验设计的必要性。一个很难被注意到的刺激，比如眨眼，都可以影响动物的表现。因此，一个设计良好的实验必须避免一切可能的失误源。这一教训尤其被行为主义者很好地接受了。比如斯金纳（Skinner），他做了大量的工作，致力于发展动物行为研究的严谨实验范式。

然而，汉斯这个典型案例也对心理科学的发展产生了很多负面的影响。它使得人们对整个动物数字表征的研究领域充满质疑。具有讽刺意味的是，每当有人证明动物的数字能力时，科学家们就会挑起眉毛，就好像在给汉斯提供解题线索似的。人们总会有意无意地将此类实验与汉斯的故事联系起来，它们即便不被认定为是伪造的，也会被质疑设计存在缺陷。这其实是一种不合理的偏见。芬格斯特的实验只是证明了汉斯具有数字能力是一种巧合，并没有证明动物不可能理解算术的某些方面。在很长一段时间内，科学家们只是系统地寻找一些实验偏差来解释动物行为，而完全不去考虑“动物拥有初始阶段的计算知识”这一假设。当时，即便是最有说服力的结果也不能说服任何人。一些研究者甚至倾向于认为动物有一种神秘的能力，例如“节奏辨别”的能力，而不愿意承认动物可以对客体集合进行计算。简言之，科学界往往在倒洗澡水的时候，将婴儿也一起倒掉了。

在引入一些最终得到所有人（除了那些最多疑的研究者）信服的实验之前，我想以一则现代故事来结束汉斯的故事。即便是在今天，对马戏团动物的训练用的也是与汉斯那时一样的把戏。如果你曾经在一场表演中看到动物将数字相加、能拼写单词，或是做类似的令人惊奇的事情，你完全可以确定，这些行为就像汉斯的行为一样，依靠的是驯兽师和动物之间的隐蔽交流。我要再次强调，这种交流并不一定是有意的。驯马师通常是由衷地对他的“学生”的天赋确信无疑。几年前，我在一份瑞士本土的报纸上看到一篇有趣的文章。一位记者拜访了吉勒（Gilles）和卡罗琳（Caroline），他们饲养的一只名为普佩特（Poupette）的贵妇犬似乎在数学上表现出超凡的天赋。图1-2中是普佩特自豪的主人，他正将一系列写在纸上需要相加的数字展示给他那位忠实而聪明的伙伴。普佩特用爪子拍打主人的手，用拍打的次数表示确切的数字。当拍到正确的次数时，它会舔主人的手，在此过程中它没有出现一次错误。据它的主人说，这只天才的贵妇犬只接受了很简短的训练就有了这种能力，这使他相信了轮回或类似的超自然现象。然而，这位记者敏锐地发现，当拍到正确数字时，这只狗能够从主人的眼皮或是手部的微小动作中获得提示。所以这确实是一种轮回：聪明汉斯的策略进行了一次轮回，在一个世纪之后，普佩特对其进行了一次惊人的重现。

老鼠“会计师”

在汉斯事件之后，一些著名的美国实验室开始对动物的数学能力展开研究。这类项目大多失败了，然而，德国著名动物行为学家奥托·克勒（Otto Koehler）的研究却取得了一些成就²。在他训练的乌鸦中，有一只名为雅各布（Jacob）的学会了在一些容器中选出钻有5个孔的那个盖子。因为在不同的实验轮次中，5个点的大小、形状和位置是随机改变的，所以这种表现只能被解释为“此乌鸦对数字5有精确的认知”。但是，克勒团队的这项成果影响甚微，一方面是因为其大部分的研究结果只是在德国发表，另一方面是因为克勒的同事认为，他并没有排除所有可能的失误源，如实验者间的无意识交流或嗅觉线索。

在20世纪五六十年代，美国哥伦比亚大学的动物心理学家弗朗西斯·梅希纳（Francis Mechner）与艾奥瓦大学的约翰·普拉特（John Platt）和大卫·约翰逊（David Johnson）一起，采用了一种令人信服的实验范式，我在这里粗略地介绍一下³。实验者将一只被暂时剥夺了食物的老鼠安置在封闭的盒子中，盒子里有A和B两根操作杆。操作杆B与一个机械设备相连，这个设备可以给出少量的食物。然而，这个奖赏系统并不是即时的。老鼠需要重复地按压操作杆A，只有按压到n次时，它才能在按下操作杆B时得到食物。如果这只老鼠过早地按压操作杆B，它不仅不会得到任何食物，而且还会受到惩罚。在不同的实验中，光线可能会消失几秒，或者计数器会被重置，此时老鼠必须从头开始对操作杆A进行n次按压。

在这个不同寻常的实验中，老鼠的表现怎样呢？起初，通过反复尝试，它们发现，当按压了几次操作杆A后再按压操作杆B，食物就会出现。逐渐地，它们对按压次数的估计越来越精确。最后，在训练结束时，老鼠对实验者选择的数字n都有非常合理的认识。那些需要先按压4次操作杆A才能得到食物的老鼠确实按了大约4次。那些需要按压8次的老鼠，也一定会按压大约8次，依此类推（见图1-3）。即便要求的按压次数是像12和16这样的大数字，聪明的老鼠“会计师”也能够按压到正确的次数！

其中有两个细节值得一提。第一，老鼠按压操作杆A的次数会略高于所要求的最低值——5次而不是4次。但是，这是一个极其理性的策略。它们过早地按压操作杆B会受到惩罚，所以为了安全起见，它们宁愿多按1次操作杆A，也不敢少按1次。第二，即便是在受到大量的训练之后，老鼠的行为仍旧不怎么精准。最理想的策略是精确地按压4次操作杆A，然而老鼠通常会按4次、5次或者6次，在一些实验中，它们甚至会按压3次或者7次。它们的行为绝对不是“数字化”（digital）的，而且在每一个实验轮次中都会有变化。事实上，其变化范围会随着老鼠所估计的目标数字的增大而扩大。当目标按压次数是4时，老鼠的按压次数在3次到7次之间；而当目标次数是16时，老鼠的按压次数就会在12次到24次之间变化，跨度很大。看来，老鼠的估计机制相当不精准，与我们的数字计算器完全不同。

到了这个阶段，许多人可能会怀疑我是否过早地认定老鼠拥有计数能力，以及我们是否真的找不到对老鼠行为的更为简单的解释。首先我要申明的是，“聪明的汉斯”效应不会对这类实验产生影响，因为老鼠被单独安置在笼中，而且所有的实验过程都由自动化的机械设备所控制。那么，老鼠是真的对操作杆的按压次数敏感，还是它们估计了从实验开始到停止按压的时间，或是利用了其他与数量无关的参量？如果老鼠以特定的频率按压，比如每秒1次，那么上述行为可能要用对时间的估计来解释，而不能用对次数的估计来解释。当按压操作杆A时，老鼠可能会依不同情况等上4秒、8秒、12秒或16秒再去按操作杆B。比起“老鼠可以数出自己的动作次数”这一假说，这样的解释显得更为简单，尽管估计持续时间与估计数字实际上是同样复杂的操作。

为了驳斥这种有关时间估计的解释，梅希纳和洛朗斯·格夫雷基安（Laurence Guevrekian）⁴采取了非常简单的控制方法：他们让老鼠的食物被剥夺程度产生差异。当老鼠真的很饿时，它们急于尽快得到食物奖励，所以会更快地按压操作杆。然而，这种频率的增加对它们按压操作杆的次数没有任何影响。被训练按压4次的老鼠，其压杆表现仍在3次到7次的范围内，而要求按压8次的，仍然会按压8次左右，对其他数字也同样如此。按压数的平均值和结果的离散程度都没有随着按压频率的增加而改变。显然，是数字参数而非时间参数促成了老鼠的行为。

美国布朗大学的拉塞尔·丘奇（Russell Church）和沃伦·梅克（Warren Meck）进行的一项较新的实验表明，老鼠自发地对事件的次数和持续时间给予同等程度的关注。在丘奇和梅克的实验⁵中，实验者通过一个放置在鼠笼中的扬声器播放一串声音。一共有2个声音序列，序列A由2个音组成，一共持续2秒；序列B由8个音组成，持续8秒。老鼠需要辨别这两段声音。每放完一段声音，两根操作杆会被插入笼子中。为了得到食物奖励，老鼠在听到序列A时，必须按下左边的操作杆，而听到序列B时，必须按下右边的操作杆（见图1-4）。

几个初步实验表明，处于这种环境下的老鼠很快就学会了按压正确的操作杆。显然，它们可以利用两个截然不同的参数来辨别A和B：序列的总持续时间（2秒和8秒），或是音数（2个和8个）。那么，老鼠关注的是持续时间、音数，还是两个都关注？为了寻找答案，实验者设计了一些测试声音序列，其中一些声音序列的持续时间固定而音数不同，而另外一些则是音数相同但持续时间不同。在第一种类型中，所有的序列都持续4秒，每个序列由2至8个音组成。在第二种类型中，所有的序列都由4个音组成，每个序列持续时间为2至8秒不等。在所有这些测试中，不论按压哪根操作杆，老鼠都能够得到食物奖励。研究者的目的是想了解，在排除了奖励的影响之后，这些新刺激对老鼠来说意味着什么。因此，这个实验测试的是老鼠将先前习得的行为泛化至新环境的能力。

结果一目了然。在持续时间和数量方面，老鼠都能很容易地将习得行为进行泛化，以应对新的情况。当持续时间固定时，它们仍会在听到2个音时按压左边的操作杆，在听到8个音时按压右边的操作杆。反过来，当音数固定时，它们会在听到持续时间为2秒的声音序列时按压左边的操作杆，听到持续时间为8秒的声音序列时按压右边的操作杆。那么对于2到8之间的其他数，老鼠的表现如何呢？老鼠似乎会把呈现的刺激关联到最接近的已习得的刺激量。因此，在听到一个全新的、由3个音组成的序列时，老鼠会做出与听到2个音时一样的反应，当序列由5个或6个音组成时，其反应会与听到8个音时相同。奇怪的是，当序列由4个音组成时，老鼠无法决定应当按压哪根操作杆。对于老鼠来说，4就是数字2和8之间的主观中点（subjective midpoint）！

需要注意的是，在训练过程中，老鼠并不知道它们会在后续的实验中进行持续时间不同还是音数不同的测试。因此，这个实验表明，当一只老鼠听到一段旋律时，其大脑会自发地同时处理持续时间和音数。如果你认为这个实验运用了条件反射的原理，是实验者或多或少教会了老鼠怎样计数，那就大错特错了。实际上，实验中的老鼠拥有最高级的视觉、听觉、触觉和数字知觉的硬件条件。条件反射只是教动物将它一直拥有的知觉能力（比如对刺激持续时间、颜色或是次数的表征），与新的动作（比如按压操作杆）联系起来。数字并不是外部世界中的一个复杂参数，它不比其他所谓客观参数或物理参数（比如颜色、空间位置或持续时间）更抽象。事实上，既然动物已经具备了相应的脑模块，那么计算一个集合中客体的近似数目理应与感知其颜色和方位一样简单。

我们现在知道，老鼠和其他许多物种一样，都会自发地关注各种数量信息：动作、声音、闪光、食物的数量⁶。例如，有研究者已经证明，当试验者让浣熊在一些装有葡萄的透明箱子之间进行选择时，它能学会只选取装有3颗葡萄的箱子，而忽略装有2颗或4颗葡萄的箱子。同样，在迷津任务中，无论通道间的距离有多远，老鼠都能够通过条件反射训练，选取左侧第4条通道。其他的研究者教会了鸟在一组连通的笼子中选出它们发现的第5颗种子。另外，在一些情况下，鸽子能够估计自己啄击目标的次数，比如，它们能够辨别45次啄击和50次啄击之间的差异。最后再举一个例子。一些动物，包括老鼠，能够记得在特定环境中受到奖励和惩罚的次数。美国普渡大学的卡帕尔迪（Capaldi）和丹尼尔·米勒（Daniel Miller）的一个精妙实验表明，当老鼠获得两种不同的食物奖励时，比如葡萄干和谷物，它们同时记住了三则信息：它们吃的葡萄干数和谷物数，以及总的食物种类⁷。总的来说，算术能力在动物世界相当普遍，根本算不上特殊能力。它在帮助动物生存方面的优势是显而易见的。一旦老鼠记住了它的藏身之处是左侧第4条通道，那它在迷津一般的黑暗巢穴中就会移动得更快；松鼠在发现了长着3颗坚果的树枝时，会放弃长着2颗坚果的树枝，这样它就更有可能安全过冬。

动物的计算有多抽象

对于老鼠来说，按压2次操作杆、听到2个声音、吃2粒种子，能否让它们意识到这些事件都是数量“2”的实例呢？或者它们能否发现来源于不同知觉通道的数字之间的联系呢？在不同知觉通道和动作形式之间对数量进行概括的能力是数量概念（number concept）的重要组成部分。举一个极端的例子，我们假设一个儿童在看到4件物品时能够稳定地说出数词“4”，但在听到4个声音或跳了4下时可能会随机地在数词“3”“4”和“9”之间选择一个。虽然这个儿童在面对视觉刺激时有出色的表现，但是我们仍然不能认为这个儿童有“4”的概念，因为掌握这个概念就意味着能够将其运用到各种不同的通道情境中。事实上，一旦儿童掌握了一个数量，他们立刻就能够用它计算玩具车的数量，数出小猫叫了几声，或者能用它计算弟弟干了几件坏事。对于老鼠来说，情况又是怎样的呢？它们的数学能力是局限于某种知觉通道，还是抽象的？

鉴于对动物多通道知觉泛化的研究成功的很少，所有答案都只是尝试性的解释。不过，丘奇和梅克⁸已经证明，老鼠对数量进行表征时，是将其看作一个抽象参数的，而不是局限于听觉或者视觉等某一特定的知觉通道。他们再一次将老鼠放入一个有两个操作杆的笼子中，但是这次同时使用了视觉和听觉刺激序列。由于此前的学习，老鼠会条件反射地在听到2个音时按压左边的操作杆，听到4个音时按压右边的操作杆。这次，它们又被训练在看到2次闪光时按压左侧操作杆，看到4次闪光时按压右侧操作杆。实验的关键在于，这两种学习经历在老鼠的脑中是怎样编码的。它们会将这两种经历作为两项不相干的知识储存在脑中吗？或者，老鼠学会了抽象的规则，比如“2是左，4是右”？为了寻找答案，两位研究者在一些实验轮次中将声音和闪光混合起来同时展现给老鼠。他们惊奇地发现，当他们同时呈现1个音和1次闪光，总共2个事件时，老鼠会立刻按下左侧的操作杆，而当他们呈现2个音和2次闪光所组成的总共4个事件时，老鼠会按压右侧的操作杆。动物们可以将它们的知识类推到全新的情境中。它们对数量“2”和“4”的概念并不仅仅体现在低层次的视知觉和听知觉中。

在同时使用2个音与2次闪光的实验中，老鼠的特殊表现十分值得注意。要知道，在训练过程中，老鼠通常是在听到2个音或看到2次闪光后按压左侧操作杆从而得到奖励的。因此，听觉刺激“2个音”和视觉刺激“2次闪光”都与按压左侧操作杆相关。然而，当这两种刺激同时呈现时，老鼠却按下了与数量“4”相联系的操作杆！为了让大家更好地理解这个发现的重要性，我们可以把它与另一个实验相比较。在这个实验中，老鼠被训练为看到正方形（另一种刺激为圆形）时按压左侧操作杆，看到红色（另一种刺激为绿色）时也按压左侧操作杆。那么当老鼠看到1个红色的正方形，即两种刺激结合起来时，我敢打赌，它们一定会更加坚决地按压左侧的操作杆。为什么在面对声音和闪光组合的刺激与形状和颜色组合的刺激时，它们的表现不一样呢？这个实验说明，在某种程度上，老鼠“知道”，数与数相加和形状与颜色相加的方式并不相同。1个正方形加上红色就成了1个红色的正方形，但是2个音加上2次闪光却不能引发对“2”这个数更强的感受。确切地说，老鼠的脑似乎可以领会蕴含在“2+2=4”中的算术基本法则。

动物具有抽象的加法能力的最好例证或许来自美国宾夕法尼亚大学的盖伊·伍德拉夫（Guy Woodruff）和戴维·普雷马克（David Premack）所做的研究⁹。他们证明了黑猩猩能够进行简单的分数运算。在他们的第一个实验中，黑猩猩的任务十分简单：只要在2件物品中选出与给定物品外观相同的那一个，黑猩猩就能得到奖励。例如，实验者向黑猩猩展示一个盛有1/2杯蓝色液体的玻璃杯，黑猩猩就必须从2件物品中选出与此相同的物品。也就是说，盛有1/2杯液体的玻璃杯是正确的选择，因为另一个玻璃杯中的液体占了3/4杯。黑猩猩很快就掌握了这个简单的外观匹配任务。接着，决策变得越来越抽象：实验者仍然向黑猩猩展示一个盛有1/2杯液体的玻璃杯，但选项变成了1/2个苹果和3/4个苹果。从外观上看，两个选项均与样例相去甚远，然而黑猩猩仍能够选择1/2个苹果，显然是1/2杯液体和1/2个苹果在概念上的相似性使它做出了这个决定。对分数1/4、1/2、3/4的测试都同样取得了成功：这只黑猩猩知道一整个馅饼的1/4与一整杯牛奶的1/4具有相同的意义。

在最后的实验中，伍德拉夫和普雷马克证明了黑猩猩甚至能够对2个分数的加法进行心算：当样例由1/4个苹果和1/2杯液体组成时，面对一整个圆盘和3/4个圆盘，它们中的大部分选择了后者，这比完全随机所预期的概率要高很多。显然它们对两个分数进行了心算，与分数的加法运算“1/4+1/2=3/4”没有什么不同。据推测，它们并没有像我们一样使用复杂的符号计算法，但是它们显然直觉般知道这些比例该怎样相加。

最后说一则关于伍德拉夫和普雷马克研究的轶事。起初，他们研究手稿的标题是“黑猩猩的原始数学概念：比例和数量”（Primitive mathematical concepts in the chimpanzee: proportionality and numerosity），一个编辑错误导致了它在科学期刊《自然》上的标题变成了“灵长类动物的数学概念”（Primative mathematical concepts）⁽⁶⁾！虽然这属于无心之失，但是这个改动并不是完全错误的。事实上，用“原始”（primitive）一词来描述这种能力是不恰当的。如果primative在这里指的是“灵长类动物所特有的”（specific to primates），那么这个新词用在这里就显得十分恰当，因为这种对分数进行相加的抽象能力至今还没有在其他物种中发现过。

另外，加法并不是动物在数字运算方面的全部本领，比较两个数量的多少是更为基础的能力，而且这种能力确实在动物中普遍存在。实验者向黑猩猩展示两个放着几小块巧克力的托盘¹⁰，第一个托盘上有两堆巧克力，其中一堆有4块，另一堆有3块。第二个托盘上也有两堆巧克力，一堆有5块，还有1块巧克力被单独放置。实验者会给黑猩猩足够长的时间来仔细观察这个情境，然后让它们选择一个托盘并吃掉托盘上的东西。你认为黑猩猩会选择哪个托盘呢？大多数情况下，没有经过训练的黑猩猩会选择放置巧克力总数更多的那个托盘（见图1-5）。贪心的灵长类动物必须自发地计算第一个托盘上巧克力的总数（4+3=7）和第二个托盘上巧克力的总数（5+1=6），最后得出7大于6的结论，从而认为选择第一个托盘有更大的优势。如果黑猩猩不会做加法，而是满足于选出单堆巧克力块数最多的托盘，那么情况就不应该是这样，因为第二个托盘上由5块巧克力组成的那堆比第一个托盘上的任意一堆都多，尽管第一个托盘上巧克力的总数更大。显然，将两数相加和之后进行比较的操作都是其做出成功选择所必需的。

虽然黑猩猩在从两个数量中选择较多数量时有非常好的表现，但它们仍会出错。这类错误向我们提供了非常重要的线索，使我们能够了解它们所采用的心理表征的本质¹¹。若两个数量有显著不同，比如2和6，黑猩猩几乎不会出错，它们通常会选择数量多的。但当两个数量越来越接近时，它们的表现会越来越差。当两个数量只相差一个单位时，只有70%的黑猩猩做出了正确的选择。这种错误率和两个数量差距之间的稳定依存关系被称为距离效应（distance effect）。它通常伴随大小效应（magnitude effect）产生。当数量差距相同时，数量越多表现就越差。黑猩猩在得出“2>1”的判断时没有任何困难，即便这两个数量只相差一个单位。但是，当它们比较2和3、3和4等较多的数量时出错率就会提升，数量越多，错误率越高。除了黑猩猩外，相似的距离效应和大小效应在许多任务和许多物种中均被发现，包括鸽子、老鼠，以及海豚。没有一种动物能够逃离这些行为法则——包括人类。

为什么距离效应和大小效应的存在具有重要的意义？因为它们再一次证明了动物不能对数量进行数值性或离散性的表征。只有开始的几个数字——1、2和3，能够被准确地识别。数量一旦变多，判断就会变得模糊。数量内在表征的变异性与表征数量的大小成正比。这就是为什么当数量变多时，动物就很难区分数量n和相邻数量n+1。但是，我们不能由此认为，老鼠或者鸽子的脑不能处理数值大的数量。事实上，当数量间距足够大时，动物仍能够成功地辨别和比较数值很大的两个数量，比如45和50。动物对大数表征的不精确性使它们无法识别49和50在算术上的区别。

虽然受到内部不精确性的限制，但是我们仍然可以通过许多例子证明动物的确拥有实用的数学工具。它们能够将两个数量相加，并自发选出两者中较大的那一个。我们有必要对动物的这种能力感到惊讶吗？试想一下，这些实验还会有其他结果吗？当一只饥饿的狗面对一整盘和半盘同款食物进行选择时，它们难道不会自然地选择数量更多的那盘吗？它若不选一整盘食物，结果可能是灾难性的，这种行为并不合理。恐怕对于所有生物来说，选择两份食物中较多的那一份都是生存的先决条件之一。在进化过程中，动物形成了收集、储存和捕获食物的复杂策略，因此，许多物种拥有“比较两个数量的多少”这种简单能力也不应当令人感到惊讶。心理比较的算法很可能在更早以前就出现了，甚至很可能在进化过程中被彻底改造了许多次。毕竟，即便是最原始的有机生命体也必须永无止境地寻找最适宜的环境：最多的食物，最少的捕食者，最多的异性配偶，等等。生命体为了生存，必须不断地做出最优的选择，而为了选择最优，就必须学会比较。

我们还需要了解进行此类计算和比较的神经机制。鸟、老鼠和灵长类动物的脑中存在微型计算器吗？它们是怎么运作的？

蓄水池隐喻

老鼠是如何知道“2+2=4”的呢？鸽子又是如何比较45次和50次啄击的呢？根据我的经验，这些从动物身上得出的结论经常会引发怀疑、嘲笑甚至愤怒，尤其当听众是数学教授时！在西方社会，从欧几里得和毕达哥拉斯时期开始，数学就被视为人类成就的顶峰。我们将其视作一种至高的技能，需要通过不懈的教育才能获得，或者需要具有一种与生俱来的天赋。在许多哲学家看来，人类的数学能力由语言能力衍生而来，所以，认为没有语言功能的动物能够计数是匪夷所思的，更不用说它们能对数量进行计算。

在这一背景下，我之前讲述的关于动物行为的观察都极有可能被单纯地看作意料之外、离经叛道的科学结论。没有理论框架的支持，这些研究结果会被孤立起来，虽然它们不同寻常，但毕竟不是定论，因而仍不足以质疑“数学＝语言”的想法。简单地说，为了打破这种现象，我们需要一个能够明确解释“为什么没有语言也可以计数”的理论。

幸运的是，这样的理论是存在的¹²。事实上，我们熟知的一些机械设备与老鼠的表现极其相似。例如，所有汽车都配备有计数装置，用以记录从车辆首次上路开始累计的里程。这种计数装置最简单的形式就是一个齿轮，每增加一公里就向前滚动一个槽位。原则上，这个例子解释了一个简单的机械设备是如何记录累计数量的。那么，为什么生物系统就不能使用相似的计数原则呢？

汽车计数器（car counter）的例子并不完美，因为它使用的数量符号系统极有可能是人类独有的。为了解释动物的算术能力，我们应该寻找一个更为简单的比喻。想象鲁滨孙被困在孤岛上，孤独又无助。为了便于讨论，我们假设一次头部的重击使他丧失了语言能力，以致他不能运用数词来进行计数或计算。那么，在现有条件下，鲁滨孙该怎样找到替代品来构筑一个近似的“计算器”呢？实际上，这比想象的要简单。假设鲁滨孙在附近发现了一口泉，他用一根大圆木建成一个蓄水池，并把它放置在泉水旁。水不直接流到蓄水池中，而是由一根竹管导入其中。在这个以蓄水池为核心的基础设备的帮助下，鲁滨孙将能够进行计数、加法运算和近似数值大小的比较。这个蓄水池使他能够像老鼠或鸽子一样大体上掌握算术技能。

假如一艘载着食人者的独木舟正在向鲁滨孙的孤岛上驶来，当鲁滨孙用望远镜看到这一切时，他该如何利用他的“计算器”来记录食人者的人数呢？首先，他必须将蓄水池清空。其次，每当一个食人者登陆，鲁滨孙便将一些泉水引到蓄水池里。在此过程中，每一次引水的持续时间是固定的，并且水流量始终保持稳定。这样就可以保证每一个食人者登陆时，流入蓄水池中的水量基本是固定的。最后，蓄水池的总水位等于单次引水的水位的n倍。此时，最终的水位就可以作为登陆的食人者总数量n的近似表征，因为水位仅取决于所记录事件的次数。其他参数，比如事件的持续时间、事件的间隔等，对水位都没有影响。因此，蓄水池最后的水位就等同于登陆食人者的数量。

通过标记蓄水池的水位，鲁滨孙就能够记录有多少食人者上了岸，他在之后的计算中可能会用到这个数量。比如第二天，第二批食人者来了。为了估计食人者的总人数，鲁滨孙要先往蓄水池中注水，使水位达到前一天的标记处，然后每当一个新来的人上岸，他就会像之前那样往蓄水池中引入固定量的水。在完成这项操作之后，蓄水池中的水位达到了新的高度，这个高度代表了来到岛上的两批食人者的总数。通过在蓄水池中刻上不同的标记，鲁滨孙可以把这些计算结果永久地记录下来。

第三天，一些食人者离开了这座岛。为了估算他们的数量，鲁滨孙清空了蓄水池，重复上述程序，每离开一个人他就加一些水。他意识到代表离开人数的水位线远低于前一天的标记。通过比较两次的水位，鲁滨孙得出了一个让他烦恼的结论：已经离开的食人者的人数极有可能少于前两天上岸的食人者的总人数。总之，鲁滨孙用他简陋的设备完成了计数、简单加法运算和比较计算的结果，这个过程正如前述实验中的动物所做的那样。

这样的累加器存在一个明显的不足：尽管数量是离散的，但它们却是由连续量——水的高度来进行表征的。鉴于所有物理系统固有的可变性，在不同的时间，相同的数量可能由蓄水池中不同的水量来表示。例如，我们假设水流量不是固定的，而是在每秒4～6升之间变化，平均每秒5升。如果鲁滨孙引了0.2秒的水，那么被引入的水量平均为1升，然而实际水量会在0.8升和1.2升之间变化。因此，如果他对5个个体进行了计数，那么最后水量会在4到6升之间，鉴于对4个或6个个体计数也可以达到同样的水位，所以鲁滨孙的计算器不能够准确地辨别4、5、6这3个数量。如果6个食人者登陆，然后其中5人离开了，鲁滨孙可能会因为漏算了其中一人而面临危险。这正是我在本章开头所描述的故事中乌鸦所面临的情况！鲁滨孙能够更好地分辨差距较大的数量，这就是距离效应。这个效应会随着数量的增大而越来越显著，即大小效应，它同样是动物行为的特征。

可能有人会认为我所描述的鲁滨孙并不十分聪明。为什么他不使用石子，而是使用不精确的水面高度来计数呢？每数一个物品就向碗里放一颗石子，可以帮助他离散而精确地表征数量。运用这种方法，即便面对复杂的减法也能够避免错误。但是鲁滨孙的工具在这里是用来模拟动物的脑的，至少老鼠和鸽子的神经系统不能使用离散的标记来计数。神经系统在本质上就是不精确的，也不能够精确地记录已经数过的每项个体。因此，面对越来越大的数量，误差也越来越大。

虽然这里以一种非正式的方式描述了蓄水池模型（accumulator model），但它实际上是一个非常严密的数学模型，它所表达的数量大小和数量距离之间的函数关系能够精确预测动物行为的差异¹³。因此，蓄水池的比喻有助于我们了解，为什么老鼠在每个实验轮次中会有不一样的表现。即便是在经过大量的训练以后，一只老鼠也无法精准地按压4次操作杆，但是它能够在不同实验轮次中按压4次、5次或6次。我认为，这是因为老鼠从根本上就不能像人类一样，用一种离散的方式来分别表征数量。对于一只老鼠来说，数量就是一个近似的大小，随时在变化，如同声音的持续时间一样转瞬即逝，也像色彩饱和度一样隐晦难懂。即便同一个需要识别的声音序列被播放两次，老鼠也不能够知觉到确切的声音数，而只是在脑内的“蓄水池”中形成上下波动的水位。

当然，蓄水池只是一个生动的比喻，它仅展现了一个简单的物理设备如何详尽地模仿动物算术。老鼠和鸽子的脑中没有水龙头和容器，那么我们是不是可以认为，脑中的神经系统可能拥有与蓄水池模型中的元件相似的功能？这个问题仍然没有定论。目前，科学家们才刚刚开始了解各种药物对某些参数的影响。比如，向老鼠体内注射某种有迷幻作用的物质似乎会加快内部计数¹⁴。被注射了这种物质的老鼠在听到4个声音组成的序列时，会做出听到5个或者6个声音时的反应，似乎往“蓄水池”中注水的速度因为这种物质而加快。每数一个个体，引入蓄水池的水量都要比之前的量多，从而导致最终水位变高。这就是为什么输入4会得到输入6时的反应。然而我们仍不了解这种物质导致的加速效应所作用的脑区，相应的脑回路更是个谜。

数量探测神经元

尽管我们并不了解负责数量加工的脑回路，但是对神经网络的模拟却可以被用来推测可能的脑回路组织形式。神经网络模型（neural network models）是一种能够在传统的数字计算机上运行的算法，可用于模拟真实脑回路中可能的运算方式。当然，与真实神经元网络的极度复杂性相比，这种模拟通常已经将其大大简化了。在大多数计算机模型中，每一个神经元被简化为一个数位单元，其活动的输出水平在0和1之间变化。兴奋单元通过不同权重的联结方式激发或抑制临近以及更远的单元，这正是真实神经元间突触联结的模拟物。在每一步中，每个模拟单元都把来自其他单元的输入信息累加起来，而该单元是否被激活则取决于累加的总数是否超出阈限值。这种对真实神经细胞的模拟是粗略的，但是其核心属性被保留了下来：许多简单的数学运算需要多个回路中的神经元同时参与其中。大多数神经生物学家认为，“大规模的并行加工”这一属性是脑能够在短时间内运用相对缓慢和不可靠的生物硬件进行复杂运算的关键。

神经元并行加工（parallel neuronal processing）的方式可以被用于加工数量吗？在巴黎巴斯德研究所的神经生物学家让-皮埃尔·尚热的帮助下，我提出了一个实验性的模拟神经网络模型，是有关动物如何从环境中快速和并行¹⁵地提取数量的。我们的模型提出了老鼠和鸽子都可以解决的简单问题：当视网膜接收到不同大小的输入、耳蜗接收到不同频率的声调时，模拟神经网络能否计算出视觉和听觉客体的总数？根据蓄水池模型，每接收一次输入之后向内在累加器添加固定的量，就可以计算出这个数量。困难之处在于，要利用模拟神经网络来完成这个任务，并要得到一个与视觉对象的大小、位置无关，与听觉对象的持续时间无关的数量表征。

我们设计了一个可以把视觉输入的大小进行标准化的回路来解决这个问题。这个网络会探测到对象投射在视网膜上的位置，并为该位置上的每个对象分配数量大致相等的活跃的神经元，而不考虑对象的大小和形状。这个标准化的步骤十分重要，因为它使网络能将每一个对象记为“1”，而不论其大小。就像我们会在后文中看到的那样，对哺乳动物而言，这样的运算很可能是由后顶叶皮层的回路来完成的，它主要负责对物品位置进行表征，而不考虑物品的确切形状和大小。

我们也对听觉刺激做了相似的处理。不考虑接受刺激的时间间隔，听觉输入在一个记忆存储器中进行累加。一旦完成了大小、形状和呈现时间的标准化，估计数量就变得简单了——只需估计标准化的视觉地图上和听觉存储器中总的神经元活动即可。这个总数等同于蓄水池中水的最终高度，它提供了一个合理可靠的估计数值。这个模型的求和操作是由一组单元负责的，这些单元集合了所有潜在的视觉和听觉单元的激活。在特定情况下，这些输出单元只有在接收到的总激活值落入特定范围时才会放电，这个范围因神经元而异。因此，每个模拟神经元就如同一个数量探测器（numerosity detector），只有在看到近似某个数量的对象时才会做出反应（见图1-6）。例如，网络中的一个单元在呈现4个对象时优先做出反应——4个视觉物块，4个声音，或者2个视觉物块加2个声音。这个单元极少对呈现3个或5个对象的情境做出反应，在其他情况下则更不会有反应。所以这个神经元就如同一个针对数量4的抽象探测器。此类探测器可以完整地覆盖整条数轴，每一个探测器对应某一个近似值，而当数量逐渐增大时，对应的精确性就会下降。由于模拟神经元同时处理所有的视觉和听觉输入，数量探测器阵列的反应速度很快——它们能够并行加工整个视网膜上的所有信息，并估算4个物品的集合数量，而不用像计数那样一个一个地数。

令人惊叹的是，科学家在动物脑内不止一次地发现了上述模型中提出的数量探测神经元。在20世纪60年代，美国加州大学欧文分校的神经科学家理查德·汤普森（Richard Thompson）在他的实验中向猫展示了一系列声音或闪光，并记录下猫的大脑皮层中单个神经元的活动¹⁶。一些细胞只有在某一特定数量的事件发生时才会被激活。例如：一个神经元在任意6个事件发生后做出反应，不论是6次闪光、6个短音还是6个长音。感觉通道似乎并不重要——神经元显然只关注数量。不同于电子计算机，它并不以全或无的离散方式来反应，相反，它的激活水平在5个项目之后开始增长，在6个项目时达到顶峰，在更多项目出现时下降。这种反应属性与我们模型中的模拟神经元十分相似。在猫的脑皮层中的这一小块区域内还记录到许多类似的对不同数量做出反应的神经元。

因此，动物脑中可能存在一个特异性的脑区，其作用与鲁滨孙的蓄水池相同。汤普森的研究在1970年刊登在了著名的《科学》杂志上，遗憾的是，这个研究并没有得到后续的关注。我们仍然不知道动物脑中的数量探测神经元是否以我们在模型中所预期的方式联结，或者猫是否会通过其他方式来提取数量。毫无疑问，只有那些敢于运用现代神经元记录工具继续探索动物算术的神经元基础的神经生物学家，才能最终找到答案¹⁷。

模糊的计数

如果累加器模型是正确的，那么无论神经元具体如何执行，我们都能得到以下两个结论：第一，动物能够计数，因为每当一个外部事件发生时，它们的内部计数器就会增加1个单位。第二，它们的计数方式与人类的不同。动物的数量表征是模糊的。

人类在计数时，会运用一系列精确的数量词，不让错误有机可乘。每计入1个项目就会相应地在数量序列中增加1。对老鼠来说可不是这样，它们的数量像是一个虚拟的蓄水池中不断变动的水位。不同于人类“+1”的严苛逻辑，当老鼠向变化的总数中增加1个单位时，这项操作只能使用模糊的近似值，更像往鲁滨孙的蓄水池中加入一桶水。老鼠的情况让人联想到《爱丽丝镜中奇遇记》中爱丽丝遇到的算术窘境：

“你会做加法吗？”白皇后问道，“1加1加1加1加1加1加1加1加1加1是多少？”

“我不知道，”爱丽丝回答，“我数不清了。”

“她不会做加法。”红桃皇后打断了她的话。

尽管爱丽丝可能没有足够的时间来口头数数，但是她应当能够在一个大致范围内估计出总数。与此类似，老鼠需要通过非词语或非数学符号的方式来进行近似计数。人类的口头计数与动物有很大不同，我们很可能根本不应该讨论动物的“数字”概念，因为“数字”一词通常指离散的抽象符号。这就是为什么当科学家讨论动物的数量知觉时，会用“numerosity”（数量）或“numerousness”（数量）这样的词而不是“number”（数字）。累加器使动物能够估计事件的大致数量，但不能够计算确切的数字。动物的思维只能记住模糊的数量。

难道人类真的无法教动物学会一种数字符号吗？我们能不能教它们认识一系列与人类的数字符号和数词类似的离散数字标记，然后让它们理解这些标记其实代表着确切数目呢？事实上，这类实验略有成效。在20世纪80年代，日本研究者松泽哲郎（Tetsuro Matsuzawa）教会一只名为Ai的黑猩猩运用随机安排的一些符号来表示物体集合（见图1-7）¹⁸。每个用来代替单词的小图片占据电脑键盘上的一格。黑猩猩可以选择按任何一格来表示它看到的东西。经过长时间的训练，Ai学会了运用14种物品符号、11种颜色符号，以及对人类来说意义最为重大的前6个阿拉伯数字。比如，当屏幕上显示3支红色铅笔时，黑猩猩首先会按正方形中有黑色菱形的符号，这个符号表示“铅笔”，然后它会按下被水平线条贯穿的菱形（表示“红色”），最后它会按下手写体数字“3”。

这一系列行为很可能只是机械动作反射的复杂形式。然而，松泽哲郎证明，这些图案在某种程度上确实能够起到和文字一样的效果：将它们组合就可以描述新的情境。例如，如果黑猩猩学会了一个新的符号“牙刷”，它就可以部分地将其运用到新的情景中，比如“5支绿色的牙刷”或者“2支黄色的牙刷”。当然，这种泛化能力的表现仍存在频繁的错误。

从1985年松泽哲郎首次发表研究成果至今，他的黑猩猩Ai在计算方面不断取得进步。它现在学会了前9个阿拉伯数字，并且对集合计数能够达到95%的正确率。关于反应时的记录表明，和人类一样，Ai会对大于3或4的数字进行串行计数。它也学会了将数字根据大小排序，不过，这项新能力的形成花费了多年时间。

从松泽哲郎的早期实验开始，至少有3个灵长类动物训练中心成功地在一些黑猩猩身上重复了数字符号的学习。相似的能力也存在于与人类亲缘关系很远的物种中。经过训练的海豚能够将任意物品与精确数量的鱼相匹配。在大约2 000次实验后，它们能够在两个对象中选择代表更多鱼的那个对象¹⁹。来自美国亚利桑那州大学的艾琳·佩珀贝格（Irene Pepperberg）教她的鹦鹉亚历克斯（Alex）学习大量英语单词，其中包括前几个数词²⁰。亚历克斯在实验中表现出色，实验中不需要使用标示牌和塑胶代币，实验者可以使用标准英语来陈述问题，而亚历克斯可以即刻说出可识别的单词来回答问题！实验者将一系列物品，如绿色的钥匙、红色的钥匙、绿色的玩具和红色的玩具，展示在亚历克斯面前时，它能够回答“有几把红色的钥匙”这种复杂的问题。当然，此前对它的训练也持续了很长时间——几乎有20年。这些实验的结果证明了数量标记并不是哺乳动物所独有的。

更新的研究发现，黑猩猩能够使用数字符号进行部分运算。比如，萨拉·博伊森（Sarah Boysen）教她的黑猩猩舍巴（Sheba）学习简单的加法和比较运算²¹。舍巴必须先掌握0至9的阿拉伯数字与相应的数量之间的关联。此类实验需要极大的耐心。两年过后，舍巴逐渐能够接受越来越复杂的任务。在第一个阶段，它只需要在棋盘的6个格子中各放上1块饼干。在第二个阶段，实验者向它展示1至3块饼干，要求它在一些卡片中选择点数与棋盘上的饼干数相一致的一张。它由此学会了关注饼干和点的数目，并将点数与饼干数对应起来。在第三个阶段，带点的卡片逐渐被相对应的阿拉伯数字替代。舍巴进而学会了识别数字1、2和3，并且能够指出与饼干数对应的正确数字。最后，博伊森教舍巴学会了逆向操作：它必须从众多物品集合中选择一个数目与指定的阿拉伯数字相匹配的集合。

运用类似的策略，舍巴的知识逐渐扩展到从0到9的整个数字序列。在训练的最后阶段，舍巴已经可以灵活地将数字和对应的数量进行转换。这种能力被认为是符号认知的核心。符号代表着一种形状之外的隐藏含义，符号理解意指借助符号的形状来获取它的含义，而符号产出则需要根据想要表达的含义重现符号的形状。显然，在经历了漫长而刻苦的训练之后，黑猩猩舍巴掌握了这两种转换过程。

人类符号的一个重要特征是它们能够组合成句子，句子的意义源于组成它的词。比如，数字符号能被组合起来用于表示一个等式，如“2+2=4”。舍巴能不能结合多个数字进行符号运算呢？为了寻找答案，博伊森设计了一个符号加法任务。她将橙子藏在舍巴笼子中的不同地点，比如2个橙子藏在桌子下，3个橙子藏在盒子中。舍巴会在可能藏有橙子的地点搜寻，然后它会回到出发点，在几个阿拉伯数字中选择一个与找到的橙子总数相匹配的数字。从实验的第一轮次开始，舍巴就能成功完成任务。接下来是这个实验的符号版本。这一次，它在笼子中四处寻找时并没有发现橙子，而是找到了一些阿拉伯数字，比如桌子下有数字2，盒子中有数字4。同样，当搜寻结束后，它能够选出它所看到的数字的总和（2+4=6）。这个实验表明，黑猩猩能够识别每一个数字，并在心理层面将其与数量相关联，计算出所有数量相加的结果，最后提取出该结果所对应的视觉形式。没有哪种动物能够像黑猩猩一样拥有如此接近人类的符号计算能力。

即便是那些远不及黑猩猩聪明的物种，也能够学会运用数字符号进行初步的心算。比如，由美国佐治亚州立大学的戴维·沃什伯恩（David Washburn）和杜安·朗博（Duane Rumbaugh）训练的2只恒河猴，名为阿贝尔（Abel）和贝克（Baker），它们表现出一种能够对阿拉伯数字所代表的数量进行大小比较的非凡能力²²。测试人员在计算机屏幕上给出一对阿拉伯数字，比如“2”“4”，阿贝尔和贝克使用操纵杆来选择一个数字。之后一个自动分配器会给出相应数量的水果糖，这种水果糖是灵长类动物非常喜欢的食品。如果选择了数字“4”，它们就能够品尝4颗水果糖，而如果选择了数字“2”，它们就只能得到2颗水果糖，这使它们有很强的驱动力选择较大的数字。事实上，这个任务与前文中的比较任务十分相似，唯一的不同在于动物不是直接面对食物，而是将阿拉伯数字作为表示食物多少的符号表征。动物需要从记忆中提取出数字符号的意义，即它所代表的数量。

我必须指出，阿贝尔和贝克与舍巴不同，在测试开始前它们没有接受过任何关于阿拉伯数字的训练。这就是为什么它们需要通过上百个实验轮次才能学会稳定地选择较大的数字。舍巴已经知道数字和数量的对应关系，所以在初次实验时就能在类似的数字比较任务中做出正确的回答。经过训练，阿贝尔和贝克也同样表现出色。当数字间距离足够大时，它们根本不会犯错，但是当数字只相差一个单位时，它们会有30%的错误率。我们在这个实验中发现了大家现在所熟知的距离效应，这种效应反映了在数字十分接近时容易产生混淆的倾向。

除了两个数字的任务，阿贝尔和贝克在面对3个数字、4个数字甚至5个9以内的数字时也能够成功做出选择，显然这两只恒河猴不可能通过死记硬背记住所有的正确答案。甚至当测试者向它们展示全新的随机数字集时，比如“5、8、2、1”，它们也能以远高于随机的正确率选出较大的数字。

在讨论这个主题时，有一个现象值得一提，舍巴在被要求选择两个数字中较小的那个时，遇到了困难，出现了奇怪的表现²³。实验情境十分简单：舍巴和另一只黑猩猩共同面对两组食物，当舍巴指向其中一组食物时，实验者就会把这组食物给另一只黑猩猩，而舍巴则会拿到它并未选择的那组食物。在这个新情境中，指向数量较少的那组食物更符合舍巴的利益，因为这样做能让它得到更多食物。然而，舍巴没有一次能做出正确的选择。它仍继续指向数量较多的那组，就好像选择较多数量的食物是一种无法抑制的反应。随后，萨拉·博伊森用对应的阿拉伯数字替代食物实体。在第一轮实验中，舍巴立即选择了较小的数字！数字符号拯救了舍巴，让它可以不受实物的影响。数字符号使它摆脱了不可抑制地选择较多数量食物的冲动。

动物计算能力的局限

动物表现出的符号计算能力对我们的研究究竟有多大的意义？它会不会只是以高强度训练为代价的马戏团把戏，把动物训练成表演机器，但对我们了解动物的正常能力其实毫无帮助？或者，在处理数学问题方面，动物是否像人类一样具有天赋？虽无意贬低前述任何一个实验的重要性，但我们不得不承认，动物对数字符号的心理运算仍旧是一个特殊的发现。虽然我提到了鹦鹉、海豚和恒河猴的实验，但是除了黑猩猩，我们没有发现任何一个物种能够利用符号进行加法运算。即便是黑猩猩，它们的表现与人类儿童相比仍然相当原始。舍巴经历了多年的反复训练才最终掌握了数字0至9，但它仍然会在使用数字时频繁犯错，所有接受过数字任务训练的动物都是如此。相反，人类儿童会自发地用手指来计数，通常在3岁之前就能够数到10，并且他们能够很快地继续学习结构更为复杂的多位数。发育中的人脑似乎能够毫不费力地吸收语言，这与动物不同，动物在接受任何事物之前都需要经过上百次的重复学习。

那么关于动物的算术能力，我们需要记住哪些内容呢？首先，动物拥有一种无可争议的广泛的能力，可以理解数量，并进行记忆、比较，甚至对数字进行近似相加。其次，一些特定的物种拥有一种相对稀有的能力，它们能够将一系列相对抽象的行为，比如指出阿拉伯数字，与数字表征联系起来。这些行为可能最终会成为数量的标记——符号。一些动物似乎还能学会对代表数量的心理蓄水池的水位标记刻度。长期的训练使它们能够记住一些行为：如果蓄水池的水位在x和y之间，要指向数字“2”；如果蓄水池水位在y和z之间，要指向数字“3”；依此类推。这些很可能只是一些条件性的行为，远不及人类在不同语境下使用数字“2”时所表现出的非凡的灵活性，比如“2个苹果”“2加2等于4”或是“两打”。在我们惊叹动物拥有操纵近似数量表征的能力的同时，也应明白教它们学习符号语言似乎违背了它们的自然倾向。事实上确实如此，动物在野外习得符号这种事情是永远不会发生的。

人类认知能力在动物界是独一无二的

进化是一种保留机制。当随机变异过程中出现了一个有用的器官时，自然选择会把它传递给下一代。事实上，有利品质的保留是生命组织的主要来源。因此，如果黑猩猩拥有一些算术能力，而且老鼠、鸽子和海豚之类的物种也拥有一些数字能力，我们人类很可能也继承了类似的遗产。我们的脑，就像老鼠那样，很可能配备有一个像蓄水池一样的累加器，使我们能够感知、记忆和比较数量多少。

人类的认知能力与其他动物（包括黑猩猩）的认知能力迥然不同。首先，我们拥有发展符号系统（包括数学语言）的特殊能力。其次，我们的脑拥有语言器官，这使我们能够表达思想并与同一种族的其他成员分享。最后，基于对过去事件的回顾性记忆以及对未来可能性的前瞻性记忆，我们有能力策划复杂的行为，这种能力在动物界独一无二。然而，从另一个层面来看，这是否意味着，我们负责数字处理的大脑硬件也理应与其他动物有很大不同？我在本书中始终坚持一个基本假设：人类对数量的心理表征实际上与老鼠、鸽子和猴子十分类似。与它们一样，我们能够很快列举视觉对象或听觉对象的集合，将它们相加，并且比较它们的数量。我猜测这些能力不仅使我们能够快速地计算出集合的数量，而且是我们理解阿拉伯数字这类符号数字的基础。本质上，我们在进化过程中继承的数感是更高级的数学能力产生的源头。²⁴

在下一章中，我们将会仔细考察人类的数学能力，在其中寻找动物的数字理解模式遗留下的蛛丝马迹。我们研究中的第一个也是最引人注目的线索就是人类婴儿非凡的算术能力，这种能力在他们坐进教室之前很久便已经存在，事实上，它的存在远远早于他们能够坐起来之时！

不朽的灵魂，经历了许多次重生，见证了这里和世界各地所有存在的事物，它已经学会了这些事物；无怪乎它能唤起关于德行的记忆，唤起关于所有事物的记忆。

——柏拉图，《美诺篇》（Meno）