第1编：物体的运动

第1章：通过量的初值与终值的比值证明下述命题

引理1

在任何有限时间内，量和量的比值都会趋于相等，其差值会持续减小。若是这个差值小于给定值，那么量和量的比值将最终相等。

如果有人对此持有反对意见，可以假设量和量的比值不相等，并且用D表示两者的最终差值，由此可以得出，量和量的比值不能以比差值D小的量趋于相等，而这与命题相矛盾。

引理2

直线Aa、AE和曲线acE组成任意图形AacE，其中包括多个平行四边形AKbB，BLcC，CMdD等等，且底边AB、BC、CD等相等，其边Bb、Cc、Dd等与边Aa平行。再作平行四边形aKbI、bLcm、cMdn等，假设平行四边形的底边不断减小，且平行四边形的数量不断增加且趋于无穷，那么曲线acE的内切图形AKbLcMdD、外切图形AalbmcndoE和曲线AabcdE将趋于相等，其最终比值也将趋于等量比。（图A 1-1）

因为内切图形和外切图形的差值是平行四边形KaIb、Lbmc、Mcnd、DdoD等的和。就是说，因为它们的底边相等，我们可以以任意平行四边形的底边为宽，以高的和Aa为高，做出平行四边形ABIa。因为AB是无限减小的，所以这个平行四边形将比任意给定的空间小。根据引理1，内切图形和外切图形最终趋于相等，且与曲线图形相等。

引理3

即便平行四边形的底边AB、BC、CD等都不相等，但只要它们将无限减小，那么其最终比值也是等量比。（图A 1-2）

做一个平行四边形，底边AF是最大上限，那么，它的值将比内切图形与外切图形的差值要大。但是因为其底边AF是无限减小的，所以这个平行四边形将比给定的任意平行四边形都小。

推论Ⅰ.那些不断减小的平行四边形的总和最终将与曲线图形完全相同。

推论Ⅱ.那些不断减小的弧线ab、bc、cd等的弦组成的直线图形最终将与曲线图形完全相同。

推论Ⅲ.如果那些外切直线图形的切线弧长都相等，那么外切图形也与曲线图形完全相同。

推论Ⅳ.外周为acE的最终图形是直线图形的曲线极限，而不是直线图形。

引理4

在图形AacE和PprT中分别有两组内切的平行四边形，且每组所含平行四边形的数量相等，其底边趋于无限减小，同时，两者内切平行四边形的最终比值是相等的，那么图形AacE和PprT的比值也相等。（图A 1-3、1-4）

因为两个图形中的平行四边形是相互对应的，所以，前一个图形中的所有平行四边形的总和与后一个图形中的所有平行四边形的总和的比值，与两个图形的比值相等。因为根据引理3，前一个图形和平行四边形的总和的比值等于后一个图形和平行四边形的总和的比值。

推论.假设任意两个量被分割为若干相等的部分，当它们的份数不断增大且自身的值不断减小（趋于无穷）时，且每个部分都有一个给定的相同比值，第一个对应第一个，第二个对应第二个，以此类推，那么所有部分加起来的整量的比值也相等。因为在引理4的图形中，如果将每个平行四边形的比值看作部分的比值，那么这些部分的和必定等于平行四边形的和。假设平行四边形的数量不断增大，本身无穷地减小，那么这些无穷量的总和就等于其中一个图形中平行四边形与另一个图形中对应的平行四边形的最终比值。也就是说，这些无穷量的总和等于两个量中任意相对应的单个部分的最终比值。

引理5

在相似图形中，所有对应的边（不论是直线还是曲线）成正比，并且其面积的比值等于对应边的比值的平方。

引理6

任意弧线ACB是给定的，直线AB是对应的弦，取任意点A作直线AD与弧线ACB相切，切点为A，且向两边无限延长。假设点A、B不断靠近且趋于重合，那么其弦与切线组成的角BAD将不断变小，最终会完全消失。（图A 1-5）

假设角BAD不会消失，弧线ACB和切线AD将构成一个角，那么弧线在A点就会不断偏离原本的位置，而这与命题相矛盾。

引理7

同样假设：弧线、弦和切线的最终比值是相互相等的。

当点B不断靠近点A时，假设直线AB、AD不断延长，在足够远处分别取点b、点d，然后作直线bd与BD平行，且让弧线Acb始终与弧线ACB相似。再假设点A和B点重合，那么根据引理6，角dAb会消失，直线Ab、Ad将和弧线Acb重合且相等。所以，直线AB、AD和弧线ACB的最终比值是等量比。

推论Ⅰ.假设过B作直线BF，使它与切线AD平行，过点A作任意直线AF，使它与任意直线相交于F，那么直线BF与趋于消失的弧线ACB的最终比值是等量比。因为在平行四边形AFBD中，线段BF与线段AD的最终比值始终是等量比。（图A 1-6）

推论Ⅱ.假设过点B、A分别作直线BE、BD和AF、AG，使其分别与切线AD及其平行线BF相交，那么所有线段AD、AE、BF、BG与弧线AB、弦AB的最终比值都是等量比。

推论Ⅲ.在所有与最终比值相关的推论中，这些线段都是任意的，且可以相互替换。

引理8

假设直线AR、BR与弧线ACB组成图形RACB，与弦AB、切线AD组成三角形RAB、三角形RAD，点A、B不断靠近并趋于重合，那么这些趋于消失的图形最终相似，且最终比值是等量比。（图A 1-7）

当点B不断趋于靠近点A，假设直线AB、AD、AR延长到远处某点b、d和r，并且作直线rbd与直线RD平行，使得弧线Acb始终与弧线ACB相类似。然后，再假设点A、B重合，那么角bAd将会不断减少直到消失，即三角形rAb、rAcb、rAd将会相似且相等，也就是说重合。由此得出，与这三个三角形始终相似且成等量比的三角形RAB、RACB、RAD最终也相似且相等。

推论.在所有与最终比值相关的推论中，这些三角形都是任意的，且可以相互替换。

引理9

假设直线AE、弧线ABC给定，两者以给定角相交于点A，且直线AE为弧线ABC的切线。同时，取两条平行直线BD、CE，分别与弧线ABC相交于点B、C，点B、C不断向点A靠近且趋于重合，那么三角形ABD和ACE面积的比值等于其对应边的比值的平方。（图A 1-8）

当点B、C向点A不断靠近时，假设直线AD不断向远处延长，然后取任意两点d、e，那么线段Ad与AD成正比、Ac与AE成正比。另作直线bd、ec与直线BD、EC平行，并分别与直线AB、AC相交于点b、c。弧线Abc和弧线ABC相似。再作经过A点作直线Ag与两条弧线相切，且与直线DB、EC、db、ec分别相交于点F、G、f、g。假设直线Ae长度是固定值，让点B、C不断与点A重合，那么角cAg将消失，弧线面积Abd将与直线面积Afd重合，弧线面积Ace将与直线面积Age重合。根据引理5，三角形Adf和Aeg面积的比值等于对应边Ad、Ae的比值的平方，同时三角形ABD和ACE面积始终与三角形Adf和Aeg面积成正比，且边AD、AE也始终与边Ad、Ae成正比，因此可以得出，三角形ABD与ACE面积的最终比值等于对应边AD和AE的比值的平方。

引理10

物体受任意一个指定力的作用，不管这个力是已知不变的，还是持续增大或持续减小的，物体在初始阶段的运动距离始终与时间的平方成正比。

假设用直线AD、AE表示时间，直线DB、EC表示该时间段物体运动的距离，那么运动所产生的距离就可以用三角形ABD、ACE的面积来表示。根据引理9，初始阶段的运动距离与时间AD、AE的平方成正比。

推论Ⅰ.在成比例的时间内，物体在相似图形的相似部分运动，其产生的距离误差与所用时间的平方成正比。而这些误差是由作用于物体的力引起的，可以根据物体在这些相似图形中的运动求出。若是这些力不存在，那么误差也不会存在，物体将在这个时间内到达既定位置。

推论Ⅱ.同理，物体在相似图形的相似部分运动，受到成比例的力的作用，那么产生的误差与这个力与时间的平方的乘积成正比。

推论Ⅲ.同理，这个引理可以解释物体在受不同力作用时产生的距离的相关问题，即物体产生的距离与运动初始阶段的力和时间的乘积成正比。

推论Ⅳ.这个力与运动初始阶段的距离成正比，与时间的平方成反比。

推论Ⅴ.所用时间的平方与距离成正比，与力成反比。

附录

假设我们对不同未知量进行比较，其中一个量都可以被认为与另一个量成正比或反比。这意味着一个量增大或减少时，另一个量也以相同比例增大或减少，或是后者与前者的倒数以相同比例增大或减少。假设任意一个量被认为与其他任意两个或更多的量成正比或反比，那么第一个量则与其他量的复合数以相同比例增大或减少，或是后者与前者的倒数的复合数以相同的比例增大或减少。

举个例子，假设A与B、C成正比，与D成反比，那么A与B×C×以相同比例增大或减少。也就是说，A与的比值是固定值。

引理11

假设经过接触点的所有弧线的曲率是有限的，那么弧线内趋于消失的接触角的弦最终与相邻弧线的弦的平方成正比。（图A 1-9）

情形1.弧线AB的切线是AD，作直线BD与切线AD垂直相交于D点，那么BD为接触角的弦，直线AB是弧线AB的对应弦。另经过点B作直线BG与弦AB垂直，作直线AG与切线AD垂直，二者相交于点G。让点D、B和G分别靠近点d、b和g，假设直线BG和AG最终在点J相交，且点D、B将与点A重合，得出，线段GJ的长度可能比任意给定距离小。根据圆的属性，AB2＝AG×BD，Ab2＝Ag×bd，所以，AB2与Ab2的比值是AG和Ag的比值与BD和bd比值的乘积。不过，因为GJ比任意给定长度小，AG和Ag的比值与等量比的差值也可能比任意给定值小，所以，AB2与Ab2的比值与AG和Ag比值的差值也比任意给定值都小。根据引理1得出：AB2∶Ab2＝BD∶bd。

情形2.假设直线BD与AD组成任意指定值的角，那么BD与bd的最终比值也和之前的比值相等，所以AB2与Ab2的比值也和BD与bd的比值相等。

情形3.假设角D为任意角，直线BD经过任意给定点，或为任意直线，那么角D和角d将不断趋于相等，且比给定的任意差值小。根据引理1，角D、d最终将趋于相等，因此，直线线段BD与bd的比值与之前的比值相等。

推论Ⅰ.假设切线AD、Ad、弧线AB、Ab及其对应正弦BC、bc最终和弦AB、Ab相等，那么AB2和Ab2最终也将与弦BD、bd成正比。

推论Ⅱ.AB2和Ab2最终与其正弦BC、bc成正比，又因为正弦和弦BD、bd成正比，所以正弦将被平分，并趋于向给定点重合。

推论Ⅲ.这些正弦和物体运动时间（物体以给定速度沿着弧线运动所需时间）的平方成正比。

推论Ⅳ.因为三角形ADB与Adb面积的比值等于边AD和Ad的立方的比值，同时等于边DB和DB的比值。由此可以得出，三角形ADB的面积与Adb面积的比值等于（AD×DB）∶（Ad×db），AD2∶Ad2＝DB∶db；进一步得出，三角形ABC的面积与Abc面积的比值等于BC3∶bc3。

推论Ⅴ.因为直线DB平行于db，且与直线AD、Ad的平方成正比，根据抛物线的属性，所以弧线面积ADB和Adb分别是直角三角形ADB和Adb面积的三分之二，剩下的弓形面积AB、Ab则是对应的直角三角形的三分之一。因此，这些弧线图形的面积和弓形图形的面积恰好与切线AD、Ad的平方成正比，且与相对应的弧或弦AB、Ab的立方成正比。

附录

不过，我们讨论的所有问题都有一个假设的前提，即切角不会无限大于或小于圆形和切线组成的任意切角。也就是说，通过点A的弧线的曲率不会无限大或无限小，且AJ的长度是一个限定值。我们可以设定直线DB与AD的立方成正比，如此，切线AD和弧线AB之间就不可能存在过点A的其他弧线，所以这个切角会无限小于弧线的切角。同样，假设直线DB与AD4、AD5、AD6或AD7等成正比，那么得到一系列趋于无限的切角，且后者无限小于前者。而假设直线DB与AD2、AD、AD、AD、AD或AD等成正比，得到另外一系列趋于无限的切角，那么第一个切角和弧线的切角相等，第二个切角将变得无限大，且后者无限大于前者。从这些切角中任取两个，则两者中间还可以插入另一系列的任意切角，那么它们会以两种方式趋于无限，即后者永远都比前者无限大或无限小。

举个例子，取任意两项AD2和AD3，在两者中间插入另一个系列，即AD、AD、ADADADADAD、AD、AD等。同样，在这个系列中任意两项中间也可以插入新的系列的任意项，其任意两者的差别都有无限的可能性。就如同我们的自然界充满无限可能一样。

以上假设，我们都从弧线和其组成的图形规律中得以证实，并且已经很好地应用到立体曲面和立体容积的运算中。运用这些引理，我们可以规避古代几何学家使用的烦琐且晦涩的解题方法。在证明的过程中，我们可以使用不可分法进行简便计算，但是这个方法不够精确、严谨和几何化。所以，在之后的命题中我将使用最初的量和最终的量的和，以及新生的初量和趋于消失的量的比值来证明。即用这些量的和与比值的极限作为前提，尽可能简化地证明这些量的极限值。现在它们已经用不可分法得到充实证明，所以我可以准确地运用。因此，之后我提到的微小部分的量，或用短弧线代替直线，大家不要认为我在说不可分量，实际上我是指那些趋于消失的可分量；也不要以为我在说那些可知部分的总和与比值，实际上我是指那些和与比值的极限；同时，我在证明中所说的力，也只是引理中所提到的力。

或许有人会提出反对意见，认为根本不存在趋于消失的量的最终比值，因为在量消失前，其比值不是最终的，而当量消失后，其比值也将不复存在。但是，根据同样的道理，我们可以做出以下假设：物体到达某给定位置后不再运动，则速度消失。在物体到达这一位置前，这个速度并非最终速度，当它到达后，速度变为0。那么答案很简单，这个最终速度是物体以这个速度运动，是它到达目的地那一瞬间的速度，而不是它到达目的地停止前的速度，也不是停止后的速度。换一种说法，这个速度是物体到达目的地并停止运动时的速度。

同样的道理，趋于消失的量的最终比值是这个量消失瞬间的比值，而不是它消失前或消失后的比值。因此，新生的初量的最初比值（不管是增大还是减小），都可以被认为是其开始时的比值，同时，开始时的和与最后的和也可以被认为是其刚开始时与刚结束时的和。

最终速度就是运动在最后时刻、不能超越的极限。也就是说，所有初量和最终量以及其比值都有一个极限，这些极限是可以确定且真实存在的，所以我们可以利用几何学来计算它。同时，我们要求解和证明其他任何类的几何问题时，都必须依赖严谨的几何学。

或许还有人持有反对意见，认为若是趋于消失的量的最终比值是可以确定的，那么其最终量也可以确定。即所有量都将包括不可分量，然而，这与欧几里得的著作《几何原本》中证明的不可比较量的论点互相矛盾。所以说，这一论点是建立在一个错误命题之上的。

当量趋于消失时，其比值并不是最终量的比值，而是这个量无限地减少且聚集到一个极限，且这个无限减小的量的比值始终以小于某一任意给定值的量向这个极限靠近。它永远不会超过这个极限，也不会到达这个极限。在无限大的量中，这一点表现得更明显。

如果两个量的差是给定值，且无限增大，那么这些量的最终比值也是给定值，是一个等量比。但是我们不能认为其最终量或最大量是固定值。因此，我在下文中提到最小的、趋于消失的量或最终量，大家不要认为它们是确定的量，而是那些无限减小的量。

第2章：向心力的确定

命题1 定理1

物体围绕某一固定点做圆周运动，且运动区域处于一个不动的平面上，那么运动区域与所用时间成正比。（图A 2-1）

假设时间被分为相等的若干份，物体在第一时间段做惯性运动，经过的路径为直线AB。在第二时间段，如果没有任何阻力，根据定理1，它将沿直线Bc运动到点c，且Bc与AB相等。得出，以点S为中心，以AS、BS、cS为半径所构成的三角形ASB和BSc的面积相等。但是当物体到达点B时，若是受到向心力作用，那么它将偏离直线Bc，从而沿直线BC运动。同时，作直线Cc与BS平行，且与直线BC相交于点C，在第二时间段，物体将运动到点C。根据定理1，物体运动所构成的三角形ABC将与ASB处于同一平面。连接SC，因为直线SB与Cc平行，三角形SBC和SBc的面积相等，所以，三角形SBC面积和ASB也相等。

以此类推，在向心力作用下，物体向点C、D、E等运动，那么在相应时间段内其运动路径为直线CD、DE、EF等，且所有图形都处于同一平面。同时，可以得出三角形SCD和SDE、SEF的面积都与SBC相等。因此，在相等时间内，相等的图形都处于同一平面，根据命题1，这些图形的面积和，比如图形SADS、SAFS都分别与所用时间成正比。现在假设图形数量不断增加，宽度无限减小，那么根据引理3的推论Ⅳ，其最终边ADF将成为一条弧线，同时在向心力作用下，物体会不断偏离相应的切线。因此得出，物体运动时任意时间段走过的路径所构成的图形SADS的面积都与其所用时间成正比。

推论Ⅰ.不计空气阻力，假设物体被某一固定不动的中心吸引，那么其速度与从中心到切线的垂线的长度成反比。物体在点A、B、C、D、E的速度等于全等三角形的底边AB、BC、CD、DE、EF，而这些底边分别与其经中心点的垂线长度成反比。

推论Ⅱ.不计空气阻力，假设物体在相等时间内先后经过弧弦AB、BC，作平行四边形ABCV。那么，当弧线趋于无穷小时，平行四边形的对角线BV将无限向两边延长，且必定经过中心点S。

推论Ⅲ.不计空气阻力，假设物体在相等时间内先后经过弧弦AB、BC、DE和EF，分别作平行四边形ABCV和DEFZ，那么当弧线趋于无穷小时，力在点B和E的比值等于对角线BV和EZ的最终比值。根据本定理的推论Ⅰ，物体沿着弧弦BC、EF运动，就是分别沿着Bc、BV和Ff、EZ运动的和。同时，BV＝Cc，EZ＝Ff，且它们在点B、E受向心力作用，因此它们和向心力成正比。

推论Ⅳ.不计空气阻力，假设物体偏离直线而做曲线运动，那么这个力与相等时间内所经过的弧线的矢（即弧弦的半径）成正比。当弧线趋于无限小时，矢在向心力的作用下会把对应的弦平分为两部分。因为矢的长度等于对角线的一半。

推论Ⅴ.这个力与吸引力的比，与上述提到的矢与垂直于地面的抛物线的矢的比值相等。且这个物体在相等时间内所经过的路径等于这些抛物线的轨迹。

推论Ⅵ.根据上述推论，当物体在平面上运动，不管中心的向心力静止还是处于匀速直线运动状态，上述结论都成立。

命题2 定理2

物体在同一平面做任意曲线运动，通过半径被某一点吸引，不管这个点静止还是做匀速直线运动，其半径所构成的面积都与所用时间成正比，且该物体受这个点的向心力作用。（图A 2-2）

情形1.根据定律1，物体做曲线运动时，不管任何时候都受到施加在自身的力的影响，从而偏离直线运动。而在相等时间内，这个力将让物体经过最小的且相等的三角形SAB、SBC和SCD等。根据欧几里得《几何原本》第一卷中命题40和定律2，这个力受固定不动的点S吸引，在点B，其方向和直线cC平行，由点B指向点S；在点C，方向与直线dD平行，由点C指向点S。以此类推。所以，这个力始终都指向点S，且作用在经过点S的直线上。

情形2.根据定律中的推论Ⅴ，不管物体所在曲线平面静止还是与物体一起运动，其结论都一样。因为物体所在的图形和中心点S始终都处于匀速直线运动状态。

推论Ⅰ.在无阻力的空间或介质中，假设面积和时间不成正比，那么这个力就不会指向半径经过的点。假设物体作加速运动，那么这个力的方向会和物体运动的方向成锐角，反之，则与物体运动的方向成钝角。

推论Ⅱ.在有阻力的空间或介质中，假设物体作加速运动，那么这个力会偏离物体运动的方向，而不会指向固定不变的点S。

附录

物体所受向心力可能由多个力复合而成，在这种情况下，这个命题中指向点S的力就是所有力的合力。但是如果某个力的方向和物体经过的表面相垂直，那么它会使物体偏离原来的平面。但是，这个力经过的平面面积是不变的，所以我们可以对它忽略不计。

命题3 定理3

任何围绕某半径运动的物体，其运动方向指向另一个物体的运动中心，经过的面积和时间成正比，同时该物体也受到另一物体向心力与其所有加速力的合力的作用。

假设有两物体L、T，根据定律的推论Ⅵ，如果两物体在平行方向受一个新力作用，且这个力与物体T受的力相等，但方向相反，那么物体L仍围绕物体T运动，且经过的面积与之前相等。但是物体T受到的力被相等且相反的力抵消，所以根据定律1，物体T保持静止或匀速直线运动状态。同时，物体L受到的力是两个力的差值，它继续围绕物体T运动，经过的面积与时间成正比。因此，根据定理2，剩余的力也是指向物体T。

推论Ⅰ.假设物体L受物体T的吸引并以固定半径运动，它经过的面积与时间成正比，那么，根据推论Ⅱ，物体L受到的力不论是单一的力还是几个力的合力，减去物体T受的全部加速力，剩余的力都会把物体L推向物体T，即物体T将作为物体L作环绕运动的中心点。

推论Ⅱ.假设物体L经过的面积与时间的比值接近正比，那么剩余的力也指向物体T。

推论Ⅲ.假设剩余的力接近指向物体T，那么物体L经过的面积和时间的比值也接近正比。

推论Ⅳ.假设物体L围绕半径运动且被物体T吸引，但其经过面积与时间的比值是不相等的，且物体T处于静止或匀速直线运动状态，那么指向物体T的向心力或消失，或受到其他力的干扰，或与其他力复合。因为其他力更强大，所以这些力的方向发生改变，指向另一个静止或运动的中心。当物体T的向心力被另一个力取代，那么作用于它身上的新力会促使它作任意运动。但是，我们可以得到相同的结论，即物体L受的向心力是减去物体T受的力的剩余力。

附录

如果物体运动时经过的面积相等，意味着物体围绕某一个中心运动，且受向心力吸引。向心力使得物体不断偏离直线运动，且保持在一个运动轨道上。那么，在之后的讨论中，我们就可以把物体围绕中心运动且经过相同面积作为证明这些运动是在自由空间运动的标志。

命题4 定理4

若干物体围绕不同的圆周做匀速运动，其向心力指向圆周的中心，那么向心力分别与相等时间内经过的弧长的平方除以圆周半径的值成正比。

根据命题1的推论Ⅱ和命题2，这些力指向圆周的中心，其比值等于在极短且相等时间内经过的弧线的矢（即弧长的平方除以圆周的直径）的比值。而这些弧线的比值和任意相等时间内物体经过的弧线的比值相等，圆周直径的比值和半径的比值相等。因此，向心力与相等时间内经过的任意弧长的平方除以圆周半径的值成正比。

推论Ⅰ.因为弧长和运动速度成正比，所以向心力与速度的平方成正比，且与半径成正比。

推论Ⅱ.因为物体运动的周期与半径成正比，与速度成反比，所以向心力与半径成正比，与周期的平方成反比。

推论Ⅲ.如果物体运动的周期相等，那么速度与半径成正比，向心力也与半径成正比。反之亦然。

推论Ⅳ.如果物体运动的周期和速度都与半径的平方根成正比，那么向心力相等。反之亦然。

推论Ⅴ.如果物体运动的周期和半径成正比，那么速度相等，且向心力与半径成反比。反之亦然。

推论Ⅵ.如果物体运动的周期与半径的次方成正比，那么速度、向心力与半径的平方根成反比。反之亦然。

推论Ⅶ.以此类推。如果物体运动的周期与半径的任意N次方成正比，那么速度和半径的（N-1）次方成反比，向心力和半径的（2N-1）次方成反比。反之亦然。

推论Ⅷ.物体运动时经过任意相似图形的相似部分，且这些图形都处于相似位置，有各自的中心，那么想要证明任何时间、速度、力都满足以上结论，只要运用之前的实例就可以了。这种计算并不难，只要用相等面积代替相等运动、用物体到中心的距离代替半径就可以了。

推论Ⅸ.同理，物体在已知向心力作用下作圆周匀速运动，那么在任意时间内，它经过的弧长等于圆周直径与其在相同时间内受相同力作用下的所经距离的等比中项（即A∶B＝B∶C则B为A、C的等比中项）。

附录

在天体运动中，克里斯托弗·雷恩爵士、胡克博士和哈雷博士等人都分别发现了推论Ⅵ的理论，所以，之后我将对向心力随着物体到中心距离变化而变化的问题进行系统详细的论述。

同时，根据命题3和推论，我们知道向心力和任意已知力的比值。假设一个物体受重力作用，且以地球为中心做圆周运动，那么重力就是该物体的向心力。根据推论Ⅸ，物体下落时环绕圆周运动一周的时间，以及在任意时间内经过的弧长都是已知的。惠更斯先生在其著作《论摆钟》中，就对重力和做圆周运动的物体所受向心力进行了比较和分析。

因此，我们可以运用以下方法来证明命题3：在任意圆周内做任意的内切多边形，假设物体以给定速度沿多边形运动，在多边形的顶角受到圆周的影响而反弹，那么每次反弹时作用于圆周的力和运动速度成正比。也就是说，在给定时间内，这些力的总和与速度和反弹次数的乘积成正比。假设多边形是给定的，那么它与给定时间内经过的路径成正比，同时随着路径与圆周半径的比值而增大或减少。即多边形与物体所经路径的平方除以圆周半径成正比。所以当多边形的边长无限减小时，它将趋于和圆周重合。此时，它和给定时间内经过的弧长除以圆周半径成正比，即物体施加在圆周上的力。因为反作用力和作用力相等，所以圆周不断把物体推向中心。

命题5 问题1

物体受一个指向公共中心的力作用，同时以给定速度画出一个给定图形，求出这个公共中心。（图A 2-3）

经过点T、V作直线PT、TQV、VR，它们与已知图形相切于点P、Q、R。经过切线上的点P、Q、R作直线PA、QB、RC分别与其切线垂直，同时其长度与物体在各点的速度成反比，然后通过各垂线向外延展。那么，PA与QB的比值等于物体在点Q、P的速度的比值，而QB与RC的比值等于物体在点R、Q的速度的比值。通过垂线的顶点A、B、C作直线AD、DBE、EC，使其分别与这些垂线垂直，且相交于点D、E；再作直线TD、VE，延长并相交于点S，则点S就是所求公共中心。

根据命题1的推论Ⅰ，垂线由中心下落到切线PT、QT上，且与物体在点P和Q的速度成反比，所以与垂线AP、BQ成正比，即与经过点D与切线垂直的线段成正比。由此可以得出，点S、D、T处于同一条直线上，点S、E、V也处于同一条直线上。即公共中心点S就是直线TD、VE的延长线的相交处。

命题6 定理5

不计空气阻力，物体围绕一个静止的中心做环绕运动，在最短时间内经过一个任意短的弧线，假设该弧线的矢平分经过力的中心的弦，那么弧线中间的向心力与矢成正比，与所用时间的平方成反比。（图A 2-4）

根据命题1的推论Ⅳ，在给定时间内弧线的矢和向心力成正比，同时弧长会随着时间的增加以固定值而增大，根据引理11的推论Ⅱ、推论Ⅲ，矢也相应地增大。因此，矢与力、时间的平方成正比。如果两边同时除以时间的平方，那么力与矢成正比，和时间的平方成反比。

同时，运用引理10的推论Ⅳ也可以证明这个定理。

推论Ⅰ.假设物体P围绕中心点S运动，路径为曲线APQ。直线ZPR与该曲线相切，切点为点P。取曲线任意点Q，作直线QR与SP平行，且与切线ZPR相交于点R。再作直线QT与SP垂直，假设点P和点Q重合，那么向心力将与SP的平方和QT的平方的乘积除以QR成反比。因为点P是弧线APQ的中间点，QR等于弧线QP两倍的矢，同时，三角形SQP的两倍或SP和QT的乘积与经过两倍弧长的所用时间成正比，所以时间等于两倍弧长。

推论Ⅱ.假设垂线SY从力的中心延伸，与切线PR的垂线相交，那么向心力和成反比。这是因为在矩形中SY和QP的乘积等于SP和QT的乘积。

推论Ⅲ.假设物体做圆周运动，或与一个同心圆相切或相交，那么轨道在相切或相交处有极小接触角度的圆，且点P的曲率和曲率半径与它是相等的。同时，经过力的中心作弦PV，那么向心力和SY的平方与PV的乘积成反比。这是因为PV等于QP的平方除以QR的值。

推论Ⅳ.与推论Ⅲ做相同假设，那么向心力与速度的平方成正比，和弦成反比。根据命题1的推论Ⅰ，得出速度与垂线SY成反比。

推论Ⅴ.假设任意曲线图形APQ给定，向心力指向的中心点S也给定，那么可以推出向心力定律，即物体P不断偏离直线运动，且运动轨迹与图形相同。通过计算可知，或SY2×PV与向心力成反比。

下面我们将证明向心力定律。

命题7 问题2

假设物体做圆周运动，求指向任意给定点的向心力定律。（图A 2-5）

方法1.假设圆周VQPA已知，点S是力指向的给定中心点。物体P沿着VQPA做圆周运动，点Q是该物体的目的地。直线PRZ是其切线，点P是切点；过点S作弦PV和圆周的直径VA，连接AP；再作直线QT与SP垂直，两者相交于点T；延长QT，与切线PR相交于点Z；再通过点Q作直线LR与SP平行，且分别与圆周、切线PZ相交于点L、R。因为三角形ZQR、ZTP、VPA相似，RP2和QT2的比值与AV2和PV2的比值相等，且PR2等于RL和QR的乘积，因此，QT2等于RL和QR和PV2再除以AV2。如果两边都乘以SP2除以QR的值，当点P和点Q重合时，RL等于PV，那么可以得出：＝。

因此，根据命题6的推论Ⅰ和推论Ⅴ，向心力和成反比，因为AV2是已知的，所以向心力和SP2×PV2（物体运动距离或下落高度的平方及弦PV的三次方的乘积）成反比。

方法2.（图A 2-6）过中心点S作直线SY，与切线PR垂直，因为三角形SYP和VPA相似，所以AV∶PV＝SP∶SY。进而得出，SY＝，＝SY2×PV。根据命题6的推论Ⅲ和推论Ⅴ，向心力与成反比，而AV是已知的，所以向心力和SP2×PV3成反比。

推论Ⅰ.假设向心力持续指向给定的中心点S，假设点S处于圆周上，且与点V重合，那么向心力将与SP5成正比。

推论Ⅱ.物体P沿圆周APTV运动，且受指向中心点S的向心力作用，同时物体P沿着同一圆周以相同周期围绕任意力的中心点R运动，且受到点R的向心力作用，前者与后者的比值等于RP2×SP和直线SG3的比值。通过中心点S作线段SG，与经过中心点R的直线RP平行，且SG与圆周的切线PG相交于点G。根据本命题，三角形PSG、TPV相似，所以前一个力和后一个力的比值等于，同时等于SP×RP2与比值，或等于SP×RP2与SG3的比值。

推论Ⅲ.物体P作任意圆周运动，且受中心点S的力作用，同时物体P沿着同一圆周以相同周期围绕任意力的中心点R运动，且受到点R的力作用，其比值等于SP×RP2与直线SG3的比值。SG经过中心点S，和过中心点R的直线PR平行，且和圆周的切线PG相交于点G。因为物体在任意点P所受的力与它在相同曲率的圆周上所受的力相等。

命题8 问题3

物体沿半圆PQA运动，假设点S趋于无限远，以至于可以把指向该点的直线PS、RS看成是相互平行的，求指向中心点S的向心力定律。（图A 2-7）

点C是半圆的中心点，过点C作圆的半径CA，与直线PS、RS分别相交于点M、N，然后连接CP。因为三角形CPM、PZT、RZQ相似，得出，CP2∶PM2＝PR2∶QT2，根据圆的属性，PR2＝QR×（），当点P和Q重合时，PR2＝QR×2PM，因此得出，CP2∶PM2＝，且 ＝，＝。根据命题6的推论Ⅰ和推论Ⅴ，向心力和成反比，即假设给定的2SP2与CP2的比值是固定值，所以向心力和PM3成反比。

同时，根据命题7也可以得出相同的结论。

附录

同理，当物体作椭圆、曲线或抛物线运动，这个定理也同样适用。即物体所受的向心力也和它从轨道到无限远的中心点的距离的三次方成反比。

命题9 问题4

假设物体沿着螺旋线PQS运动，且以给定角与所有半径如SP、SQ等相交，求指向该螺旋线中心点的向心力定律。（图A 2-8）

方法1.假设任意小的角PSQ已知，相交角也已知，所以图形SPRQT也已知。因此，QT和QR的比值也是已知的，得出 与QT成正比，即QT与SP成正比。但是如果角PSQ增大或减小，那么根据引理11，与角QPR对应的直线QR也会随之增大或减小，即与PR或QT2的变化成正比。因此，的比值保持不变，与SP成正比，得出与SP3成正比。因此，根据命题6的推论Ⅰ和推论Ⅴ，向心力与物体到中心点的距离SP3成反比。

方法2.经过中心点S作直线SY，且与切线PR垂直并相交于点Y，再作与螺旋线同心圆的弦PV，与螺旋线相交于点P，且弦PV与SP的比值是给定值，因此得出，SP3与SY2×PV成正比。根据命题6的推论Ⅲ和推论Ⅴ，得出与向心力SP3成反比。

引理12

作给定椭圆或双曲线的任意共ⅥⅣ轭直径，那么所有以它为边的平行四边形都是相等的。

这个引理在之前关于圆锥曲线的内容中已经证明。

命题10 问题5

假设物体作椭圆运动，求指向该椭圆中心点的向心力定律。（图A 2-9）

方法1.假设CA、CB是椭圆的半轴，GP、DK是椭圆的共轭直径，直线PF垂直于GP、QT垂直于DK，且Qv是点Q到直径GP的距离。作平行四边形QvPR，根据椭圆的属性，和是相等的。因为三角形QvT、PCF相似，得出＝，又根据矩形的属性，＝×，因此得出，vG与的比值等于PC2与的比值。因为QR＝Pv，根据引理12，BC×CA＝CD×PF，当点P和Q重合时，2PC＝vG，又因为外项的乘积等于内项的乘积，所以得出， ＝，因此根据命题6的推论Ⅴ，向心力与成反比。因为2BC2×CA2的值给定，所以向心力和PC的倒数成反比，即与PC成正比。

方法2.直线PG经过椭圆中心点C，且GP、DK是椭圆共轭直径，在直线PG取另一点u，且Tu＝Tv，再取uv，使得＝。根据椭圆的属性， 和相等，因此得出，Qv2＝Pv×uV，两边同时加上Pu×Pv，那么PQ2将与PV×Pv相等。因此与圆锥曲线相切于点P并过点Q的圆周，同时也经过点V。假设点P和Q重合，那么＝＝，或＝，就是说，PV＝。因此根据命题6的推论Ⅲ，向心力与成反比，因为2CD2×PF2是给定值，所以向心力与PC的倒数成反比，即PC成正比。

推论Ⅰ.向心力与物体到椭圆中心点的距离成正比，反之，当向心力和这个距离成正比时，物体围绕椭圆中心点做椭圆运动，或围绕与椭圆相似的圆周做曲线运动。

推论Ⅱ.物体围绕若干椭圆运动，若是椭圆有一个公共中心，那么其运动周期相等，因为根据命题4的推论Ⅲ和推论Ⅶ，它们在相似图形中的运动时间相等。然而若干椭圆有共同的长轴，运动时间的比值与椭圆面积的比值成反比，也和相等时间经过的面积成反比。就是说，运动时间和短轴成正比，和它在长轴最高点的运动速度成反比。同时，前者的比值和后者的比值相等。

附录

假设椭圆的中心点移到无穷远，物体则沿着抛物线运动，那么根据伽利略定理，向心力是一个常数，且指向无穷远的中心点。假设圆锥的抛物曲线因为截面的角度改变，则物体做双曲线运动，向心力变为离心力。与圆周和椭圆的方法类似，假设向心力指向横坐标中任意图形的中心点，且随着纵距而增大或减小，或是任意改变纵距和横距的角度，如果运动周期不变，那么向心力也随着其到中心点距离的比值而增大或减小。同理，在任意种类的图形中，如果纵坐标以给定值任意增大或减小，或是横坐标和纵坐标的角度改变，而运动周期不变，那么横坐标上任意指向中心点的力随着其到中心点距离的比值的变化而变化。

第3章：物体在偏心的圆锥曲线上的运动

命题11 问题6

假设物体作椭圆运动，求指向椭圆中一个焦点的向心力定律。（图A 3-1）

方法1.假设点S为椭圆的一个焦点，作直线SP与椭圆直径DK相交于点E，且与纵距Qv相交于点x，作平行四边形QxPR，那么线段EP等于椭圆长半轴AC。因为过另一焦点H作直线HI平行于EC，且CS＝CH，得出ES＝EI，且EP等于PS与PI和的一半。因为HI与PR平行，角IPR和HPZ相等，因此得出，EP等于PS与PH和的一半，同时PS与PH的和等于长轴，即与2AC相等。

作QT和直线SP垂直，同时假设L是椭圆的通径，那么可以得出，＝＝PE，或者＝，进而得出，＝。由引理7的推论Ⅱ，当点P与Q重合时，Qv2＝Qx2，且＝＝＝＝。

把所有比值进行简化，并设定AC×L＝2CB2，可以得出，＝＝。当点P和Q重合时，2PC＝Gv，因此＝1，所以L×QR＝QT2。假设等式两边同乘以，那么L×SP2＝。根据命题6的推论Ⅰ和推论Ⅴ，向心力和L×SP2成反比，就是说，它与物体到椭圆焦点的距离SP2成反比。

方法2.假设物体P作椭圆运动，且受椭圆中心的力的作用，根据命题10的推论Ⅰ，这个力和物体到椭圆中心点C的距离CP成正比。作线段CE和椭圆的切线PR平行，且CE和经过椭圆任意点S的直线PS相交于E点，且物体P同时受点S的力作用，那么根据命题7的推论Ⅲ，可以得出这个力和成正比。再假设点S是椭圆的焦点，且PE是常数，那么向心力与SP的平方成反比。

证明问题5时，我们延展到抛物线和双曲线，同理这个问题也可以做同样的延展。不过为了解决具体问题，且因为这个问题具有广泛的重要性和应用性，所以我将用特殊的方法来证明。

命题12 问题7

假设物体作双曲线运动，求指向该图形焦点的向心力定律。（图A 3-2）

方法1.假设直线CA、CB为双曲线的半轴，直线PG、KD为共轭直径，PF与直径KD垂直，且Qv是直径GP的纵距。作直线SP分别与DK、Qv相交于点E、x，作平行四边形QRPx，得出，EP等于半轴AC。取双曲线的另一焦点H，过它作直线HI与EC平行。又因为CS＝CH，因此得出ES＝EI，且EP等于PS和PI差值的一半。因为HI与PR平行，且角IPR和HPZ相等，所以PS和PH的差值等于长轴，即PS-PH＝2AC。

另作线段QT和直线SP垂直，同时假设L是双曲线的通径，可以得出，＝＝＝＝。因为三角形Pxv和PEC相似，进而得出，＝根据圆锥曲线的属性，＝。另外根据引理7的推论Ⅱ，当点P与Q重合时，Qv2＝Qx2，因此得出，＝＝，根据引理12也等于。

把所有比值进行简化，并设定AC×L＝2CB2，可以得出，＝＝。当点P和Q重合时，2PC＝Gv，因此＝1，所以L×QR＝QT2。假设等式两边同乘以，那么L×SP2＝。所以根据命题6的推论Ⅰ和推论Ⅴ，向心力与L×SP2成反比，就是说，它与物体到双曲线焦点的距离SP的平方成反比。

方法2.假设物体P作双曲线运动，且受中心点C的力的作用，根据命题10中的推论Ⅰ，这个力和物体到双曲线中心点C的距离CP成正比。作线段CE和双曲线的切线PR平行，且CE和经过双曲线任意一点S的直线PS相交于E点，且物体P同时受点S的力作用，那么根据命题7中的推论Ⅲ，可以得出这个力和成正比。再假设点S是双曲线的焦点，且PE是常数，那么这个力和SP2成反比。

同理，当物体所受的向心力变为离心力时，它将沿着共轭双曲线运动。

引理 13

抛物线任意顶点的通径都等于该顶点到图形焦点的4倍距离。

这个问题已经在圆锥曲线的内容中得到证明。

引理 14

经过抛物线焦点且与切线垂直的线段，是焦点到切点的距离与顶点到焦点的距离的比例中项。（图A 3-3）

假设抛物线焦点为S，顶点为A，切点为P，直线PO是主直径的纵距，它与切线PM相交于点M，过焦点的线段SN与切线PM垂直，是焦点到切点的距离。连接AN，因为MS＝SP，MN＝NP，MA＝AO，且直线AN与OP平行，所以三角形SAN的角A0是直角，同时它和三角形SNM、SNP相似，且三角形SNM和SNP是相等的。因此可以得出，PS∶SN＝SN∶SA。

推论Ⅰ. PS2∶SN2＝SN∶SA

推论Ⅱ. SA是给定值，因此SN2与PS成正比。

推论Ⅲ.直线PM为抛物线任意切线，若是与经过焦点且与切线的垂线SN相交，那么这个交点必定在过顶点的切线AN上。

命题13 问题8

假设物体做抛物线运动，求指向该图形焦点的向心力定律。（图A 3-4）

运用引理14的图，假设物体P做抛物线运动，点Q是它的运动目的地。作直线QR与SP平行，QT与SP垂直，再作直线Qv与切线PM平行，且与PG、SP分别相交于点v、x。因为三角形Pxv、SPM相似，且后者的边SP和SM相等，所以前者的边Px或QR也等于Pv。不过，因为图形为圆锥曲线，根据引理13，纵距Qv的平方等于通径与直径的某小段所组成的矩形面积，即Qv2＝4PS×Pv（或QR）。根据引理7的推论Ⅱ，当点P和Q重合时，Qx＝Qv，因此得出Qx2＝4PS×QR。又因为三角形QxT、SPN相似，根据引理14的推论Ⅰ，可以得出，＝＝＝。根据欧几里得著作《几何原本》中第五卷的命题9得出，QT2＝4SA×QR，当两边同时乘以，可以得出＝SP2×4SA，根据命题6推论Ⅰ和推论Ⅴ，向心力和SP2×4SA成反比。因为4SA是给定值，所以向心力与SP的平方成反比。

推论Ⅰ.任意物体P以任意速度沿着任意直线PR运动，受到向心力吸引，且向心力与从点P到中心的距离的平方成反比，那么物体沿着圆锥曲线运动，且曲线焦点和力的中心重合。反之亦然，因为曲线的焦点、切点和切线都是给定的，所以圆锥曲线和其切点的曲率也是给定的，同时曲率是由向心力和物体的运动速度决定。然而，即便向心力相同、速度相同，物体也不可能画出两条相切的图形。

推论Ⅱ.假设物体在点P的速度给定，在无限小的时间内经过线段PR，同时向心力促使它在直线QR上运动，那么，物体则沿着圆锥曲线中的一种曲线做运动，其主通径等于线段PR、QR无限小的状态下QT2与QR的比值。

在这两个推论中，我把圆周归类于椭圆，并且排除了物体沿着直线运动到中心的这种可能性。

命题14 定理6

假设若干物体围绕一个公共中心运动，向心力与其到中心的距离的平方成反比，那么其轨道的主通径与同一时间内物体到中心的半径所经过的面积的平方成正比。（图A 3-5）

根据命题13的推论Ⅱ，当点P和Q重合时，主通径L与QT2和QR的比值相等。但是线段QR在给定时间内与向心力成正比，又由假设条件可知，它又与SP2成反比，因此可以得出，与QT2×SP2成正比，就是说主通径L与物体到中心的半径所经过的面积（即QT×SP）的平方成正比。

推论.椭圆的面积与长轴所组成的矩形成正比，同时与通径的平方根与周期的乘积成正比。因为椭圆的面积与给定时间内物体所经过的面积（即QT×SP）和周期的乘积成正比。

命题15 定理7

假设条件与上述命题相同，那么椭圆的运动周期与长轴的二分之三次方成正比。

短轴是长轴和通径的比例中项，所以长轴和短轴的乘积等于通径的平方根和长轴的二分之三次方的乘积。根据命题14的推论，长轴和短轴的乘积与通径的平方根和周期的乘积成正比，当两边同时除以通径的平方根，那么可以得出，周期与长轴的二分之三次方成正比。

推论.椭圆的运动周期和以长轴为直径的圆周的运动直径一样。

命题16 定理8

假设条件与上述命题相同，一条直线和椭圆相切，作线段经过公共焦点且与切线垂直，那么运动速度与所作线段成反比，与主通径的平方根成正比。（图A 3-6）

经过焦点S作直线SY，与切线PR垂直，则物体P的运动速度与的平方根成反比。因为速度与给定时间内经过的无穷小的弧长PQ成正比，那么根据引理7，速度也与切线PR成正比，且已知PR∶QT＝SP∶SY，因此得出速度与、SP×QT成正比，与SY成反比。根据命题14，SP×QT是给定时间内物体经过的面积，因此速度与主通径的平方根成正比。

推论Ⅰ.主通径与切线的垂线的平方和速度的平方的乘积成正比。

推论Ⅱ.物体到公共焦点的最大距离或最小距离时的速度和距离成反比，与主通径的平方根成正比，因为垂线就是距离。

推论Ⅲ.物体到公共焦点的最大距离或最小距离的速度与距离中心相等的半径的圆周运动的速度的比值，等于主通径的平方根和该距离的2倍的平方根的比值。

推论Ⅳ.物体作椭圆运动，到公共焦点的平均距离的速度，与以相同距离做圆周运动的速度是相等的。根据命题4的推论Ⅵ，速度与距离的平方根成反比。因为此时焦点到切线的垂线就是短半轴，也是距离和主通径的比例中项。同时，短半轴的倒数与主通径比值的平方根的乘积，等于距离倒数的平方根。

推论Ⅴ.不管是同一图形还是不同图形，如果主通径是相等的，那么物体的运动速度就与焦点到切线的垂线成反比。

推论Ⅵ.物体作抛物线运动，速度与它到焦点的距离的平方根成反比，这个比值在椭圆中较大，在双曲线中较小。因为根据引理14的推论Ⅱ，过焦点且与切线垂直的线段与距离的平方根成正比。所以，该线段在椭圆中的变化比较大，在双曲线中的变化比较小。

推论Ⅶ.物体作抛物线运动，它到焦点任意距离的速度，与其以相同距离为半径做圆周运动的速度的比值是∶1。这个比值在椭圆中会减小，在双曲线中会增大。根据本命题的推论Ⅱ，其速度不论在抛物线顶点还是在任意距离，比值都相等。因此，若是物体作抛物线运动，那么其任意速度都等于以相同距离的一半为半径做圆周运动的速度。同样，它在椭圆中较小，在双曲线中较大。

推论Ⅷ.物体作圆锥曲线运动，根据推论Ⅴ，其速度与以主通径的一半为半径做圆周运动的速度的比值，等于距离与焦点到切线的垂线的比值。

推论Ⅸ.根据命题4的推论Ⅵ，两个物体若是都做圆周运动，那么其速度的比值，与它们距离的比值的平方根成反比。同理，物体若是做圆锥曲线运动，那么速度与以相同距离为半径做圆周运动的速度的比值，等于公共距离和圆锥曲线主通径的一半的比例中项与公共焦点到切线的垂线的比值。

命题17 问题9

假设物体的向心力与它到中心距离的平方成反比，且力的绝对值已知，速度已知，求物体从给定位置沿着给定直线运动时经过的路径。（图A 3-7）

假设物体P受点S的向心力吸引，围绕任意给定弧线Pq运动。物体P在点P的速度是已知的，且以这个速度沿直线PR运动，因为受向心力吸引它将偏离直线做曲线运动，即进入圆锥曲线PQ，如此，直线PR与曲线PQ相切，切点为点P。同理，假设直线Pr和曲线Pq相切，切点为点P，如果过点S的垂线在切线Pr上，那么根据命题16的推论Ⅰ，圆锥曲线的主通径与主通径的比值，等于垂线的平方的比值乘以速度的平方的比值。且这个值是给定值。

现在假设主通径为L，圆锥曲线焦点S给定，假设角RPH、RPS互为补角（即两个角的和为180°），可以得知另一焦点所在直线PH的位置。作直线SK和PH垂直以及共轭半轴BC，可以得出，SP2-2PH×PK+PH2＝SH2＝4CH2＝4BH2-4BC2＝（SP+PH）2-L×（SP+PH）＝Sp2+2PS×PH+PH2-L×（SP+PH），两边同时加上2PH×PK-SP2-PH2+L×（SP+PH），进一步得出，L×（SP+PH）＝2PS×PH+2PK×PH，＝。

现在PH的长度和位置都已知，那么点在P的速度使得通径L比2（SP+KP）小时，那么PH与直线SP位于切线PR的同侧，即图形为椭圆。假设焦点S、H已知，那么主轴SP+PH也是已知值。但是如果物体P的速度增大，通径L与2（SP+KP）相等，那么直线PH的长度也将无限增大，图形变为抛物线，且轴SH平行于直线PK，其位置是可以确定的。物体P的速度继续增大，使得直线PH处于切线的另一侧，且两焦点到切线的距离相等，那么图形变为双曲线，主轴等于SP-PH的值，且这个差值可以确定。

在这些情况中，如果物体所围绕的圆锥曲线是确定的，那么根据命题11、12、13，向心力与物体到力的中心距离的平方成反比，我们可以确定它以给定速度从给定位置P沿着给定直线PR运动的路径，即曲线PQ。

推论Ⅰ.圆锥曲线的顶点D、通径L和焦点S是已知的，那么我们可以通过假设DH与DS的比值等于通径与通径和4DS的差值的比值来求出另一个焦点H的位置。

因为在本推论中，＝可以变成＝，且＝。

推论Ⅱ.如果物体在曲线顶点的速度是已知的，那么可以确定其运动路径。根据命题16的推论Ⅲ，假设通径与距离DS的两倍的比值，等于速度与物体以距离DS为半径做圆周运动的速度比值的平方，那么可以得出DH与DS的比值等于通径与通径和4DS差值的比值。

推论Ⅲ.假设物体作任意圆锥曲线运动，且在任意推动力作用下偏离原路径，那么我们可以确定其新路径。因为把新旧运动进行复合，就可以得出在推动力作用下物体偏离指定点后的运动。

推论Ⅳ.假设物体连续受某外力作用，可以得出在力的影响下其运动的变化，同理可以得出它在运动序列中的影响，估算出它在各个点持续产生的变化，从而推测出物体运动的近似路径。

附录

假设物体P沿着以点C为中心的任意圆锥做曲线运动，且受指向任意点R的向心力吸引，其运动符合向心力定律。作直线CG与半径RP平行，且与切线PG相交于点G，那么根据命题10的推论Ⅰ和附录以及命题7的推论Ⅲ，物体P所受的力等于。（图A 3-8）

第4章：通过已知焦点求椭圆、抛物线和双曲线的轨道

引理 15

假设过椭圆或双曲线的两个焦点S、H，分别作直线SV、HV相交于点V，直线HV是图形焦点所在的主轴。直线SV和通过点T的直线TR垂直，且ST＝VT，那么直线TR将和该圆锥曲线相切。反之亦然，如果直线TR和圆锥曲线相切，那么直线HV一定是椭圆或双曲线的主轴。（图A 4-1）

假设直线TR与直线HV垂直相交于点R，连接点S和R，因为ST＝VT，所以SR＝VR，角TRS和TRV也相等。因此得出，点R一定在圆锥曲线上，且直线TR和该圆锥曲线在点R相切。反之亦然。

命题18 问题10

根据已知焦点和主轴做出椭圆或双曲线，让它过给定点且与给定直线相切。（图A 4-2）

假设点S为公共焦点，AB为任意曲线的主轴，点P为该曲线应该经过的点，直线TR与该曲线相切。围绕点P作圆周HG，如果曲线是椭圆，则半径为AB-SP；如果是双曲线，则半径为AB+SP。另外作线段ST，与切线TR垂直，延长ST使得VT＝ST。再以点V为圆心、AB为半径作圆周FH。同理，不管两个点P、p给定，还是两条切线TR、tr给定，或是一个点P和一条切线TR给定，都可以做出两个圆周。

假设点H是两个圆周的交点，根据焦点S、H和已知的主轴做出圆锥曲线，那么问题就解决了。因为椭圆的PH+SP、双曲线的PH-SP都等于主轴，所以该曲线经过点P，且与直线TR相切。同理，该曲线经过两点P、p，或与直线TR、tr相切。

命题19 问题11

根据一个已知焦点作抛物线，使其经过给定点且与给定位直线相切。（图A 4-3）

假设焦点S和任意点P都是给定的，切线TR也是给定的。以点P为中心，作半径为PS的圆周FG。经过焦点S作线段ST与切线TR垂直，延长ST到点V，使得VT＝ST。同理，如果点p是给定的，可以做出另一个圆周fg；如果切线tr是给定的，那么根据切线tr可以得出点v的位置。假设点P和切线TR是给定的，过点V作直线IF与圆周FG相切，如果点P、p是给定的，那么直线IF和圆周FG、fg都相切；如果切线TR、tr是给定的，那么直线IF和点V、v都相交。

再作线段SI和直线FI垂直，取点K使得KI＝KS，如果以K为顶点、SK为主轴做出抛物线，那么问题就解决了。因为KI＝KS，SP＝FP，抛物线过点P，根据引理14的推论Ⅲ，ST＝TV，且角STR是直角，因此抛物线和直线TR相切。

命题20 问题1 2

根据一个已知焦点做出圆锥曲线，使其经过给定的点且和给定直线相切。

情形1.焦点S是已知的，求经过点B、C的曲线ABC。（图A 4-4）

因为曲线类型已知，其主轴和焦点距离的比值也已知，且直线KB与BS的比值、直线LC与CS的比值和这个比值都相等。以点B、C为中心、直线BK、CL为半径分别做出两个圆，分别与直线KL在点K、L相切，再作直线SG和KL垂直的延长线相交于点G；再在直线SG上取两点A、a，使得＝＝。因此，以Aa为轴，经过顶点A、a作圆锥曲线，那么问题就解决了。如果点H是图形的另一个焦点，且＝，得出＝，或＝，因此主轴与焦点距离的比值是固定值，所得图形就是所求图形的类型。同时，因为＝，因此该图形为经过点B、C的圆锥曲线。

情形2.焦点S是已知的，求与直线TR、tr相切的曲线。（图A 4-5）

经过焦点S作线段ST、St分别与直线TR、tr垂直，延长ST、St到点V、v，且TV＝ST，tv＝St，OV＝vO，作直线OH垂直Vv，并与直线VS的延长线相交于点。另外在直线VS线上取两点K、k，VK与KS的比值、VK与KS比值都等于主轴与焦点距离的比值。以线段Kk为直径作圆周，和直线OH相交于点H，再以点S、H为焦点、VH为主轴做出曲线，那么问题就解决了。

因为点X平分线段Kk，连接HX、HS、HV、Hv，又因为＝，因此，＝，＝，可以得出＝，且三角形VXH、HXS相似，进而得出＝＝，因此，VH与SH的比值等于所求曲线主轴与焦点距离的比值。即，两条曲线的类型相同，都是圆锥曲线。同时，因为VH、vH和主轴相等，且VS、vS分别与直线TR、tr垂直且被平分，根据引理15，这些直线与所作曲线相切。

情形3.焦点S是已知的，求与给定点R、直线TR相切的曲线。（图A 4-6）

经过焦点S作线段ST与直线TR垂直，延长ST到点V，且TV＝ST。连接VR，使它和直线VS延长线相交，另外在直线VS线上取两点K、k，VK与KS的比值、VK与KS比值等于主轴和焦点距离的比值。以线段Kk为直径做出圆周，和直线VR的延长线相交于点H，再以点S、H为焦点、VH为主轴做出曲线，那么问题就解决了。

根据上述证明，因为VH和SH的比值、VK和SK的比值等于主轴和焦点距离的比值，因此，所作曲线和所求曲线类型相同。根据圆锥曲线的属性，若是直线TR平分角VRS，那么直线TR一定和该曲线相切，且切点为点R。

情形4.焦点S是已知的，求与直线TR相切的曲线APB，且该曲线经过切线外任意已知点P，同时和以ab为主轴、点s、h为焦点所做的圆锥曲线apb相似。（图A 4-7）

经过焦点S作线段ST与直线TR垂直，延长ST到点V，且TV＝ST。作角hsq和VSP相等，角shq和SVP相等。再以点q为中心，以ab乘以SP和VS的比值为半径作圆周，该圆周和曲线apb相交于点p。连接sp，做出直线SH，使得＝，且角PSH和psh相等，角VSH和psq相等。以点S、H为焦点，AB（与距离VH相等）为主轴做出圆锥曲线，那么问题就解决了。（图A 4-8）

因为如果作直线sv，让＝，角vsp和hsq相等，角vsh和psq相等，且三角形svh、spq相似，可以得出＝。

因为三角形VSP和hsq相似，三角形VSH和vsh相似，所以vh＝ab，＝，可以得出，所作曲线的主轴与焦点距离比值等于ab与sh的比值，所作图形和圆锥曲线apb相似。又因为三角形PSH和psh是相似的，且主轴等于距离VH，直线TR垂直且平分直线VS，所以该图形经过点P，且与直线TR相切。

引理 16

由三个给定点作三条直线相交于第四个任意点，使其差值或为给定值，或为零。（图A 4-9）

情形1.点A、B、C已知，点Z是第四个任意点。因为直线AZ与BZ的差值是给定值，所以经过点Z的图形一定是以点A、B为焦点、以AZ-BZ的值为主轴的双曲线。假设主轴为直线MN，取点P使得＝。再作直线PR与AB垂直，作直线ZR与PR垂直，那么根据双曲线的属性，＝。同理，经过点Z的图形也是双曲线，焦点是点A、C，主轴是AZ-CZ的值。再作直线QS与AC垂直，如果取双曲线上任意点Z，经过它作直线ZS垂直QS，那么得出，＝。因为ZR与AZ的比值、ZS与AZ的比值已知，所以ZR与ZS的比值也可以确定。如果作直线PR和QS的延长线相交于点T，那么做出TZ和TA就可以确定图形TRZS的类型，以及点Z所在直线TZ的位置。又因为直线TA和角ATZ已知，AZ与ZS的比值、TZ与ZS的比值也已知，那么它们相互间的比值可以确定。因此以点Z为顶点的角ATZ也可以确定。

情形2.假设三条直线中的任意两条相等，比如AZ＝BZ，作直线TZ过直线AB的中点，那么按照上述方法就可以得出三角形ATZ。

情形3.如果三条直线的长度都相等，那么点Z是经过点A、B、C所作圆周的中心。

另外，这一引理在维也特修订的阿波罗尼奥斯所著的《切触》中也得到证明。

命题21 问题13

根据一个给定焦点作一条曲线，使其过给定点且与给定直线相切。（图A 4-10）

假设焦点S、任意点P、切线TR都已知，求另一个焦点H的位置。作直线ST与切线TR垂直，延长ST到点Y，使得TY＝ST，那么直线YH等于主轴。再连接SP、HP，SP则等于HP与主轴的差值。同理，假设更多的切线TR已知，或是更多的点P已知，那么就可以确定点Y到焦点的直线YH，或者点P到焦点的直线PH是和主轴相等，还是和主轴与直线SP的差值相等。进而得出，YH与PH是相等，还是等于给定的差值。根据引理16，焦点H的位置就可以确定了。同时，焦点、主轴是已知的，主轴长度或等于YH，或等于PH+SP（轨道为椭圆时），或等于PH-SP（轨道为双曲线时），那么曲线就可以确定了。

附录

当我说轨道是双曲线时，指的是其中一支，而不包括另一支。因为物体做连续运动时，不可能脱离双曲线的一支跳入另一支。

假设三个点都是已知的，那么解决方法就更简单了。点B、C、D是指定点，连接BC、CD，并延长到点E、F，使得＝，＝。在直线EF上取点G、H，经过两点分别作直线SG、BH垂直EF。让GS不断延长，趋于无限，然后取点A、a，使得＝＝，可以得出，点A为曲线的顶点，Aa为主轴。当GA大于AS时，轨道为椭圆，当GA等于AS时，轨道为抛物线，而当GA小于AS时，轨道为双曲线。

如果轨道是椭圆，点A、a位于直线GF同侧，如果轨道是抛物线，则点a位于无限远处，如果轨道是双曲线，则点a、A位于直线GF两侧。作线段CI、DK垂直GF，得出＝＝，经过整理置换得出，＝＝＝。因此，点B、C、D都在以点S为焦点的圆锥曲线上，同时焦点S到各点的直线与对应的点到直线GF的垂线的比值都是指定值。（图A 4-11）

几何学家德拉希尔在著作《圆锥曲线》中第八卷的命题25也证明了这一问题，且证明方法几乎和我们相同。

第5章：由未知焦点示曲线轨道

引理17

已知圆锥曲线上任意一点P，在圆锥曲线上取四点作给定角度的任意四边形ABDC，从P点出发，向四边形的四条边AB、CD、AC、DB所在直线分别作PQ、PR、PS、PT四条直线，则PQ×PR与PS×PT的比值是给定数值。

情形1.假设从P两条对边的直线与另外两条对边的其中一条是平行关系，例如PR、RQ平行于AC，PS、PT平行于AB，设两条对边也平行，比如AC平行于BD（图A 5-1）。如果一条圆锥曲线的直径穿过平行边线段的中点，即平分两条平行对边的线段AC和BD，那么这条直径也平分RQ。设RQ的中点为O，则PO是直径上的纵标线。将PO延长，与圆锥曲线相交于点K，PO＝OK，则OK是直径另一侧的纵标线。

因为A、B、P、K都是圆锥曲线上的点，所以PK以指定角度和AB相交。由《圆锥曲线》卷三中的相关命题可得，PQ×QK比AQ×QB的值为指定值。因为PO＝OK，且RO＝OQ，所以PO-RO＝OK-OQ，即QK＝PR，所以PQ×QK＝PQ×PR。由此可得，PQ×PR与AQ×QB的比值为指定值，而PS＝AQ且PT＝QB，可得PQ＝PR与PS×PT的比值为指定值。

情形2.假设对边AC和BD不平行（图A 5-2），作与边AC平行的直线，该直线与直线ST相交于点t，与圆锥曲线相交与点d。连接点d和点C，直线Cd和直线PQ相交于点r，从D点出发，作平行于边AC的直线，与Cd相交于点M，与AB相交于点N。由△BTt相似于△DBN，可得＝，又Bt＝PQ，得＝，＝＝。进而可得出＝。根据情形1，已知＝。又由分比性质可得，＝。

情形3.假设PQ、PR、PS、PT四条直线任意相交于P点，且与四边形的两边AC、AB不平行。从P点出发作边AC的平行线Pq，且与CD相交于r。过P点作边AB的平行线，该直线与四边形的对边AC和BD分别相交于s点和t点，即得Ps、Pt平行于AB。△PQq、△PRr、△PSs和△PTt的角均为给定角，则、、、也为给定值，所以复合比值、也是给定值。而是已知数，所以也是已知数。（图A 5-3）

引理18

在圆锥曲线上取四点作给定角度的任意四边形ABDC，从四边形外的P点出发，向四边形的四条边AB、CD、AC、DB所在直线分别作PQ、PR、PS、PT四条直线。如果PQ×PR与PS×PT的比值是固定的，那么点P就在四边形所在的圆锥曲线上。（图A 5-4）

设P为任意点的集合，如果得出其中一点p在圆锥曲线上，就可以得出，点P在圆锥曲线上。下面采取反证法，先否定这一论述，连接A、P两点，得直线AP。假设直线AP与圆锥曲线相交于点P以外的任意一点b。从点p出发，以给定角度向四边形ABDC的四条边AB、CD、AC、DB作四条直线pq、pr、ps和pt。从点b出发，同样得出四条直线bk、bn、bf和bd。由引理17可得，＝。根据假设的条件，又可以得出＝＝。

由四边形Dnbd与四边形PQAS是相似关系，可得＝。又将等式＝中的全面一项去除，可得出＝。所以，等角四边形Dnbd相似于四边形DRPT，二者的对角线Db和DP是重合的。所以，点b位于直线AP与DP的交点上，即与点P重合。

综上可得，无论点P在那个位置，最终都会落在圆锥曲线上。

推论.从一点P出发，向三条指定直线AB、CD、AC作三条直线，三条直线分别与三条指定直线AB、CD、AC相交于Q、R、S点。分别对应六条直线，同时每条直线与其他直线以指定角度相交，为指定值。所以，点P位于圆锥曲线上，且直线AB、CD与该圆锥曲线相切于点A和点C，反过来也是如此。因为如果将直线BD向直线AC无限靠近，使二者重合，而三条直线AB、CD、AC的位置并未改变；如果将直线PT无限靠近直线PS，使二者重合，那么PS×PT＝PS2；除此之外，直线AB、CD与圆锥曲线相交于A、B、C、D四点，在这四点完全重合的情况下，圆锥曲线与直线AB、CD就是相切的关系，并非相交。

附录

在上述引理中，所提到的圆锥曲线是一个广义的概念，因为圆锥曲线包括过圆锥顶点的直线截线和平行于圆锥底面的圆周截线。如果点P在直线AD或直线BC上，那么圆锥曲线就变成两条直线，点P在其中一条直线上，而四个点中的另外两个点在另一条直线上。如果四边形ABCD的两个对角之和为180°，则PQ、PR、PS、PT四条直线分别垂直于四边形ABCD的四条边，或者各自相交的角度一致，且PQ×PR＝PS×PT，在这种情况下，圆锥曲线就是圆周。还有一种情况下，圆锥曲线是圆周，那就是：从P点出发，以任意角度作PQ、PR、PS、PT四条直线，且＝。

在所有情形中，点P的轨迹是三种圆锥曲线图形之一。除了上述四边形ABCD，还可以用其对边可以像对角线一样交叉的另一种四边形。而如果A、B、C、D四点中的任意一点或两点向无限远处移动，这说明四边形ABCD的四条边收敛于这一点，一对对边直线或两对对边直线相互平行，其余的点则在圆锥曲线上，沿着抛物线的轨迹和相同的方向，向无穷远处延伸。

引理19

从P点出发，以已知角度，向四条直线AB、CD、AC、BD分别作直线PQ、PR、PS、PT，则为指定值。（图A 5-5）

假设以上乘积中的一个在到直线AB、CD的任意两条直线PQ和PR中。四条直线AB、AC、CD、BD分别相交于点A、B、C、D，形成四边形ABCD。A、B、C、D四点中，任意选择一点A，连接AP，直线AP与直线BD相交于H点，与直线CD相交于点I。图形中的角度大小均为指定值，所以、、的比值也为指定值。因为也为指定值，则除以，所得也为指定值。以与给定值、相乘，则的值就是确定的，P点的位置也能确定。

推论Ⅰ.同样情况下，也可以在点P的轨迹上取任意一点D，在点D处作切线。当点P与点D重合时，点D在直线AH上，弦PD就成了切线。在这种情况下，线段IP越来越小，直至消失，从上面的推论过程中，可以得出的最终值。过C点作直线AD的平行线CF，点F为其与直线BD的交点。从点D以相同的最终比值作直线DE，直线DE与直线CF交于点E，因为直线CF平行于无限变小、逐渐消失的直线HI，且直线CF和直线HI与轨迹分别相交于点E和点P，所以直线DE为切线。（图A 5-6）

推论Ⅱ.所有点P的轨迹都是可以求出来的。对于四边形ABCD的四个顶点A、B、C、D，从其中任意一点，作与点P的轨迹相切的直线，如经过点A，作点P轨迹的切线AE。再过其他任意一点，作切线AE的平行线，例如经过点B，做与切线AE平行的直线BF，直线BF与点P的轨迹相交于点F。根据引理19，可以求出点F。假设点G为线段BF的中点，连接点A和点G，直线AG就是直径所在的直线。则BG和FG就是直径两侧的纵标线。如果直线AG和所有点P的轨迹相交于点H，那么AH就成了直径或横向的通径，则＝。而如果直线AG和所有点P的轨迹不相交，直线AH无限延长，那么所有点P的轨迹为抛物线，直线AG所对应的通径等于。如果直线AG和所有点P的轨迹相交于某点，当点A和点H位于点G的同一侧，所有点P的轨迹为双曲线；当点A和点H位于点G两侧时，所有点P的轨迹为椭圆；如果角AGB的大小为90°，且BG2＝AG×GH，所有点P的轨迹为圆周。（图A 5-7）

从欧几里得时期开始人们喜欢讨论的经典四线问题，在推论中得到了解答。在那之后，古希腊数学家阿波罗尼奥斯又对这个问题进行了拓展，就某种意义来说，这也是古人的需求。但是，事实上，这些问题无须分析和演算，几何作图就可以解答。

引理20

若在任意平行四边形ASPQ中，有两个相对的顶点，如点A和点P，在任意圆锥曲线上，角SAQ的两条边AQ、AS均向外延伸，与圆锥曲线相交于点B和点C；通过点B和点C作直线，两条直线均与圆锥曲线相交于点D，得直线BD和直线CD。直线BD和直线CD与平行四边形ASPQ另外的两条边PS、PQ所在的直线相交于点T和点R。则在圆锥曲线划出部分，的值为固定值。反过来推也是可以的，即如果圆锥曲线划出部分相互比值是固定值，则点D在点A、B、C和点P所在的圆锥曲线上。（图A 5-7）

情形1.连接CP和BP，由点D作AB的平行线DG，DG与BP相交于点H，与PQ相交于点I，与AC相交于点G。再由点D作AC的平行线DE，DE与CP相交于点F，与SP相交于点K，与AB相交于点E。由引理17可得，为给定值。

由＝＝＝，可得＝，同理可得，＝＝＝，所以，＝。将两等式子相乘，得出＝，且比值为指定值。而PQ和PS都为指定值，所以也为指定值。

情形2.如果已知为指定值，同理逆推可得，也为指定值。由引理18可得，点D在A、B、C、P所在的圆锥曲线上。

推论Ⅰ.连接BC，直线BC与PQ相交于点r，过点B作圆锥曲线的切线Bt，与直线PT相交于点t。假设点D和点B相互重合，则弦BD会消失，BT就成了切线，且CD与CB重合，BT与Bt重合。

推论Ⅱ.反过来，在Bt是切线的前提下，直线BD和直线CD相交于圆锥曲线上任意一点D，则＝，所以，BD和CD一定在圆锥曲线上任意一点D处相交。

推论Ⅲ.如果两条圆锥曲线相交，最多有四个交点。但是如果两条圆锥曲线有四个以上的交点，那么两条圆锥曲线会经过A、B、C、P、O五个点。如果这两条圆锥曲线与直线BD相交于点D和点d，并且直线Cd与直线PQ相交于点q，则可得＝，所以PR＝Pq，然而这个结论与命题是相矛盾的。

引理21

已知指定点B点和C点，以点B和点C为极点，作两条不确定但能移动的直线，使其相交于点M。经过点M作给定位置的直线MN，再作另外两条不确定的直线BD和CD，使其相交于点D。直线BD和CD与直线BM和CM，在指定点B点和C点构成指定角∠MBD和∠MCD，则指定点B、C两点在过点D所做出的圆锥曲线上。反过来讲，如果过点D所做出的圆锥曲线经过定点B、C、A，∠MBD等于指定角∠ABC，那么点M的轨迹是一条指定位置的直线。（图A 5-8）

点N为指定点，直线MN上的点M为可动点，当点M落在点N上时，使可动点D落在指定点P上，连接CN、BN、CP和BP，从点P出发，向直线BD作直线PT，向直线CD作直线PR，使得∠BPT＝指定角∠BNM，∠CPR＝指定角∠CNM。由给定的条件，∠MBD＝∠NBP，∠MCD＝∠NCP除了公共角∠NBD和∠NCD，∠NBM＝∠PBT＝∠NCM＝∠PCR，由此可得，△NBM∽△PBT，△NCM∽△PCR。所以，＝，＝。因为点B、C、N、P为指定点，所以、和都为指定值。根据引理20，可动直线BT和直线CR相交于点D，且点D在一条圆锥曲线上，那么，点B、C、P点就在这条圆锥曲线上。（图A 5-9）

反之，如果经过定点B、C、A的圆锥曲线，经过可动点D，且满足∠DBM＝给定角∠ABC，∠DCM＝给定角∠ACB。在圆锥曲线上取两个任意不动点P和p，当点D相继落到点P和点p时，可动点M也相继落在不动点N和n上，则可动点M的轨迹就是一条经过点N和n的直线Nn。

如果点M的运动轨迹为任意曲线，那么圆锥曲线会经过点D，且B、C、A、P、p五个点在这条圆锥曲线上。所以，当点M一直落在曲线上时，圆锥曲线也会经过点D，也会经过B、C、A、P、p五个点。如此，两条圆锥曲线都经过了相同的五个点，这与引理20的推论Ⅲ是矛盾的，所以点M落在曲线上这一部分的可能性为0。

命题22 问题14

作一条通过五个指定点的曲线轨道。（图A 5-10）

方法1.确定五个指定点，假设五个指定点为A、B、C、P、D。先选取其中任意一点，向其他任意两点作直线，比如分别作从点A到点B和点C的直线AB、AAC，点B和点C即为极点。经过第四点，比如点P，分别作直线AB和直线AC的平行线TPS和PRO。从极点B和C分别作无穷直线BT和CR，使之经过第五个点D，直线BDT和直线TPS相交于点T，直线CRD和直线PRO相交于点R。经过点B，作直线AC的平行线Bt，连接TR，过t点，作直线TR的平行线tr，可得＝。连接Cr，其延长线与Bt相交于点d，则点d就在通过五个指定点的曲线轨道上。原因是，根据引理20，经过点A、B、C、P的圆锥曲线，也经过点d，当线段Rr和Tt逐渐消失时，点D与点d重合。所以，圆锥曲线经过A、B、C、P、D五个指定点。

方法2.在以上五个给定点中，选择任意三个点，并将它们相连接。比如依照次序连接点A、B、C。以点B和点C为极点，旋转指定角∠ABC和∠ACB，使得两角的一边BA、CA先经过点D，在经过点P。在这两种情况下，边BL和CL分别相交于点M和点N，再连接MN，作无限直线，让可动角∠ABC和∠ACB分别绕着它们的极点旋转，假设边BL和BM或边CL与CM相交于点m，那么点m会一直落在不确定的无限直线MN上，再假设边BA与BD或边CA与CD相交于点d，可以画出过P、A、D、d、B五个点的曲线PADdB。由引理21可得，经过点B和点C的圆锥曲线也将经过点d。而当点m与点L、M、N重合时，点d也会与点P、A、D重合。所以，画出的圆锥曲线会经过A、B、C、P、D五个指定点。（图A 5-11）

推论Ⅰ.经过任意指定点B，作与轨道的切线。当点d与点B重合时，直线Bd为所求切线。

推论Ⅱ.由引理19的推论，也能求出轨道的中心、直径和通径。

附录

还有比第一种方法更简洁的一种方法：

连接BP，有必要的话，可以延长直线BP，在其延长线上取一点p，使＝。再从点p出发作直线SPT的平行线pe，且使得pe＝pr。作直线Be和直线Cr，使得两条直线相交于点d。因为＝＝＝，所以pe＝pr。通过这种方法，就能很容易地找出轨道上的点，除非圆锥曲线是由第二种作图法机械做出来的。

命题23 问题15

通过四个定点，作与给定直线相切的圆锥曲线轨道。（图A 5-12）

情形1.假设指定切线为HB，直线HB与圆锥曲线相切于点B，其他三个指定点就是点C、点D和P。连接BC，过点P分别作直线HB、直线BC的平行线PS、PQ，由此，作平行四边形BSPQ。连接BD，与直线BS相交于点T，连接CD，直线CD与直线PQ相交于点R。最后，作直线TR的任意平行线tr，使得＝。由引理20可得，连接Cr和Bt，两条直线的交点d将一直落在所求曲线轨道上。

其他方法：以点B为极点，作指定角∠CBH，使其绕点B旋转。向两边延长半径DC，并使其极点C旋转。设∠CBH的一边BC，与半径DC相交于点M和点N，另一条边BH，与半径DC相交于点P和点D。连接MN，并向两边无限延长直线MN，使其始终与半径DC或半径PC、边BC相交，而根据边BH与半径的交点，可以推导出曲线的轨迹。（图A 5-13）

在下图中，点A和点B重合，直线CA重合于直线CB，则直线AB最终会演变成切线BH，前面的做法与此方法是相同的，边BH与半径的交点的轨迹就是一条圆锥曲线，且点C、点D和P在圆锥曲线上，切线BH与圆锥曲线相切于点B。

情形2.假设切线HI不经过给定的四个点B、C、D、P，将这四个点两两连接，比如连接BD和CP，设直线BD与直线CP相交于点G，且分别于切线相交于点H和点I，在切线HI上作点A，使得＝，如果满足这些条件，点A就是切线HI与圆锥曲线的相切之处。因为如果直线HX平行于直线PI，并与轨道相交，交点为任意点X与点Y，由圆锥曲线的性质可得，＝或者＝×。由此，求出切点A后，可以通过情形1画出圆锥曲线。（图A 5-14）

但需要注意的是，点A既有可能位于点H和点I的中间，也有可能位于线段HI的外面，所以，如果以这两种可能作图，将会做出两种不同的圆锥曲线。

命题24 问题16

做出过三个指定点，并与两条指定直线相切的曲线轨道。（图A 5-15）

假设三个指定点为点B、C、D，直线HI和直线KL为指定切线。连接其中任意两点，比如连接BD，直线BD分别和两条切线相交，交点分别为点H、点K。连接CD，直线CD也分别和两条切线相交于点I和点L。在直线HK上取点R，在直线IL上取点S，使得＝，＝。点R既有可能位于点H和点K的中间，也有可能位于线段HK的外面。同样地，R既有可能位于点I和点L的中间，也有可能位于线段IL的外面。连接RS，直线RS分别与两条切线相交于点A和点P，则点A和点P成了切点。假设切点A和P在切线上的位置是任意的，过两条切线HI和KL上H、I、K、L四点中的任意一点，作与另一条切线的平行线，比如过切线HI上的点I，作切线KL的平行线IY，直线IY与圆锥曲线相交于X、Y两点，在直线IY取一点Z，使得IZ＝，即使IZ为IX和IY的比例中项，那么，根据圆锥曲线的性质，＝＝，所以＝。由此可得，P、Z、A三点在同一条直线上，点S、P、A也在同一条直线上。同理可得，点R、P、A也在同一条直线上。进而可以得出，切点A和切点P在直线RS上。求出这些点后，再加上上个问题的条件，就可以做出与指定直线HI和KL相切的曲线轨道了。

在本命题的作图方法和上一个命题情形2的作图方法是一致的，直线XY是否与曲线轨道相交于点X和点Y，并不是确定做出的图形需要的条件。但是，既然有了证明直线与曲线轨道相交时的作图法，就会有证明直线与曲线轨道不相交的作图法。只是为了内容简洁，这里不再做进一步的证明。

引理22

将图形转变为相同类型的另一图形。（图A 5-16）

假设被转变的任意图形为HGI，任意作两条平行线AO和BL，且两条平行线分别与给定的任意直线AB相交于点A和点B。取图形HGI上任意一点G，作直线AO和BL的平行线GD，直线GD与直线AB相交于点D。在直线AO取任意定点O，连接DO，且直线DO与直线BL相交于点d，从点d出发，作任意直线dg，使之与直线BL构成指定角，且使得＝。基于此，点g在新图形hgi上，并且与点G相对应。通过同样的方法，图形HGI上的多个点都可以一一对应新图形上的点。如果点G因受连续作用而经过图形HGI上的所有点，那么相对应地，新图形上点g也会受到连续作用而经过新图形上所有点，两者画出的图形也就没有差异。为了区别开来，以直线GD为原始纵标线，直线dg为新纵标线，以直线AD为原始横标线，直线ad为新横标线，以O为极点，OD为分割半径，OA为原纵标线上的半径，Oa是新纵标线上的半径。

如果点G在指定直线上，那么点g也在指定直线上。同理，如果点G在圆锥曲线上，那么点g也在圆锥曲线上，而且本来圆周也是圆锥曲线一种。除此之外，如果点G在三次解析曲线上，那么点g也在三次解析曲线上，就算是更高级的解析曲线，情况也是如此。点G所在曲线的解析次数总与点g所在曲线的解析次数相等。因为＝＝＝，所以AD＝，DG＝。如果点G在直线上，那么在任意表示横标线AD和纵标线GD的等式方程中，未知量AD和GD都是一次的。如果将AD替代为，将GD替代为，在如此所得的表示新横标线ad和新纵标线dg关系的方程中，ad和dg也是一次的。因此ad和dg就只表示一条直线。同样地，如果原方程中的AD和GD是二次的，那么新方程中的ad和dg也会是二次的，这种情况，在上升到三次乃至更高次数时，也是一样的。总之，未知量ad和dg在新方程中的次数总是等于AD和GD在原方程中的次数，所以点G所在的曲线解析级数等于点g所在的曲线解析级数上。

还有，如果有任意直线与原图形相切，且直线与原图形曲线以相同的方式进行了转变，那么转变后的直线与新图形曲线相切，反之亦然。而且，如果原图形曲线上任意两点不断相互靠近并重合，那么在新图形曲线上对应的两点也会不断靠近直至重合。因此，在旧新两个图形中，如果某些点构成的直线在旧图形中变为曲线的切线，那么在新图形中，对应的新的直线亦是变为曲线的切线。其实，这些问题本应该用更加几何的方法来证明，但是为了达到简洁的效果，在这里省略了这一部分证明过程。

对于一条直线来说，只要转变原图形中直线的交点，就可以将一条直线转变为另一条直线，转变后的新图形直线，可以通过这些转变的交点作出来。但是对于曲线图形来说，就必须要转变确定的曲线上的点、切线或者其他直线。此引理可以用来解决更难更复杂的问题，因为较复杂的图形可以通过本引理转变成较简单的图形。如果不平行的直线可以汇集到一点，将通过该点的任意直线代替原纵坐标半径，将那些汇集于一点的不平行的所有任意直线转变为平行线，唯有如此，直线的交点才会转到无限远处，这些转变后的平行线会靠近于那个无限远的交点。在新图形中解决了旧图形的问题过后，用逆运算的方法，将新图形转变为原图形，在原图形中想要的解就可以求出来。

对于立体几何问题，此引理也是可用的。对于两条圆锥曲线相交的问题，这也是通常需要解决的问题，其中任意一个圆锥曲线都有被转变的可能，如果圆锥曲线是双曲线或抛物线，那么它就能转变为椭圆，而椭圆就能转变成圆。另外，在平面作图的问题中，直线也可以转变为另一条直线，圆锥曲线可以转变为圆周。

命题25 问题17

做出与三条给定直线相切，并通过两个定点的曲线轨道。（图A 5-17）

连接两个定点，作一条直线，此直线与任意一条切线相交于一点，另外两条切线相交，将这两个交点连接，作一条直线，并将原纵坐标半径代替为这条直线，根据上一个引理，原图形可以转变为新图形，在新图形中，原来两条相交的切线变为两条相互平行的直线，原来通过两个给定点的直线和与它相交的那条切线，也变为平行线。假设新图形中，相互平行的两条切线为hi和kl，第三条切线为ik，与第三条切线平行的通过给定点直线为hl，两个给定点分别为点a和点b，则在新图形中，圆锥曲线也会经过点a和点b。因为hi//kl且ik//hl，所以可以做出的四边形hikl为平行四边形。假设圆锥曲线分别与直线hi、ik、kl相交于点c、d、e，根据圆锥曲线的性质，可得＝＝＝，所以＝＝＝，进而得出＝＝＝＝，又hc+ic＝hi，ke+el＝kl，id+kd＝ik，所以＝＝＝＝＝,最终可得出＝＝＝。因此，点c、点d和点e就成了圆锥曲线分别与边hi、ik、kl相切的切点。根据引理22，新图形曲线中的转变可以一一对应到原图形中，则根据问题14，可以做出与三条给定直线相切，并通过两个定点的曲线轨道。

需要注意的是，点a和点b可能会落在边hl上，即落在点h和点l的中间，也有可能会落在边hl两侧的延长线上，所以点c、点d和点e也是可能落在边hi、ik、kl上，也有可能落在边hi、ik、kl之外。然而，如果点a和点b中的任意一点落在边hi上，而另一点也不在边hl上，则命题无解。

命题26 问题18

作经过一个给定点，并与四条指定直线相切的曲线轨道。（图A 5-18）

连接任意两条切线的交点和另外两条切线的交点，并用此直线代替原纵坐标半径，根据引理22，可将原图形转变为新图形，使原图形在纵坐标线上相交的两对切线变为两对平行线，设新图形中两对平行线分别为hi//lk和ik//hl，则两对平行线构成平行四边形hikl，设新图形中与原图形中指定点对应的点为p，新图形的中心为o。从点p出发，经过点o做线段pq，使得op＝oq，则点q也在新图形中的曲线轨道上。根据引理22的逆运算，将点q转变到原图形中，即得到所求曲线轨道上的一个点，再加上已知的给定点，又根据问题17，所求的曲线轨道可以通过连接这两个点画出来。

引理23

已知两条指定直线AC和BD，其中点A和点B为端点，且两条直线的比值是指定值，但是点C和点D的位置并不确定，连接点C和点D，作直线CD。如果直线CD有一点K，使得为指定值，那么点K就在指定直线上。（图A 5-19）

假设直线AC和直线BD相交于点E，在BE上取一点G，使得＝，则点G就是一个指定点。在BD上取一点F，使得DF＝EG。则由图可得，＝或者＝，且此比值是定值，进而也指定了△EFC的类别。在CF上取点L，CD上取一点K，使得＝，且此比值是确定的，则△EFL的类别也可确定。连接KL，由前面的＝可得，△CLK∽△CFD。由于FD是指定直线，的值是确定的，可得LK也是定值。在ED上取一点H，使得EH＝LK。又由＝，得LK//FD，即得LK//ED，所以四边形ELKH为平行四边形。所以，点K落在平行四边形ELKH的边HK上，而直线HK是指定直线。

推论.因为图形EFLC已确定为什么类型，所以，直线EF、直线EL、直线EC（也就是直线GD、直线HK、直线EC）两两之间的比值就可以确定。

引理24

三条直线是同一条圆锥曲线的切线，其中两条切线的位置确定，且这两条切线互为平行线，那么，与这两条切线平行的圆锥曲线半径，等于这两条切线的切点到与第三条切线相交的交点之间线段的比例中项。（图A 5-20）

设直线AF平行于直线GB，且这两条直线分别与圆锥曲线ADB相切于点A和点B，而与圆锥曲线相切的第三条切线是EF，且切点为点I。第三条切线EF与直线AF、直线GB分别相交于点F和点G。如图所示，CD为圆锥曲线的半径，并与切线AF、GB平行，如此，AF、CD、GB形成连比，即＝，也就是说，CD为AF和GB的比例中项。

AB和DM为圆锥曲线的共轭直径，且两直径相交于点C，如果直线AB和直线DM分别与第三条切线EF分别交于点E和点H。以点I和点C为两个相对的顶点，作平行四边形IKCL。由圆锥曲线的性质可得：＝，分比可得：＝＝，合比可得：＝，即＝。因为△EAF、△ELI、△ECH和△EBG两两相似，所以＝。又根据圆锥曲线的性质，＝，以上两个比例等式并比可得，＝。

推论Ⅰ.有圆锥曲线的两条切线FG、PQ，如果切线FG分别与两条平行切线AF、GB相交于点F和点G，切线PQ分别与两条平行切线AF、GB相交于点P和点Q，而切线FG和切线PQ相交于点O，那么根据该引理，＝，＝，进而可得，＝，则＝＝。

推论Ⅱ.同样地，分别连接点P和点G，作直线PG，连接点F和点Q，作直线FQ。则直线PG和直线FQ将与经过切点A和切点B的直线ACB相交，并且会经过圆锥曲线的中心。

引理25

如果任意一条圆锥曲线内切于一个平行四边形，即平行四边形的四条边均与圆锥曲线相切，圆锥曲线的第五条切线与平行四边形相交，那么平行四边形的边被分割成的线段中的任意一段与它所在边的比值，等于其邻边上切点到第三条边所分割的部分与另一条线段的比值。（图A 5-21）

如图所示，圆锥曲线内切于平行四边形MLKI，与四条边ML、IK、KL、MI分别相切于点A、B、C、D。圆锥曲线的第五条切线FQ，分别与四条边ML、IK、KL、MI相交于点F、Q、H、E，取相邻的两条边ML、IK上的两条线段ME和KQ，或者相邻两边KL、ML上的两条线段KH和MF，根据引理24的推论Ⅰ，＝，或者＝，通过合比可得，＝。同样的道理，＝，或者＝，通过分比可得，＝。

推论Ⅰ.如果一条指定的圆锥曲线内切于一个已经确定的平行四边形IKLM，那么KQ×ME和KH×MF是确定的。因为△KQH∽△MFE，所以KQ×ME与KH×MF的数值确定且相等。

推论Ⅱ.如果圆锥曲线的第六条切线eq分别与切线KI和切线MI分别相交于点q和点e，KQ×ME＝Kq×Me，＝，由分比可得，＝。

推论Ⅲ.同理，如果将线段Eq和eQ各自等分为相等的两段，然后连接两条线段的中点，作一条直线，则圆锥曲线的中心就在该直线上。因为＝，由引理23可得，该直线也通过MK的中点，且MK的中点就是圆锥曲线的中心。

命题27 问题19

做出与五条指定直线相切的曲线轨道。（图A 5-22）

假设指定的五条切线为直线ABG、BCF、GCD、FDE、EA，取其中任意四条直线，就能构成四边形，如ABFE。如果取四边形ABFE对角线AF和BE的中点，即点M和点N，那么由引理25的推论Ⅲ可得，连接点M和点N所做的直线MN，则直线MN会经过圆锥曲线的中心。同样地，取另外四条切线构成四边形，如BGFD，其对角线BD、GF的中点分别为点P和点Q，那么连接点P和点Q所做的直线PQ也会经过圆锥曲线的中心。由此可得，两条中点连线的交点即是圆锥曲线的中心。假设圆锥曲线的中心为点O，作与切线BC平行直线KL，点O在直线BC和直线KL的中间，则直线KL也是圆锥曲线的切线。而直线KL与其他两条直线GCD和FDE的交点分别为点L和点K，直线CL和直线FK互不平行，切线CF与切线KL相互平行，直线CL分别与切线CF、切线KL相交于点C和点L，直线FK分别与切线CF、切线KL相交于点F和点K。连接点C和点K作直线CK，连接点F和点L作直线FL，直线CK与直线FL相交于点R，由引理24的推论Ⅱ可得，直线OR经过平行切线CF和KL的切点，用同样的方法可以求出其他切点。再根据问题14，就能做出曲线轨道。

附录

命题27也包括了指定曲线轨道中心或渐近线的情况。在指定点、切线和中心的情况下，则在中心另一侧相同距离处一样多的点和切线也是指定的，如此，可以将渐近线看作切线，渐近线在无限远处的极点即为切点。反过来，如果将任意一条切线的切点移动向无限远处，则这条切线就会变成一条渐近线，则前面问题中所做的图形就会演变成指定渐近线的情况下所做的图形。（图A 5-23）

当圆锥曲线已经做出后，按照同样的方法，还可以确定圆锥曲线的轴和焦点。根据引理21的图形，即可分别做出曲线轨道可移动角∠PBN和∠PCN的边BP和边CP，BP//CP，并且围绕极点B和极点C旋转，同时在图形中保持其所在位置。∠PBN和∠PCN的另外一条边CN和BN，分别与曲线轨道相交于点K和点k。以点O为圆心，作圆周BKGC。直线CN和BN相交，过点O，作直线OH垂直于直线MN，且直线OH与圆周相交于点K和点L。当边CN和BN的交点K距离直线MN最近的时候，边BP和边CP将与长轴平行，并垂直于短轴。相反，假如这些边的交点L在距离直线MN最远处，就会出现相反的情况。所以，如果已经指定曲线轨道的中心和轴，就能轻松找到曲线轨道的焦点。

因为与两轴平方的比值相等，经过指定的四个点画出已知类型的曲线轨道就很容易。如果指定点中的点B和点C是极点，那么由第三个极点就能引出动角∠PCK和∠PBK，在以上条件指定的情况下，就可以做出圆周BGKC。因为曲线轨道的类型已经确定，所以OH本身和的比值也是指定的。以点O为圆心，OH为半径，做出另一个圆周，边CK和边BK相交于点K，经过点K作该圆周的切线，当原图形中的边BP和边CP经过第四个指定点时，可得过点K的圆周切线的平行线MN，通过直线MN，即可做出圆锥曲线。同时，还可以在指定圆锥曲线中做出内接四边形。

当然，通过指定点和指定切线，圆锥曲线还可以通过其他引理来做出。（图A 5-24）该圆锥曲线将会是以下类型：经过任意指定点的一条直线，将与圆锥曲线相交于两点，取两个交点构成线段的中点，则该中点位于另一个圆锥曲线上，该圆锥曲线与原图形的类型是相同的，且该圆锥曲线的轴平行于原图形的轴。接下来，这个问题只能到此为止，下文将讨论有更具实用性的问题。

引理26

在三角形的大小和类型是指定的情况下，其中的三个角分别与指定位置且不平行的三条直线相对应，且使每个角对应一条直线。（图A 5-25）

先做出指定位置的三条直线AB、AC和BC，再按如下要求做出△DEF，顶点D在直线AB上，顶点E在直线AC上，顶点F在直线BC上。经过点D和点E作圆弧DRE，经过点D和点F作圆弧DGF，经过点E和点F作圆弧EMF，使圆弧所对应的角分别与∠BAC、∠ABC、∠ACB相等。△DEF的三条边DE、DF和EF分别内接于这三条弧线，同时，使得字母DRED和BACB的旋转顺序相同、DGFD和ABCA的旋转顺序相同、EMFE和ACBA相同。将这些圆弧补充为完整的圆周，且前两个圆周的交点为点G。设这两个圆周的圆心分别为点P和点Q，分别连接GP和PQ，在以点P为圆心的圆周上取一点a，使得＝。然后以点G为圆心、Ga为半径作圆周，并与第一个圆DGE相交于点a。连接点a和点D作直线aD，直线aD与第二个圆DFG相交于点b。再连接点a和点E，作直线aE，直线aE与第三个圆EMF相交于点c。于是，与图形abcDEF相似且相等的图形ABCdef就能作出来。

证明过程如下：连接点F和点c，作直线Fc，直线Fc和直线aD相交于点n。分别连接aG、bG、QG、QD、PD，如图所示，∠EaD＝∠CAB，∠acF＝∠ACB，所以△anc即等于△ABC，所以∠anc＝∠ABC，或者∠FnD＝∠ABC，又有∠FbD＝∠ABC，可得点n与点b重合。此外，因为PG＝PD，且QG＝QD，所以∠GPQ＝∠DPQ，即直线PQ为圆心角GPD的角平分线，现有圆心角GPD的角∠GPQ等于∠GbD的补角∠Gba。综上可得，△GPQ∽△Gab。进而得出，＝，又有＝。（图A 5-26）因为AB＝ab，所以△abc相似且相等于△ABC。所以，△abc的边ab、ac、bc所在直线分别经过△DEF的顶点D、E、F。如此，与图形abcDEF相似且相等的图形ABCdef就可以做出来了。

推论.可以做出满足如下条件的直线：使其位于三条指定位置直线之间的部分为给定长度。假设△DEF的顶点D无限远离边EF，即边DE和边DF无限靠近，直到两者渐变成一条直线，则原来的三角形变成了两条直线，则指定部分的DE在指定直线AB和AC之间，而指定部分DF在指定直线AB和BC之间。如果在本情形中也用到以上的作图法，问题就能解开。

命题28 问题20

作一条给定位置和大小的圆锥曲线，并使得圆锥曲线的给定部分在给定位置的三条直线之间。（图A 5-27）

假设有一与曲线DEF相似且相等的曲线轨道，该曲线轨道被三条指定直线AB、AC和BC分割为DE和EF两部分，且这两部分相似且等于曲线上指定的部分。

分别连接点D、点E和点F，作直线DE、直线EF和直线DF，由引理26可得，指定位置的直线通过△DEF的顶点D、E、F，做出△DEF外接的曲线轨道，该曲线轨道相似且相等于曲线DEF。

引理27

做出一个给定类型的四边形，使它的四个顶点分别与四条边既不互相平行，也不交于一点直线上。（图A 5-28）

有四条指定位置的直线AC、AD、BD、CE，如图所示，直线AC分别与直线AD相交于点A，与直线BD相交于点B，与直线CE相交于点C。

假设给定类型的四边形为FGHI，做一个与四边形FGHI相似的四边形fghi，使得∠f＝∠F，直线AC经过顶点f。对于其他三个顶角，也有∠g＝∠G、∠h＝∠H、∠i＝∠I，且对于其他三个顶点，有直线AD经过顶点g，直线BD经过顶点h，直线CE经过顶点I。在四边形FGHI中，连接点F和点H，作对角线FH，在对角线FH上做圆弧FTH，在边FG和边FI上分别作圆弧FSG和圆弧FVI。其中，圆弧FTH对应的角等于∠CBD，圆弧FSG对应的角等于∠BAD，圆弧FVI对应的角等于∠ACE。同时，使字母FSGF的转动顺序等于字母BADB，字母FTHF的转动顺序等于字母CBDC，字母FVIF的转动顺序等于字母ACEA，接着将以上这些圆弧补充为完整的圆。假设点P和点Q分别为圆FSG和圆FTH的圆心，连接点P和点Q作直线PQ，在直线PQ上取一点R，使得QR∶PQ＝BC∶AB，且点P、点Q、点R的转动顺序与点A、点B、点C的转动顺序一致。以点R为圆心，RF为半径作第四个圆FNc，圆FNc与圆FVI相交于点c，连接点F和点c，作直线Fc，直线Fc分别与圆FSG、圆FTH相交于点a和点b。连接直线aG、直线bH、直线cI，使得图形ABCfghi相似于图形abcFGHI，则所求图形就是四边形fghi。

圆FSG和圆FTH相交于点K，分别连接PK、QK、RK、aK、bK、cK，将线段QP延长至点L。圆周角FaK、FbK、FcK分别是圆心角FPK、FQK、FRK的，则它们分别与圆心角FPK的半角LPK、圆心角FQK的半角LQK、圆心角FRK的半角LRK相等。所以图形PQRK相似于图形abcK。所以有＝＝。如图所示，∠fAg＝∠FaG，∠fBh＝∠FbH，∠fCi＝∠FcI，因此，图形ABCfghi与图形abcFGHI相似，而做出的四边形fghi相似于给定类型四边形FGHI，直线AC、AD、BD和CE分别经过四边形fghi的四个顶点。

推论.作一条直线，使其按照指定的顺序与四条指定位置的直线相交，且每被两条直线截取的各部分线段之间的比值是固定的。如果增大角FGH和GHI，则三条直线FG、GH、HI就会变为一条直线。如上所述，可以做一条直线fghi，按照顺序，分别与给定位置的四条直线AB、AD、BD、CE相交，直线fghi被四条直线分成fg、gh和hi三部分。其中，fg在直线AB和AD之间，gh在直线AD和BD之间，hi在直线BD和CE之间，且fg、gh、hi相互之间的比值与直线FG、GH、HI相同顺序的比值相等。其实，要解答这个问题，还有更简洁的方法。（图A 5-29）

延长AB至点K，延长BD至点L，使得＝，＝。连接点K和点L，作直线KL，与直线CE相交于点i，延长iL至点M，使得＝。过点M，作直线LB的平行线MQ，直线MQ与直线AD相交于点g，连接点g和点i作直线gi，直线gi分别与直线AB、BD相交于点f和点h。由此，问题就得到了解答。

证明：假设直线Mg与直线AB相交于点Q，直线AD与直线KL相交于点S，过点A作直线BD的平行线AP，直线AP与直线iL的交点为点P，则、、、＝。在DL上取一点R，使得＝＝。

因为＝＝，所以＝＝，则＝，即＝＝，＝＝。如图所示，点D和点R将直线BL分割成三部分，而点G和点H则分割了直线FI，且有＝，＝。类似地，＝＝。这说明，直线FI和直线fi被点g和点h、点G和点H分割的情况是相似的。（图A 5-30）

如图所示，直线LK与直线CE相交于点i，延长iE至点V，使得＝，再过点V，作直线BD的平行线vf。以点i为圆心，IH为半径，作一圆周，该圆周与直线BD相交于点X，再延长iX至点Y，使得iY＝IF。最后，连接点Y和点f，作直线Yf，则直线Yf与直线BD平行。由此来看，这种作图法就是上一种作图法的完全复制。

然而，在历史上，克里斯托弗·雷恩爵士和瓦里斯博士早在很早的时间就解答这个问题了。

命题29 问题21

做一个给定类型的圆锥曲线，使该曲线按照指定顺序、类型和比例被给定位置的四条直线切割。（图A 5-31）

假设所做的圆锥曲线fghi与圆锥曲线FGHI相似，已知给定位置的四条直线为AB、AD、BD、CE，圆锥曲线在直线AB和直线AD之间、直线AD和直线BD之间、直线BD和直线CE之间的部分分别与圆锥曲线FGHI的FG、GH、HI部分相似且成比例。连接点F和点G，作直线FG，用同样的方法，分别做出直线GH、HI、FI。以引理27为依据，可以做出与四边形FGHI存在相似关系的四边形fghi，且四边形fghi的四个顶点f、g、h、i按照顺序分别在直线AB、AD、BD、CE上，则绕四边形fghi作一条外接圆锥曲线，则所作圆锥曲线与圆锥曲线FGHI相似。

附录

以下方法可以用于解答此问题。（图A 5-32）

作直线FG、GH、HI、FI，延长FG至点V，连接FH、IG，且使得∠LAK＝∠FGH，∠DAL＝∠VFH，直线AK与直线BD相交于点K，直线AL与直线BD相交于点L，分别从点K和点L出发，作直线KM和直线LN，同时满足∠AKM＝∠GHI，且＝。

作一条直线，使其与直线CE交于点i，且分别与直线KM和直线LN交于点M和点N，同时满足＝，又有∠iEP＝∠IGF。过点P作直线Pf，直线Pf与直线DE相交于点Q，与直线AB相交于点f，连接点i和点f，作直线f。同时使字母PEip和PEQP的旋转顺序与字母FGHIF相同。以直线fi为一边，按与字母FGHIF相同的旋转顺序作四边形fghi，则四边形fghi和四边形FGHI似，围绕四边形fghi作它的外接曲线，则解答了这个问题。

到这里，以及前面所述的问题以及解答方法都是关于轨道的，接下来，要探究的问题是物体在轨道上的运动。

第6章：怎样求已知轨道上物体的运动

命题30 问题22

求在任意指定时刻，运动物体在抛物线轨道上所处的位置。（图A 6-1）

假设抛物线的焦点为点S，顶点为点A，取AS的中点点G，过点G，作垂直于AS的线段GH，且GH＝3M。以点H为圆心、HS为半径作一个圆，这个圆与抛物线相交于点P。设被直线PS分割的抛物线部分的面积APS等于4AS×M，APS既可以表示物体在离开顶点后、以半径PS所划过的面积，也可以表示为物体在到达点P之前划过的部分。且这块截取部分的面积大小与时间成正比。过点P作横轴的垂线PO，连接点P和点H，作直线PH。如图所示，有以下等式成立：

AG2+GH2＝HP2，而HP2＝（AO-AG）2+（PO-GH）2＝AO2+PO2-2AO×AG-2PO×GH+AG2+GH2，所以，AG2+GH2＝AO2+PO2-2A0×AG-2PO×GH+AG2+GH2，由此可得，2GH×PO＝AO2+PO2-2AO×AG＝AO2+ PO2，因为AO2＝，以上等式可变为：2GH×PO＝+PO2。等式两边都除以3PO，再乘以2AS，可得，GH×AS＝+
＝×PO＝APO面积-SPO面积＝APS面积。由于GH＝3M，所以GH×AS＝4AS×M，进而得出，APS面积＝4AS×M。

推论Ⅰ.物体经过弧AP所需的时间与物体从顶点A到过焦点S的主轴垂直线之间的一段弧所需的时间之比，等于GH与AS之间的比值。

推论Ⅱ.假设圆周ASP连续经过运动物体P，设物体在点H处的运动速度为VH，在顶点A处的运动速度为VA，则＝。则在相同时间内，线段GH与从点A到点P所经过的直线路径之比为。

推论Ⅲ.连接AP，过线段AP的中点作它的垂线，垂线与直线GH相交于点H，通过这种方法，可以求得物体经过任意指定弧AP所需的时间。

引理28

通过有限项次和有限元的方程，是不可能求出被任意直线切割的椭圆形面积的。

如果在椭圆内任意指定一点，并作一条以该点为极点的直线，直线绕极点做连续匀速的圆周运动；在直线上，从极点出发，有一个可动点不断向极点外的方向移动，且移动速度为该直线在椭圆内部分线段长度的平方。从整个运动过程来看，该可动点的运动轨迹为无限旋转的螺旋线，该螺旋线的转数无极限。如果通过有限项次和有限元的方程，能求出直线所切割的椭圆形面积，那么用该方程，也能求出可动点与极点之间的距离，并且该距离与直线所切割的椭圆形面积成正比。不仅如此，可动点的运动轨迹螺旋线也能用有限方程求出，而且通过有限方程还能求出指定直线与螺旋线的交点。

然而，如果两条线的交点能通过方程求出，那么一定是方程有几元或者说几个根，两条线就有多少个交点，而且交点的个数也对应方程的次数。比如，两个圆周相交，有两个交点，这两个交点就可以通过二次方程求出来；两条圆锥曲线相交，有四个交点，则四个交点可以通过四次方程求出来；一条圆锥曲线与三次曲线的交点最多能有六个，那么这六个交点可以通过六次方程求出来；两条三次曲线相交的交点最多能有九个，一定得是通过九次方程才能求出所有交点。所以，无论如何，有限次方程的解一定会包括所有交点。否则，所有立体问题都能简化为平面问题，而所有维数高于立体的问题，都能简化为立体问题。但是，在这里研究的曲线方程的幂次无法降低，因为对于一条曲线来说，方程的幂次表明曲线的走向，如果方程的幂次降低了，曲线就会失去本身的完整性，变为两条或多条曲线的组合，而这些曲线之间的交点可以由不同的计算分别求出。

同理，直线与圆锥曲线相交的两个交点可以由二次方程求出，直线与三次曲线相交的三个交点可以通过三次方程求出，直线与四次曲线相交的四个交点可以通过四次方程求出，以此类推，可以推广到无限。

在所有定律和所有条件都相同的情况下，螺旋曲线只是简单曲线，无法简化成多条曲线的组合，所以一条无限延伸的直线与螺旋线会有无数个交点，这就需要无限次数和无限根数的方程来表示。

过极点作直线的垂线，垂线和直线均绕极点旋转，那么直线与螺旋线的交点会相互转变，也就是说，在第一次旋转之后，第一个交点或者最近的交点会变为第二个；在第二次旋转之后，第二个交点会变成第三个……以此类推。而当螺旋线的交点发生改变时，方程不会变化，因为方程能决定直线与螺旋线相交交点的位置。所以，在每次转动之后，这些量会恢复初始数值，方程也会恢复为初始形式，而且一个方程的所有根要能包括所有交点。所以，靠有限方程，是不可能求出直线与螺旋线的交点的。也进一步说明，通过有限方程，被任意直线切割的椭圆形面积也是不可能求出来的。

同理可得，如果螺旋线的可动点与极点之间的距离与直线切割椭圆在椭圆形内的线段长度成正比，那么此线段长度也不能用有限方程表示。这里提到的椭圆形并不切于向外无限延伸的共轭图形。

推论.通过给定时间内的有限方程，或几何有理曲线，都不可能求出以焦点到运动物体的半径所做的椭圆形面积。这里有个前提，就是提到的曲线都是几何有理曲线，因为上述的点都可以用以长度为未知量的方程求出来，也就是说，长度的复合比值是确定的。与几何有理曲线相对的是几何无理曲线，比如螺旋线、割圆曲线、摆线等。几何无理曲线的长度计算有的是整数之间的比，有的不是（欧几里得《几何原本》卷十），计算方式为有理方程或无理方程。在之后的内容中，将用几何无理曲线分割法来分割椭圆形面积，分割面积与给定时间成正比。

命题31 问题23

找出运动物体在指定时间、指定椭圆轨道上运动时所处的位置。（图A 6-2）

做一个椭圆APS，点A为椭圆的主要顶点，点S为椭圆的焦点，椭圆的中心为点O，所求的物体位置为点P。延长OA到点G，使得＝。过点G作直线GH垂直于OA所在的长轴，以点O为圆心、OG为半径作圆GEF。假设圆周GEF沿着底边GH，绕它的轴向前滚动，由点A做出摆线ALI。GK与圆周GEF的周长GEFG之间的比值，等于物体从点A滚动出弧AP所需的时间与绕椭圆旋转一周所需的时间之比。过点K作直线KL垂直于GH，直线KL与摆线ALI相交于点L，过点L作直线KG的平行线LP，直线LP与椭圆相交于点P，而点P就是所求物体的位置。

证明：以点O为圆心、OA为半径，作半圆AQB，直线LP与半圆AQB相交于点Q，连接SQ、OQ。延长OQ，使其与圆GEF相交于点F，从点S出发作SR垂直于OQ。面积APS与面积AQS成正比，而面积AQS等于扇形OQA的面积SOQA减去△OQS的面积SOQS，而SOQA-SOQS＝OQ×AQ-OQ×SR＝OQ（AQ-SR），因为OQ＝OA，是指定值，所以，面积APS与AQ-SR成正比。又因为＝＝＝，所以＝＝，可得，面积APS与GF-孤AQ成正比。

附录

近似求解法是做出曲线最好的方法（图A 6-3）。首先，半径对应角大小为57.2978˚，取一定角B，使得＝，如图所示，SH为椭圆焦距，AB为椭圆直径。然后，确定一个长度L，使得＝＝。接下来，将用下面的分析方法来解决问题：

首先，假设场所P接近物体的真实场所P，以椭圆的主轴为横轴，过点P，作纵标线PR，由椭圆直径的比例，可以求出纵标线在同样以AB为直径的外切圆AQB内的部分RQ。以点A为圆心、AO为半径作圆，与椭圆相交于点P，如此，纵标线就是∠AOQ的正弦。假设这里要求的角为∠N，如果∠N只是通过近似求解法求得，那么它的大小只要能与真实值靠近就可以了。假设∠N的大小与时间长短成正比，它与四个直角的比，等于物体从点A经过弧AP所需的时间与绕椭圆旋转一周所需的时间之比。再取一角∠D，使得＝；另取一角∠E，使得＝；再取一角∠F，使得＝；取一角∠G，＝；再取一角∠H，使得＝；再取角∠I，＝，由此可以推广到无极限。最后，取角∠AOq，使得∠AOq＝∠AOQ+∠E+∠G+∠I+…∠AOq的正弦为qr，余弦为Or，纵坐标为pr，则有＝，这样可以求出物体的准确场所p。

当∠N-∠AOQ+∠D﹤0时，∠E前面的加号应变为减号，减号要改为加号。同理，当∠N-∠AOQ-∠E+∠F﹤0，∠N-∠AOQ-∠E-∠G+∠H﹤0时，∠G和∠I前面的加号和减号都要做相应互换。但是，无穷级数∠AOQ+∠E+∠G+∠H+∠I+…，它的收敛速度很快，一般都不用计算到第二项∠E。根据这个定理，面积APS等于弧AQ减去过焦点S、与半径OQ垂直的直线。（图A 6-4）

用类似的方法也能解决双曲线中的相似问题。如图所示，点O为双曲线的中心，点A为其顶点，点S为其焦点，直线OK为其渐近线。假设双曲线被直线分割的面积是已知量，所要求的角为∠A，∠A的大小与时间成正比，直线SP的位置与分割面积APS接近。连接OP，经过点A作一条渐近线的平行线AI，直线AI与另一条渐近线相交于点I，经过点P作一条渐近线的平行线PK，直线PK与另一条渐近线相交于点K。由对数表可得，可以确定图形AIKP的面积，并且可以确定面积OPA＝面积AIKP，面积OPA＝面积OPS-面积APS。PQ＝，其中SN为过焦点S与切线TP相互垂直的直线。如果面积A-面积APS﹤0，那么弦PQ内接于点A与点P之间，相反地，则PQ延伸向点P的相反一侧，表示物体更准确的场所就是点Q。如果连续重复计算，得出的精度会更高。（图A 6-5）

通过上述计算方法，可以得出解决这类问题的一种普通分析方法。而特殊的计算方法则更适用于天文学。

如图所示，OA、OB和OD都是椭圆的半轴，椭圆的直径为L，OA＝OB＝L，D＝OD-L。取一角∠Y，使得＝。再取一角∠Z，使得＝。∠Y和∠Z确定后，就能确定物体的场所。再取∠T，使其大小与物体划出弧BP所需的时间成正比，相当于平均运动。取∠V，∠V为平均运动的第一均差，∠Y为最大均差角，使得＝。∠Z为第二大均差角，再取第二均差角∠X，使得＝。取∠BHP为平均运动角，如果∠T为锐角，使得∠BHP＝∠T+∠V+∠X；如果∠T为钝角，使得∠BHP＝∠T+∠X-∠V；如果直线HP与椭圆相交于点P，连接SP，则直线SP所分割的面积BSP与时间成正比。

用这种方法用起来非常方便，因为∠V和∠X都很小，通常情况下，只需要求到∠V和∠X第一数字的前两位就可以。类似地，行星运动的问题也可以用这种方法来解答。因为即使是火星在轨道上的运动，它的误差通常也不会大于一秒。所以，在确定平均运动角∠BHP之后，通过这种方法还可以求出真实运动角∠BSP和距离SP。

在这里，探究的问题都是基于物体在曲线上的运动，即使在现实生活中，运动物体沿直线上下的问题也是存在的，下面的内容将继续研究这类运动的有关问题。

第7章：物体在直线上的上升或下降

命题32 问题24

设向心力与中心距场所之间距离的平方成反比，求出在给定时间内，物体沿直线下落所经过的距离。

情形1.如果物体并非垂直下落的情况，那么根据前面命题13的推论Ⅰ，物体的运动轨迹将为圆锥曲线，该圆锥曲线的焦点在力中心上。（图A 7-1）如图所示，设该圆锥曲线是ARPB，点S为其焦点。如果物体的运动轨迹为椭圆，以长轴AB为直径作半圆ADB，直线DPC垂直于主轴，并与椭圆相交于点P，与半圆相交于点D，连接PS和DS，面积ASD与面积ASP成正比，也与时间成正比。如果椭圆的宽度无限减小，运动轨迹APB就会无限接近于轴AB，直至与之重合，焦点S也会无限接近顶点B，直至与点B重合。物体就会沿直线AC往下落，面积ABD与时间成正比。因此可得，如果面积ABD与时间成正比，直线DC与直线AB垂直，那么，在给定时间内，物体从场所A垂直下落落下的距离就能求出来。

情形2.如图所示，（图A 7-2）图形RPB为双曲线，其主轴为直线AB，同样以直线AB为主轴，作直角双曲线BED，因为、、均为给定值，面积SPfB和运动物体P经过弧PfB所需的时间成正比，可以得出，面积SPfB也和时间成正比。在横轴保持不变、减小双曲线RPB所需的时间的情况下，弧PB将会和直线CB相重合，焦点S将会和顶点B重合，直线SD将会与直线BD重合。图形BDEB与物体C沿着弧CB垂直下落需要的时间成正比。

情形3.相同的原理，如图所示，（图A 7-3）如果图中的RPB是一条抛物线，其顶点为点B，同样以点B为顶点，作另一条抛物线BED。这时候，运动物体P沿抛物线RPB的边界运动，逐渐减小抛物线RPB的通径，直至其通径变为零，则物体P的运动轨迹就会重合于直线CB，而抛物线BED的截面BDEB面积，会和物体P下落至中心点S或物体C下落至中心B成正比。

命题33 定理9

由前面的假设可得，下落物体在任意一处点C的速度，与物体绕以点，B为中心、BC为半径的圆周运动速度之比，等于物体到圆周或直角双曲线上较远顶点A的距离与图形主半径AB之比的平方根。（图A 7-4）

如图所示，图形ADEB与图形RPB的公共直径为AB，公共中心为点O。在图形RPB上，过点P作其切线PT，直线PT与公共直径AB相交于点T。过图形RPB的焦点S，作直线SY垂直于直线PT。设图形RPB的通径为L。由命题16的推论Ⅸ可得，物体沿着以点S为中心的曲线RPB运动，设物体在曲线RPB上任意一处P的速度为Vp，物体沿着同样以点S为中心、SP为半径圆周运动的速度为V，使其满足。
另外，由圆锥曲线的性质可得，＝，所以L＝。VP和V之间的关系为，此外，由圆锥曲线的性质可得，＝，经由分比和合比，可得，＝＝。又有＝＝，所以＝。假设图形RPB的宽CP无限减小，直至点P和点C重合，点S与点B重合，直线SP与直线BC重合，直线SY与直线BQ重合。设物体沿直线CB垂直下落的速度为VCB，物体绕以点B为圆心、BC为半径的圆运动时的速度为VB，则有。
而，所以。

推论Ⅰ.当点B重合于点S时，有＝。

推论Ⅱ.物体以给定距离的半径绕中心做圆周旋转，如果物体运动的方向变为垂直向上，物体将上升到距离中心二倍半径的高度。

命题34 定理10

如果图形BED是抛物线，那么物体做下落运动在任意场所C的速度，与物体围绕以点B为圆心、BC为半径的圆周做匀速圆周运动的速度相等。（图A 7-5）

由于命题16的推论Ⅶ，物体沿着抛物线RPB运动，抛物线RPB的中心为点S，物体在任意场所P的速度，与物体围绕以点S为圆心、SP为半径的圆周做匀速圆周运动的速度相等。假设抛物线的宽CP无限减小，抛物线的弧PfB重合于直线CB，中心S重合于顶点B，直线SP与直线BC重合，命题成立。

命题35 定理11

在假设相同的条件下，以半径 SD画出图形DES的面积，半径SD的长度不确定，与相同时间内，物体围绕以点S为圆心、图形DES的通径的为半径的圆周做匀速圆周运动所划出的面积相等。

假设在极短时间内，物体C下落到一条无限小的直线Cc上，在这段时间，物体K围绕以点S为圆心的圆周OKk做匀速运动，划出一条圆弧Kk。从直线Cc作两条垂线CD、cd，直线CD与图形DES相交于点D，直线cd与图形DES相交于点d。连接SD、Sd、SK、Sk、Dd，直线Dd与直线AS相交于点T，过点S，作直线SY垂直于Dd。

情形1.（图A 7-6）如果图形DES是圆形或直角双曲线，其横向直径AS的中点为点O，SO＝AS。因为＝，＝，所以＝。由命题33的推论Ⅰ可得，＝。如果点D与点d重合，取直线的最终比值，＝。设下落物体在点C的速度为Vc，物体围绕以点S为圆心、SC为半径的圆周运动的速度为Vs，再由命题33，则＝。设下落物体的速度为V，物体沿圆周OKk运动的速度为VOKk，由命题4的推论Ⅵ可得，＝，所以，＝＝＝。所以，CD×Cc＝AC×Kk，＝，又有SK×Kk＝SY×Dd，SK×Kk＝SY×Dd，可得面积KSk＝面积SDd。在每一段时间间隙中，都会产生两个相等的面积KSk和面积SDd，如果这两个面积无限减小，并且数目无限增多，则它们产生的整体面积相等。

情形2.由情形1可得，如果图形DES为抛物线，（图A 7-7）则＝＝，可得CD×Cc＝2SY×Dd。设下落物体在点C的速度为Vc，物体绕以点S为圆心、SC为半径的圆做匀速圆周运动的速度为VSC，则由命题34可得，＝＝，所以，2SK×Kk＝CD×Cc＝2SY×Dd。进而得出，面积KSk＝面积SDd。

命题36 问题25

求物体从指定场所落下所需要的时间。（图A 7-8）

以直线AS作半圆ADS，再以点S为圆心作相同的半圆OKH。假设物体在任意位置C，过点C，作垂直于AS的纵标线CD，连接点S和点D，作直线SD，使得扇形OSK的面积与图形ASD的面积相等。如图所示，由命题35可得，物体下落时会经过线段AC，而在相同的时间段内，另一个沿半圆OKH做匀速运动的物体划过弧OK。

命题37 问题26

求从指定位置向上或向下抛出物体，上升或下落所需要的时间。（图A 7-9、图A 7-10、图A 7-11）

假设从指定位置G，物体以任意速度V沿直线GS下落，设速度V与物体围绕以点S为圆心、指定距离的线段GS为半径，做匀速圆周运动的速度之比为，此比值的平方就是。如果＝，那么点A为无限远处的点，根据命题34，可以做出以点S为顶点，SG为轴的抛物线。如果<，那么根据命题33，可以做出以SA为直径的圆周。如果>，则根据命题33，可以根据直径SA做出直角双曲线。然后，作以点S为圆心、SA为半径的圆HkK。再在物体开始上升或下落的位置点G，作通径SA的垂线GI，直线GI与圆锥曲线相交于点I。在任意位置点C，作通径SA的垂线CD，直线CD与圆锥曲线相交于点D。分别连接SI和SD，使得面积HSK＝面积SEIS，面积HSk＝面积SEDS。又由命题35可得，物体G运动的距离为GC，在相同的时间内，物体K划过弧Kk。

命题38 定理12

如果物体做圆周运动时所受的向心力，与从中心到场所的距离或高度成正比，那么物体下落的时间、速度和下落所经过的路程，分别与弧、弧的正弦和正矢成正比。（图A 7-12）

物体从任意位置点A处下落，运动轨迹沿着直线AS。作以点S为圆心、AS为半径的四分之一圆周AES，在扇形AES取一任意弧AD，其正弦为CD。在与弧AD成正比的时间内，物体从A处下落，经过AC，在位置点C处产生的速度与弧AD的正弦CD成正比。

命题10可以用来证明这一点，与用命题11来证明命题32的道理是一样的。

推论Ⅰ.物体由位置A，经过AS，落到位置S的时间，等于另一物体绕四分之一圆周AES旋转所需要的时间。

推论Ⅱ.物体由任意场所下落到中心位置所需的时间相等，因为，由命题4的推论Ⅲ可得，所有旋转物体的周期都是相等的。

命题39 问题27

假设向心力为任意类型，曲线图形为指定面积，求出物体沿直线上升或下降通过不同点时的速度，以及物体到任何一点所需的时间，反过来，如果物体的速度和运动的时间是确定的，可以求出物体所在的位置。（图A 7-13）

物体E沿直线ADEC下落，下落起点为任意一点A。过点E作直线ADEC的垂线EG，使得EG与点E指向中心的向心力成正比。作点G的运动轨迹曲线为BFG。如果在运动的开始，设垂线EG与垂线AB重合，那么物体在点E的速度VE相当于一条线段，且该线段长度的平方与曲线围成的面积ABGE相等。

在直线AE上取一点M，使得线段EM和与VE相等的一条线段成反比。假设有一条曲线VLM，直线AB为其渐近线，那么物体从点A下落到点E所用的时间与曲线围成的面积ABTVME成正比。

在直线AE上取一点D，线段DE为指定长度，假设物体在点D的位置时，直线EMG与直线DLF重合，如果物体下落经过的线段的平方与面积ABGE相等，而物体下落经过的线段与物体下落的速度成正比，那么面积ABGE与物体下落的速度成正比。设物体在点D和点E的速度分别为V和V+1，则面积ABFD与V2成正比，面积ABGE与（V+1）2成正比，即＝,＝，分比可得，＝＝＝，即面积DFGE与2VI+I 2成正比，所以，与成正比。如果用这些量的最初值，那么线段DF的大小与比值成正比，也可以说是，线段DF的大小与成正比。但是物体下落所经过的线段DE与该线段成正比，而与物体在点D的速度V成反比，向心力将与物体从点D到点E速度的增量I成正比，与时间成反比。假设这些量为最初比值，向心力将和比值成正比，即与线段DF的大小成正比。所以，与线段DF或EG成正比的向心力，会使物体下落的速度与一条直线线段相等，则该线段的平方与曲线围成的面积ABGE相等。

除此以外，因为线段DE为指定的极小长度，其长度与速度成反比。所以，它和面积ABFD也成反比，也与平方等于面积ABFD的直线成反比。根据直线DL，初始曲线围成的面积DLME与相同直线成反比，与时间成正比，则时间的总和将与曲线围城面积的总和成正比。再根据引理4的推论，经过线段AE的时间与整个曲线围成的面积ATVME成正比。

推论Ⅰ.（图A 7-14）设物体的下落起点为点P，物体在任意均匀已知向心力的作用下，由点P下落到点D，物体在点D的速度，等于在任意力作用下的另一物体下落到相同位置的速度。在直线AE的垂线DF上取一点R，使得的比值，等于物体受到的均匀向心力与任意力的比值。以DP和DR为相邻两边，做矩形PDRQ，切割面积ABFD，且有面积PDRQ＝面积ABFD。同时，以点A为另一个物体的下落起点。以DR和DE为相邻两边，作出矩形DRSE，则＝＝，即等于二分之一总速度与物体速度增量之比。还有，＝。因为物体速度的增量I与物体所受力成正比，所以物体速度的增量I与纵标线DF、DR成正比，与面积DFGE、面积DRSE成正比。因为这些速度都是相等的，区域面积也相等，所以，与二分之一总速度，即V成正比。

推论Ⅱ.在任意位置D，以指定速度将任意物体向上或向下抛出，根据向心力定律，可以用以下方法求出物体在任意位置e的速度：过点e作出纵标线eg，并使物体在点e的速度Ve和物体在点D的速度VD等于一条直线，且该直线的平方与矩形PDRQ的面积相等。如果点e在点D下面，则该直线的平方等于矩形PDRQ的面积和面积DFge之和；如果点e在点D上面，那么该直线的平方等于矩形PDRQ的面积和面积DFge之差。

推论Ⅲ.过点e做出纵标线em，使得直线em与成反比。设物体经过直线De所用时间为TDe，另一物体在均匀力作用下从点P下落到点D的时间为TPD，＝。设受均匀力作用的物体经过直线PD所需的时间为TPD，相同物体经过直线PE所需的时间为TPE，＝＝＝。由分比可得，TPD与物体经过极小线段DE所用的时间TDE的关系为＝＝。两个物体经过极小线段DE用的时间TDE与做不匀速运动的物体经过直线De所用的时间TDe之间的关系为＝。而在前面提到的时间中，第一个时间与最后一个时间的最后比值为＝。

第8章：如何确定物体在任意类型向心力作用下的运动轨道

命题40 定理13

某一物体在任意向心力的作用下，以任意方式运动，同时，另一个物体沿直线上升或下落，那么，当这两个物体位于相同高度时，速度相等，并且在任何相等的高度上，两个物体的速度都相等。（图A 8-1）

设物体从点A下落，经过点D和点E，到达中心点C，而另一物体从点V出发，沿曲线VIKR运动。以点C为圆心、任意半径作同心圆DI和EK，直线AC与曲线VIKR相交于点I和点K，与圆周DI、EK相交于点D和点E。连接CI和KE，且直线CI与直线KE相交于点N，连接IK，作直线NT垂直于直线IK。线段DE和线段IN为圆DI和圆EK之间的间距，假设线段DE和线段IN无限小，设物体在点D的速度为VD，在点I的速度为VI，假设VD＝VI，因为CD＝CI，所以物体在点D和点I所受的向心力相等，且分别可用相等的线段DE和IN表示。根据运动定律的推论Ⅱ，力IN可以被分解为NT和IT两部分，其中，力NT的作用方向沿着直线NT，并与物体的运动路径ITK垂直。在路径ITK上，力NT不会影响或改变物体的速度，但会改变物体运动的路径，使得物体脱离直线路径，且不断偏离轨道切线，其运动轨道变为曲线ITKR。而力IT则会改变物体运动的方向，而且使物体的运动速度不断增大，在极短的时间内，物体的加速度随着时间变大，即力IT所产生的物体加速度与时间成正比。所以，在相等的时间内，物体在点D的加速度与线段DE成正比；物体在点I的加速度与线段IT成正比。而如果时间不相等，则物体在点D的加速度和线段DE与时间的乘积成正比；物体在点I的加速度和线段IT与时间的乘积成正比。设物体在点D的速度为VD，在点E的速度为VE，在点I的速度为VI，在点K的速度为Vk，物体经过线段DE的加速度为aDE，经过线段IK的加速度为aIK，因为VD＝VI，且物体经过线段DE、IK的时间与线段DE、IK的长度成正比，所以，＝。又有IT×IK＝IN 2＝DE 2，所以有aDE＝aIK，VE＝Vk。同理可知，在同样的条件下，只要两个物体经过的距离相等，两个物体的速度也总是相等。

同理，如果两个物体与中心的距离相等，且速度相等，当它们在上升了相等的距离时，那么两个物体减速的速度也相等。

推论Ⅰ.一个物体，无论是悬挂在绳上摆动，还是在光滑平面上做曲线运动，另一个物体沿直线作上升或下降运动，在某一相同的高度，只要两个物体的速度相等，那么在其他任意相同的高度，它们的速度都相等。因为当物体被悬挂在绳上摆动，或者在光滑平面上做曲线运动，物体所受横向力NT只会使物体偏离直线轨道，而不会使物体加速或减速。

推论Ⅱ.如果物体从中心做上升减速运动，设其能向上升到的最大距离为P。对于悬挂在绳上摆动，或在光滑平面上做曲线运动的物体，P代表它在曲线轨道上任意一点，以该点速度，向上最终能上升的距离。设从中心到物体运动轨道的任意一点的距离为A，使得An-1始终与向心力的大小成正比，其中指数n-1的n为任意数，设物体在点A的速度为VA，则VA与成正比，且此二者之间的比值为固定常数，依据命题39，这是物体沿直线上升或下落的速度。

命题41 问题28

设物体所受的向心力类型和曲线面积为指定的，求出物体运动的轨道和运动时间。（图A 8-2）

如图所示，中心为点C，任意向心力都指向中心C，求出曲线轨道VIKk。已知一个以点C为圆心、任意线段CV为半径的圆VR，再以点C为圆心分别做出同心圆ID、KE。圆ID和圆KE与运动曲线轨道分别相交于点I、点K，与直线CV分别相交于点D、点E。连接CI，直线CI与圆VR相交于点X，与圆KE相交于点N。连接CK，直线CK与圆VR相交于点Y。如果点I无限靠近点K，物体从点V开始运动，并经过点I和点K，运动到点k。设另一个物体从点A下落，使得它在点D的速度VD等于第一个物体在点I的速度VI。由命题39可得，在极短的时间内，物体经过线段IK，则线段IK与速度大小成正比，也和平方等于面积ABFD的线段成正比。所以，可以确定与时间成正比的△ICK。当指定任意量Q后，高度IC＝A时，线段KN与高度IC成反比，与成正比。如果用Z表示，且在某种情况下，Q可使＝，即＝，由分比可得，＝，所以，＝＝，进而得出，A×KN＝。又因为＝，所以，YX×XC＝。

在直线CA的垂线DF上取点b和点c，连接Cc，则Db＝，Cc＝。分别将点b和点c作为曲线ab、曲线ac的焦点，过点V，作直线CA的垂线Va，直线Va和直线CD切割两条曲线为面积CDba、面积VDca。过点E作直线CA的纵标线EG，在直线EG上取点z和点x。因为Db×IN＝DbzE＝A×KN＝面积△ICK，DC×IN＝DcxE＝YX×XC＝面积△XCY。因为面积DbzE＝面积ICK的条件始终成立，其中，面积DbzE、面积ICK分别为VDba、VIC的新生极小量。同样地，VDca的新生极小量DcxE也始终等于VCX的新生极小量XCY。所以，面积VDba＝面积VIC始终成立，且面积VDba与时间成正比，还有面积VDba＝面积VCX。如果在任意指定时间内，物体从点V开始运动，那么可以确定的是，面积VDba与时间成正比，也可以确定物体的高度CD或CI，还可以确定VDca、扇形VCX和∠VCI。而通过∠VCI和高度CI，可以求出物体最后所在的位置。

推论Ⅰ.曲线轨道的回归点是不难求出的，所谓曲线轨道的回归点，就是物体的最大高度和最小高度。因为当IK＝NK时，即当面积ABFD＝Z2时，直线IC经过这些回归点，且为轨道VIK的垂线。

推论Ⅱ.如果物体的高度时指定的，即CI为确定的量，直线CI与曲线轨道在任意位置的夹角∠KIN很容易就能求出来，且使得＝＝。

推论Ⅲ.过中心点C和顶点V，作一条圆锥曲线VRS。在曲线VRS取任意一点R，从点R处作曲线VRS的切线RT，连接点C和点V，作直线CV，切线RT与直线CV相交于点T。连接CR，作与线段CT等长的线段CP，使得∠VCP与扇形VCR的面积成正比。如果物体所受向心力与物体到中心间距的三次方成反比，在点V沿直线CV的垂直方向、以一定速度抛出一个物体，那么物体将始终沿曲线轨道VPQ运动。如果圆锥曲线VRS为双曲线，那么物体将会下落到中心点C处。如果圆锥曲线VRS为椭圆，物体就会无限上升，直到上升到无限远处。反过来讲，如果物体以一定速度离开点V，那么根据它是落向中心还是倾斜上升至无限远处，就可以判断圆锥曲线VRS是双曲线还是椭圆。此外，也可以通过按指定比值增大或减小∠VCP的方法来确定曲线轨道的类型。如果物体所受的力为离心力，而非向心力，那么物体将会偏离曲线轨道VPQ。而根据∠VCP的大小与椭圆扇形VCR成正比，CP＝CT，就可以求出物体的运动轨道。通过确定的曲线围成的图形面积就可以求出上面这些数值，这是较为简洁的计算方法。（图A 8-3、图A 8-4）

命题42 问题29

通过向心力定律求出在指定位置，以指定速度沿指定直线方向抛出的物体的运动。（图A 8-5）

假设该命题的条件与前面三个命题的条件相同，在点I，沿线段IK的方向抛出物体，同时，在均匀向心力F的作用下，另一个物体从点P向点D运动，已知两个物体有相等的运动速度。设第一个物体在点I所受的力为F1，且设＝。使物体点k运动，同时，以中心点C为圆心、Ck为半径作圆周ke，该圆形与直线PD相交于点e。分别在曲线BFg、abv、acw上面做出纵标线eg、ev、ew。根据指定的矩形PDRQ和向心力定律，再根据命题27和推论Ⅰ的做图，就可以求出曲线BFg。另外，的比值可以通过已知角∠CIK。同样地，如命题28的图所示，量Q、曲线abv和曲线acw可以确定。所以，在任意时间Dbve结束时，物体的高度Ce或Ck、扇形XCy的面积以及与之相等的Dcwe的面积、∠ICk都可以求出来。然后，物体所在的场所k也能求出来。

在上面的命题中，假设物体所受向心力会随物体与中心间距的规律性变化而变化，然而，在距离以中心为运动起点的位置，物体所受的向心力一直相等。

到现在为止，以上讨论的物体都是在不动的轨道上运动的，下面将会补充一些物体沿可动轨道运动，且轨道围绕力发热中心转动问题的相关内容。

第9章：物体沿运动轨道进行运动和回归点的运动

命题43 问题30

一个物体沿着围绕力中心旋转的轨道运动，另一个物体在静止的轨道上做相同的运动。（图A 9-1）

在给定位置的轨道VPK上，物体P从点V旋转至点K。点C为中心点，从中心点C出发，作线段Cp，使得Cp＝CP，∠VCp与∠VCP成正比。在相同的时间内，直线Cp划过的区域面积与直线CP划过的区域面积之比，与二者通过区域的速度之比相等，也等于，所以，是指定的数值，并且与物体的运动时间成正比。因为点p的运动，直线Cp在固定平面上划过的区域面积与时间成正比，而物体和点p一起沿曲线做旋转运动，所以，物体受到一定向心力的作用。根据前面的证明，在固定平面上，点p的运动轨道曲线可以由点p做出。如果∠VCu＝∠PCp，Cu＝CV，那么图形uCP全等于图形VCP，可得物体的位置总是在点p上。将图形uCP旋转起来，做圆周运动，则图形uCP绕着弧up做旋转运动所需的时间，等于物体P在给定位置轨道VPK上划出与弧up相似的弧VP的时间。由命题6的推论Ⅴ可得，再找到物体沿曲线轨道做旋转运动所受的向心力，问题就可以得到解答。

命题44 定理14

两个物体做相同的运动，但是运动轨道却不同，一个物体是在静止轨道上运动，另一个物体是在旋转的相同轨道上运动，两个物体所受的向心力之差与物体相同的高度的三次方成反比。（图A 9-2）

设静止轨道的VP、PK部分，分别全等于旋转轨道的up、pk部分。假设点P到点K的距离为极小值，从点k出发，作直线kr，使得kr⊥Cp，在直线kr上取一点m，使得＝。因为CP＝Cp、CK＝Ck始终成立，所以直线CP和直线Cp的增量或减量也始终相等。由运动定律的推论Ⅱ可得，物体在点P和点p的运动可以分解为两种运动。一个物体做指向中心的运动和沿直线CP、直线Cp运动；另一个物体做相同的指向中心的运动和沿直线CP、直线Cp的垂线的横向运动。在点P的物体的横向运动与在点p的物体的横向运动之比，与物体在直线CP和直线Cp的角运动之比相等，同时也等于。这就是说，在相同的时间间隔内，在点P的物体以以上两种运动方式运动到点K，而在点p的物体朝中心做相同运动，由点p运动到点C。在时间间隔过去之后，物体p会停在直线mkr上的某一位置，直线Cp的垂线，经过点k，物体p横向运动使它移动的距离等于Cp。且物体p横向运动使它移动的距离与另一物体P到直线CP的距离之比，等于物体p的横向运动比物体P的横向运动。因为物体P到直线CP的距离等于kr，而＝，也等于物体p的横向运动与物体P的横向运动之比。所以，当运动时间结束的时候，物体p停在位置m。之所以会出现这种情形，是因为当两个物体分别沿直线CP和直线Cp运动时，它们两个在各自的方向上所受的力是相等的。但是在＝的情况下，设nC＝kC，在运动时间结束时，物体p将会停在位置n。如果∠nCp>kCp，物体p所受的力比物体P的力大。如果轨道upk向前运动或向后退，其速度比直线CP速度的两倍大，那么，物体P所受的力比物体p所受的力大。反之，如果轨道upk向前运动或向后退的速度很小，那么物体P所受的力就很小，且物体P所受的力大小之差与距离mn成正比。

以点C为圆心、Cn或Ck为半径作圆，直线mr和直线mn的延长线与圆分别相交于点s和点t，且mn×mt＝mk×ms，则mn＝。因为在指定时间内，△pCk与△pCn的大小是被指定的，mk+kr＝mr，则mk、kr、mr与高度Cp成反比，ms也与Cp成反比，所以，mk和ms的乘积mk×ms与Cp2成反比。此外，还有mt与高度Cp成正比，则也与Cp成正比。综上所述，初始线段mn＝与力的差成正比，与Cp3成反比。

推论Ⅰ.设物体在位置P所受的力为FP，物体在位置P所受的力为FP，在位置K所受的力为FK，在位置k所受的力为Fk，设固定轨道上的物体P从位置P旋转运动到位置K所受的力为FPK，在相同的时间内，FPK可以使做圆周运动的一个物体从位置R运动到位置K。则＝＝，即＝＝＝。从另一个角度，取指定量F和G，使得＝，则＝＝。做一个以点C为圆心、任意距离CP或Cp为半径的扇形，使得扇形面积等于区域VPC的面积，此扇形面积是指在任意时间内，在固定轨道上运动的物体P围绕中心旋转运动所划过的圆弧所对应的扇形面积。在固定轨道上运动的物体P所受的向心力与在可动轨道上运动的物体p所受的向心力之差，与在相同时间内做圆周运动、画出扇形的另一物体所受到的向心力之比，也等于。因为此扇形的面积与区域pCk的面积之比等于两物体划过各自区域所需的时间之比。

推论Ⅱ.假如轨道VPK为椭圆，其焦点为点C，最高拱点为点V，进一步假设椭圆VPK全等于椭圆upk，且有Cp＝CP总是成立，那么，取指定量F和G，使得＝，设定高度CP或Cp为A，椭圆VPK的通径为2R，那么沿可动椭圆轨道做旋转运动的物体所受到的力与＝成正比，反之情况亦然。

如果沿固定椭圆轨道运动的物体所受的力表示为，那么，物体在位置V所受到的力FV为。假设使物体以CV为半径做圆周运动的力为FCV，则＝＝。如果＝，由本命题的推论Ⅰ可得，该力为物体P在点V沿固定椭圆轨道VPK运动受到的力与物体p沿可动椭圆轨道upk运动所受的力之差。再根据本命题，此两力之差在任意高度A上的大小，与其在高度CV上的比值，等于与之比，且在每个高度A上，此两力之差都等于。而物体P在点V沿固定椭圆轨道VPK运动受到的力为，物体p沿可动椭圆轨道upk运动所受的力即为+。

推论Ⅲ.假如轨道VPK为椭圆，其中心为点C，点C同时也是力的中心。假设可动椭圆轨道upk与椭圆VPK全等，点C也是可动椭圆轨道upk的中心。设椭圆的通径为2R，长轴横向通径为2T，且＝，所以在相等时间内，物体沿固定椭圆轨道运动所受到的力为，物体沿可动椭圆轨道运动所受到的力为+。

推论Ⅳ.设物体运动的高度CV最大值为T，在点V，曲线轨道VPK的曲率半径为R，沿任意固定曲线轨道VPK运动的物体在点V所受到的力为。如果物体在点P受到力为X，高度CV为A，且＝。而在相同时间内，沿相同可动曲线轨道upk运动的物体，所受到的向心力为X+。

推论Ⅴ.指定物体在曲线轨道上运动，且此曲线轨道也是指定的，如果围绕力中心角的以指定比值增大或减小，那么，根据已知条件，可以求出，在另一个向心力的作用下，物体做旋转运动的固定曲线轨道。

推论Ⅵ.作指定的直线CV的垂线VP，直线VP的长度不确定。从点C出发，向直线VP作线段CP，同时作相等的线段Cp，是指定值，则物体沿曲线轨道Vpk运动所受力的大小与高度Cp的三次方成反比。当无其他作用力，只有惰性力的时候，物体P沿直线VP做匀速运动，如果在此条件上，加上方向指向中心点C、大小与高度CP或Cp三次方成反比的力，物体P就会偏离直线VP，进入曲线轨道Vpk，并沿其运动。因为曲线轨道Vpk相同于命题41推论Ⅲ所求出的曲线轨道VPK，所以，物体会在力的作用下，围绕曲线轨道倾斜上升。（图A 9-3）

命题45 问题31

求出轨道与圆轨道相差甚小的回归点的运动。

用代数的方法可以解决这个问题。根据命题44中推论Ⅱ或推论Ⅲ的证明，可以把物体在固定平面上沿可动椭圆所画出的轨道设为接近上述所说回归点运动轨道的图形，可以再进一步求出物体在固定平面上所画轨道的回归点。使得所画出图形完全相同的条件是，物体所受的向心力在相同高度上成比例。

设最高回归点为点V，最大高度CV为T，其他任意高度CP或Cp为A，高度CV-CP＝X。根据命题44的推论Ⅱ，物体在焦点为点C的椭圆轨道上运动所受到的力为+，即。以T-X代替分子分式中的A，则上式变为。通过相似的方法，其他任何向心力都可以用这种分母为A3的分式来表示，且通过合并同类项的方式，可以使分子变得差别很小。以下的例子可以证明此方法。

例1 假设向心力是均匀的，并且其大小与成正比，如果用T-X代替分子中的A，则上式变为成正比，合并分子中的同类项，将已知项和未知项分别相比，可得＝＝。假设曲线轨道是非常类似于圆周轨道的图形，如果假设曲线轨道与圆周相重合，那么R＝X，X为无限小接近于0，则上式变为＝，进而可得出＝，所以＝＝。当物体在固定平面的固定椭圆中，从上回归点下落，落到下回归点的过程中，会画出一个180°的∠VCP，同时，物体在固定平面的可动椭圆轨道上，从上回归点下落，落到下回归点，画出的∠VCp。通过比较发现，在均匀向心力的作用下，物体所画出的曲线轨道非常相似于物体在固定平面上沿旋转椭圆运动所画出的轨道，然而，这并非一般现象，这种相似只有在所画出的这些轨道与圆周非常相似的情况下才能成立。所以，在均匀向心力的作用下，物体沿非常相似于圆周轨道的曲线轨道运动，从上回归点下落，落到下回归点的过程中，会画出一个的角，约为103°55′23″，接着再以相同的速度从下回归点返回上回归点，并且会一直循环下去。

例2 假设向心力的大小与物体高度A的任意次幂An-3或成正比，n-3为任意幂指数，可以表示整数或分数，可以表示有理数或无理数，也可以表示任意正数或负数。通过收敛级数的方式，分子An或（T-X）n可以化成不定级数，即如下式子：Tn-nXTn-1+XXTn-1+…。将此式与分子式RG2-RF2+TF2-XF2进行比较后，可得＝＝…当曲线轨道近似于圆周轨道时，其最后的比值为＝或者＝。进而可得，＝＝，即＝＝。物体沿椭圆轨道从上回归点下落到下回归点所划过的角，即∠VCP，其大小为180°。所以，物体在任意与An-3成比例的向心力作用下，沿近似于圆周轨道的曲线轨道从上回归点下落到下回归点所划过的角，即∠VCp，其大小为。且当物体经过下回归点，上升到上回归点，又画出∠VCp，再由上回归点下落，下落到下回归点，画出∠VCp，这个过程会如此往复循环下去，直至无穷。

如果物体所受的向心力与其到中心的距离成正比，即向心力与A或成正比，于是就有n＝4，＝2。所以，物体从上回归点和下回归点之间运动所划过的角度为，即近似于圆周轨道的椭圆轨道上回归点和下回归点之间角度的大小为90°。这也就是说，在另一个物体做四分之一圆周运动的时间内，物体就能完成上下回归点之间的运动，并且循环至无穷。命题10也可以用来证明此类问题。因为物体在向心力的作用下，沿固定的椭圆轨道做旋转运动，物体运动的中心也就是向心力的中心。如果物体所受的向心力与物体到中心的距离成反比，即与或，n＝2，则上下回归点之间的角度大小为（约为127°16′45″），而在此向心力作用下的物体，将会沿椭圆轨道，在上下回归点之间做重复画出这个角度的旋转运动。

如果物体所受向心力与成反比，那么此向心力与，即成正比，则n＝，＝＝360°。所以，在另一个沿圆周运动的物体旋转一周的时间内，物体完成从上回归点下落至下回归点的运动，接下来再在另一个沿圆周运动的物体旋转一周的时间内，物体从下回归点回到上回归点，如此循环往复，直至无穷。

例3 设m和n为高度的任意幂指数，b和c为两个任意指定的数。如果向心力与成正比，将分式分子中的A用（T-X）代替，则上述分式变为，通过收敛级数法，分式变为。

比较分子的项可得，＝。取轨道变成圆之后的最终比值，可得以下比例等式：＝，＝。如果在算术上，最大高度CV或T为单位1，则＝将变为＝，进而可得，＝＝。因为在轨道为固定椭圆时，上下回归点之间的角度∠VCP＝180°，因此在另一轨道上，同样介于上下回归点之间角度∠VCp＝180°×。同理之下，如果物体所受到的向心力与成正比，则∠VCp＝180°×。通过这种方法，更复杂困难的问题也能得到解答。因为向心力总与分母为A3的分式成正比或反比，而该分式总可以分解为收敛级数，然后，在假设运算的过程中，分子分式的指定部分与未定部分之比，等于此分子分式中RG2-RF2+TF2-XF2的指定部分与未定部分之比，约去多余的量，设T为算术单位1，则可得，即的比值。

推论Ⅰ.如果物体所受向心力与物体高度的任意次幂成正比，那么通过物体在回归点之间的运动就可以求出该次幂数。反过来，通过同样的方法，如果物体在椭圆轨道上下回归点之间运动所画出的角与180°之比为，假设高度为A，由例2显然可得，物体所受的向心力与A-3成正比，同样显然可以得出的是，当物体远离中心运动时，向心力的减小量不能大于A3的减小量。因为如果当物体远离中心运动时，向心力的减小量大于A3的减小量，物体在离开上回归点之后做旋转运动，将不能降落至下回归点或下降到最小高度，反而会发生命题41推论Ⅲ所证明的那种情形：物体会下降到中心。而且在此向心力作用下，物体在离开下回归点之后向上运动小段距离，但不能回到上回归点，而是做无限上升的运动，就像命题45推论Ⅳ所证明的那样。所以，当物体远离中心运动，向心力减小量大于A3减小量的时候，物体在离开回归点后，会做下降到中心或无限上升的运动，这取决于开始物体是做下降运动还是上升运动。也就是说，当物体远离中心运动，向心力减小量小于A3减小量，或者向心力减小量以高度的任意比例增大，物体在做下降运动时，不会直接下降到中心，而是会在某个时刻到达下回归点。反过来讲，如果物体在上下回归点之间做不间断的下降、上升运动，而不会到达中心，那么当物体远离中心运动时，向心力的减小量一定小于A3的减小量。而且，物体在上下回归点之间往返的运动频率越快，向心力与A3之间的比值越大。

以上回归点为起点，观察物体进出上回归点的运动，发现物体在做旋转运动的第8次、4次、2次或次离开上回归点或回到上回归点，即分别为8、4、2、。在此前提下，-3分别等于-3、-3、-3、-3。物体在不同时刻所受向心力就分别与A-3、A-3、A-3、A-3成正比，也就是分别与A3-、A3-、A3-、A3-成反比。如果物体在做圆周运动的物体旋转一周的时间内同样旋转一周，回到同一回归点，则＝1，A-3＝A-2，当物体远离中心运动时，向心力的减小量与A-2或成正比，此结果更说明了前面的证明结果。如果物体在做圆周运动的物体分别旋转、、、周的时间内分别旋转一周，回到同一回归点，则分别为、、、，A-3分别为A-3、A-3、A9-3、A16-3，物体在不同情况下所受向心力分别与A-3、A-3、A6、A13成正比。下面以上回归点为起点，物体旋转运动一周回到上回归点，并旋转运动另外的3°，这样物体每运行一周，上回归点便向前移3°，＝，A-3＝A，所以物体所受向心力与A或者近似地与A2成反比，向心力按照略大于A2的比例减小，比起接近A3的59，向心力更接近A2。

推论Ⅱ.因此，如果一个物体，在与高的平方成反比的向心力作用下，在一个焦点是力的中心的椭圆上运行，且这个向心力被加上或者减去外部的其他任意一个力；能得知（由例3）那个外部的力引起的拱点的运动，且反之亦然。如果力由它物体在椭圆上运行，如且被减去的外部力如同cA，因此剩余的力如同，于是b等于1，m等于1，且n等于4，因此回归点之间的旋转角则等于180°×。我们假设那个外力使物体绕椭圆运动的力小357.45倍，即c为，A或T等于1，180°×＝180°×或180.7623°，即180°45′44″。那么，该物体离开上回归点后，将以180°45′44″的角度运动达到下回归点，物体不断重复做角运动，最后回到上回归点，在每一周的旋转中，上回归点都将向前移动1°31′28″。而月球回归点的运动比该运动快一倍。

至此，我对物体再平面中心轨道运动的讨论全部结束。后面要讨论的是，物体在偏心平面上的运动。因为，以前那些讨论重物运动的作者认为，此类物体的上升或下落不仅只是沿垂线路径运动，还可以再任意给定的所有倾斜平面上运动。根据相同原因，我们要讨论的是，在任意力作用下物体在偏心平面上指向中心的运动。假设此类平面是绝对平滑和光洁的，这样才不会对物体的运动产生阻碍。此外，在这些证明中，物体在平面上滚动或滑动，因而这些平面也就成了物体的切面，对于这样的情形，我将用平面平行于物体的情形替代，这样的话，物体的中心将在该平面上移动，并画出轨道。在后面我会用同样的方法对物体在曲面表面上的运动进行讨论。

第10章：物体在给定表面上的运动物体的摆动运动

命题46 问题32

设任意种类的向心力，力的中心以及物体在其上运动的平面均为已知，而且曲线图形的面积可以求出；求一物体以给定速度沿位于上述平面上的给定直线方向，脱离一给定处所的运动。（图A 10-1）

设力的中心为S，则该中心到给定平面的最近距离为SC，由处所P出发沿直径PZ方向运动的物体为P，沿着曲线运动的同一物体为Q，要在给定平面上求出的曲线本身PQR。将CQ、QS连接，假设在QS上取SV正比于把物体吸引向中心S的力，作CQ的平行线VT并与SC相交于T；则力SV可以分解为二（由运动定律推论Ⅱ得出），力ST和力TV；其中ST沿垂直于平面的直线方向吸引物体，它在该平面上的运动完全不改变；而平面本身的位置相重合于另一个力TV的作用，把物体吸引向平面上已知点C；因此它使得在平面上运动物体犹如被除去的力ST一样，在自由空间中受力TV的单独作用的物体关于中心C运动。而已知使物体Q的向心力TV在自由空间中环绕运动于点C，即可求出（由命题42得出）物体画出的曲线PQR；物体在位置Q的任何时刻，以及物体在该处所的速度Q。反之也成立。

命题47 定理15

设向心力正比于物体到中心的距离，则所有沿任意平面运动的物体都画出椭圆，而且在相同时间里完成环绕；而沿直线运动的物体，则往返交替，在相同时间里完成各自的往复周期。

设前述命题的任何条件下都成立，使物体Q在任意平面PQR上运行，力SV将其吸引向中心S，与距离SQ成正比关系；因为SV与SQ、TV与CQ成正比，物体在轨道平面上被吸引向已知点C的力TV与距离CQ成正比关系。所以，在平面PQR上出现的诸物体吸引向点C的力，按一定的距离比例，与相同物体被各自吸引向中心S的力相等；所以，在任意平面PQR上的诸物体将关于点C沿相同图形在相同时间里运动，如同在自由空间中它们绕中心S运动一样；所以（由命题10推论Ⅱ和命题38推论可得），在相同时间里或在该平面上它们都能画出关于中心C的椭圆，或在平面上通过直线的中心C作往返运动；在任何情况下完成时间周期都是相同的。

附 注

物体的上升或下降在弯曲表面上运动与我们刚才讨论的运动有密切联系。假设作若干曲线于任意平面上，并使之沿任何给定的、通过力的中心的轴旋转，画出若干曲面，则该物体做此类运动且其中心一直在这些表面上。如果通过斜向上升和下降的这些物体来回摆动，则通过转动轴的各个平面上有它们的运动在进行，那么也在因转动而形成曲面的各个曲线上进行。所以，对于这种现象，只需要考虑各个曲线中的运动就可以了。

命题48 定理16

如果一只轮子直立于一只球的外表面，并绕其轴沿球上大圆滚动，则轮子边缘任意一点自其与球接触时起所掠过的曲线路径（该曲线路径可称为摆线或外摆线）的长度，与自该接触时刻起所通过的球的弧的一半的正矢的二倍的比，等于球与轮直径之和比球的半径。

命题49定理17

如果轮子直立于球的内表面，并绕其轴沿球上大圆滚动，则轮子边缘上任意一点自其与球接触后所掠过的曲线路径的长度，与接触后整个时间里通过的球的弧的一半的正矢的二倍的比值，等于球与轮直径的差比球的半径。（图A 10-2）

令球为ABL，其中心是C，立于球上的轮子是BPV，轮子中心是E，接触点是B，轮边缘上任意一点是P。设该轮由A经过B向L在沿大圆ABL滚动，滚动方式一直使弧AB、PB相等，同时轮边缘上画出给定点P的曲线路径AP。令自轮子在A与球接触后画出的所有曲线路径为AP，则该曲线路径的长度AP比弧½PB的正矢的二倍与2CE比CB相等。因为令直线CE（一定条件时延长）与轮相交于V，使CP，BP，EP，VP相连接；将CP延长，并作其垂线VF。令PH与VH相交于H，与轮相切于P和V，并使PH在G分割VF，作VP的垂线GI、HK。以中心C作任意半径圆nom，与直线CP、轮子边缘BB、曲线路径AP分别相交于n、O、m；以Vo为半径，V为中心作圆与VP的延长线交于qo

因为在滚动中一直围绕接触B转动，则直线BP与轮上点P所画出的曲线AP互相垂直，所以直线VP相切于此曲线交于P。逐渐递增或递减圆nom的半径，使得它最后等于距离CP；因为接近于零的图形Pnomg相似于图形PFGVI，接近于零的短线段Pm、Pn、Po、Pq的最终比值，即曲线AP，直线 CP，圆弧BP和直线VP暂时增量的比值，将分别等于直线PV、PF、PG、PI的增量。但由于VF与CF互相垂直，VH与CV互相垂直，所以角HVG等于角VCF；角VHG（因为四边形HVEP在V与P的角是直角）与角CEP相等，三角形VHG相似于三角形CEP，可推出

EP∶CE＝HG∶HV或HP＝KI∶PK，

由加法或减法，

CB∶CE＝PI∶PK，

以及CB∶2CE＝PI∶PV＝Pq∶Pmo

所以直线VP的增量，即直线BV-VP的增量，比曲线AP的增量，与给定比值CB比2CE相等，（引理4推论可得）由这些增量产生的长度BV–VP与AP比值也相同。但如果半径为BV，角BVP或½BEP的余弦为VP，而BV–VP是同一个角的正矢，则在该半径为½BV的轮子上，BV-VP与弧½BP的正矢的二倍。所以，AP比弧½BP的正矢的二倍与2CE比CB相等。

为方便辨别，我们把前一个命题中的球外摆线称为曲线AP，而后一命题中的球内摆线称为另一个曲线。

推论Ⅰ.如果ASL为整条摆线，且二等分点在S处，则PS部分的长度比长度PV（当半径为EB时，角VBP正弦的二倍是它）与2CE比CB相等，所以比值是给定的。

推论Ⅱ.摆线AS半径的长度与轮子BV直径的比与2CE比CB相等。

命题50 问题33

使摆动物体沿给定摆线摆动。（图A 10-3）

作QRS为以C为中心的球QVS内的摆线，并在R处作二等分，与球表面相交于两边的极点Q和S。在O点作CR等分弧QS，并将其延长至A，使得CA比AO于CO比CR相等。在中心C处作CA为半径的外圆DAF，并在此圆内以A0为半径的轮画两个半摆线AQ、AS与内圆相切于Q和S，与外圆相交于A。由点A置一长度与直线AR相等的细线，将物体T系于其上并使其摆动于AQ、AS两个半摆线之间：每当摆离开垂线AR时，细线AP的上部重合于它所摆向的半摆线APS，在该曲线上就好像紧贴的固体那样，而同一根细线上始终保持直线状态的，是未接触半摆线的其余部分PT。则给定摆线QRS上的重物T的摆动是一定的。

因为，令细线PT与摆线QRS，圆QOS相交于分别相交于T、V，连接CV；作极点P和T向细线的直线部分的垂线BP、TW，与直线CV相交于B和W。可知，由相似图形AS、SR的作图和产生得知，垂线PB、TW从CV上截下的长度VB、VW，与轮子直径OA、OR相等。所以TP比VP（当半径为½BV时，角VBP正弦的二倍是它）与BW比BV相等，或AO+OR比AO，即（由于CA与CO，CO与CR，以及由除法A0与OR均成正比）与CA+CO比CA相等；或者，如果在E处二等分BV，与2CE比CB相等，所以（由命题49推论Ⅰ可得），细线PT的直线部分始终与摆线PS弧长相等，而整个细线APT始终与摆线APS的一半相等，即（由命题49推论Ⅱ可得），与长度AR相等，相反，如果细线始终与长度AR相等，则点T始终沿摆线QRS运动。

推论.细线AR与半摆线AS相等，所以它与半径AC为外球的比与相同的半摆线SR与半径CO为内球的比相等。

命题51 定理18

如果球面各处的向心力都指向球心C，且在所有处所都正比于到球心的距离；当单独受该力作用的物体T沿摆线QRS摆动（按上述方法）时，所有的摆动，不管它们多么不同，其摆动时间都相等。（图A 10-4）

作CX垂直于切线TW的延长线上，使CT连接。因为迫使物T倾向C的向心力与距离CT成正比关系，将该力（按运动定律推论Ⅱ）分解为两部分CX和TX，其中CX使物体从P拉开，张紧细线PT，使之完全抵消细线的阻力，不会有其他作用产生；而横向拉力是另一个力TX，或把物体拉向X，使之沿摆线作加速运动。所以通俗的理解，与该加速力的物体的加速度成正比关系，在每一时刻都与长度TX成正比，即（因为CV正比于WV，TX正比于TW，而且都是给定的）于长度TW成正比，也即（由命题39推论Ⅰ可得）与摆线TR的弧长成正比。所以，如果两个摆APT、Apt到垂线AR的距离不相等，使它们在同一时间点下落，则它们的加速度始终与所掠过的弧TR、R成正比。但开始运动时所掠过的部分与加速度成正比，即与开始运动时将要掠过的所有距离成正比，因而将要掠过的剩下部分，以及其后的加速度，也与这些部分成正比，同时也与全部距离开始，等等。所以，加速度、由此产生的速度、这些速度所掠过的部分，以及接下来要掠过的部分，都始终与全部剩下的距离成正比；而未掠过的部分相互间有一个给定比值，将同时消失，即两个摆动物体将一同到达垂线AR。另一方面，由于摆在最低处所R沿摆线作减速上升运动，在所经过各处同时受到它们加速下落时的力的阻碍，因而可以轻易得知它们在经过相同弧长时，上升或下落时的速度相等，所需用的时间相等。所以，由于置于垂线两侧的部分RS和RQ与摆线相似且相等，两个摆在完成其摆动的全部或一半时所需要的时间也相同。

推论.使物体T在摆线上T处的力加速或减速，与最高处所S或Q同一物体的全部重量的比，与摆线弧TR比弧SR或QR相等。

命题52 问题34

求摆在各处所的速度，以及完成全部与部分摆动的时间。（图A 10-5、图A 10-6）

关于任意中心G，以半径为等于摆线RS的弧长画半圆HKM，并在半GK处等分。如果向心力与指向中心G处所到中心的距离成正比，且在圆HIK上的力与在球QOS表面上指向其中心的向心力相等，同时由摆T在最高处所S下落。一个物体，例如L，从H向G下落，则因为开始时作用于二物体上的力相等，且始终与将要掠过的空间TR、LG成正比，所以如果TR等于LG，则在处所T也等于L，因而可以轻易得知在开始时这些物体掠过相等的空间ST、HL，此后继续在相等的力作用下掠过相等的空间。所以，由命题38可得，物体掠过弧ST的时间与一次摆动的时间的比，与物体H到达L所用时间弧HI，等于物体H将到达M所用时间半圆HKM。而摆锤在处所T的速度比其在最低处的R的速度，即物体H在处所L的速度比其在处所G的速度，或者说，线段HL的瞬时增量比线段HG（弧HI，HK以均匀速度增加）的瞬时增量，与纵坐标LI比半径GK相等，或等于比SR。所以，由于在相同时间里不相等的摆动中掠过的弧长与整个摆动弧长成正比，则在时间给定的条件下，一般可以求出所掠过的弧长和所有振动的速度。这是求解问题需要进行的第一步。

此时，使摆锤在任意条件下沿由不同的球内作不同摆线的摆动，它们受到的绝对力也不相等；如果V为任意球QOS的绝对力，使推动球面上摆锤的力加速，在摆锤直接向球心运动时，将与摆锤到球心的距离与球的绝对力的乘积成正比，即与CO×V成正比。所以，与该加速力CO×V的短线段HY成正比可以在时间给定下画出：而如果作球面的垂线YZ并与相交于Z，则该给定时间可以用新生弧长HZ表示。但此新生弧长HZ与乘积GH×HY的平方根成正比，因而与成正比会发生改变。因此，沿摆线QRS的一次全摆动的时间（它与半圆HKM成正比，后者表示为一次全摆动；反比于以类似方式表示给定时间的弧长HZ）将与GH成正比，与成反比；即，因为GH等于SR，与成正比或（由命题50推论可得），与成正比。所以，沿所有球或摆线的摆动、在某种绝对力作用下，其变化与细线长度的平方根成正比，与摆锤悬挂点到球心的距离的平方根成反比，同时与球的绝对力的平方根成反比。

推论Ⅰ.可以相互比较物体的摆动、下落和环绕的时间。因为，如果在球内画出摆线的轮子的直径与球的半径相等，使摆线成为通过球心的直线，而摆动作沿该直线的上下往返运动。因此可求出物体由任意点所下落到球心的时间，以及物体在绕球心匀速环绕四分之一周于任意距离上所用的时间。而该时间（由情形2）比在任意摆线上的半振动时间与1∶相等。

推论Ⅱ.还可以推出克里斯托弗·雷恩爵士和惠更斯先生关于普通摆线的发现。如果使球的直径无限增大，使其球面变成平面，向心力与该平面的方向垂直且均匀作用，那么我们的摆线则等同于普通摆线。但在这种情形中介于该平面与画出摆线的点之间的摆线弧长与介于同一平面和点之间的轮子的半弧长正矢的四倍相等，与克里斯托弗·雷恩爵士的发现雷同。介于这样的两条摆线之间的摆将在相等时间里沿一条相似且相等的摆线摆动，如同惠更斯先生所证明的。重物体的下落时间等于一次振动时间，这也是惠更斯先生已证明的。

这里证明的几个命题，可应用于地球的真实构造中。如果使轮子沿地球大圆滚动，则轮边的钉子的运动可以画出一条球外摆线；画出球内摆线的是在地下矿井或深洞中的摆，相同时间下这些振动都可以同时进行。因为重力（第三编将要讨论）随其离开地球表面而减弱，则在地表之上与到地球中心距离的平方根成正比，在地表之下与该距离成正比。

命题53 问题35

已知曲线图形的面积，求使物体沿给定曲线作等时摆动的力。

在任意给定曲线STRQ使物体T摆动，力的中心C通过曲线的轴AR。作TX与曲线相切于物体T的任意处所，并在其切线TX上取TY与弧长TR相等。可用普通方法由图形面积求得该弧长。由点Y作直线YZ垂直于切线，使CT与YZ相交于Z，则向心力将与直线TZ成正比。

（图A 10-7）因为，如果把物体由T吸引向C的力以与它的直线TZ成正比来表示，则该力可以分解为两个力TY、YZ，其中沿细绳PT的长度方向拉住物体是力YZ，对其运动变化没有任何作用，而另一个力TY直接沿曲线STRQ方向对物体作加速或减速运动。所以，由于该力与将要经过的空间TR成正比，经过二次摆动的两个成正比部分（一个较大，一个较小）的物体的加速或减速，将始终与这些部分成正比，因而同时经过这些部分。而在时间相同条件内连接经过与整个摆的路程的部分的物体成正比，将在时间相同的条件内经过整个摆的路程。

推论Ⅰ.如果直细绳AT将物体T悬挂在中心A，经过圆弧STRQ，同时受任意平行向下的力的作用，该力与均匀重力的比与弧TR比其正比弦TN相等，则各种摆动的时间都相等。因为，TZ等于AR，三角形ATN相似于ZTY，所以TZ比AT与TY比TN相等；即，如果给定长度AT表示均匀的重力，则使摆动相等时间的力TZ 比重力AT与TY相等的弧长TR比该弧的正弧TN相等。

推论Ⅱ.（图A 10-8）在时钟里，如果把力通过某种机械加在持续运动的摆上，并将它与重力重合成这样，使得指向下的合力始终与一条直线成正比，该直线与弧TR与半径AR的乘积除以正弦TN相等，则整个摆动具有等时性。

命题54 问题36

已知曲线图形的面积，求物体沿着位于经过力的中心的平面上的曲线在任意向心力作用下上升或下降的时间。（图A 10-9）

在任意处所S使物体下落，在沿着经过力的中心C的平面上运动于给定曲线STtR。连接CS，并把它进行无数等分，令其中之一为Dd。以C为中心，以CD、Cd为半径作圆DT、dt与曲线STtR分别相交于T、t。由给定的向心力的规律，物体开始下落的高CS，则物体在其他任意高度CT的速度可以求出（由命题39可得）。而物体经过短线段Tt 的时间与该线段成正比，即与角tTC的正割而反比于速度成正比。令与该时间的纵坐标DN成正比的点D垂直于直线CS，由于已给定Dd，则乘积Dd×DN，即面积DNnd，将与同一时间成正比。所以，如果点N连接接触的曲线是PNn，其渐近线SQ 垂直于直线CS，则面积SQP- ND将于物下落经过曲线ST所用的时间成正比；所以求出该面积同时也可以求出时间。

命题55 定理19

如果物体沿任意曲线表面运动，该表面的轴通过力的中心，由物体作轴的垂线；并由轴上任意给定点作与之相等的平行线，则该平行线围成的面积正比于时间。（图A 10-10）

令曲线表面为BKL，在其上运动的物体是T，物体在同一表面上掠过的曲线是STR，曲线的起点是S，曲线表面的轴是OMK，由物体做向轴的垂线是TN；由轴上给定点O做出的与之相等的平行线是OP；旋转线0P所在平面AOP上一点P掠过的路径是AP；该路径对应于点S的起点是A；由物体做向中心的直线是TC；其上与使物体倾向于中心C的力成正比的部分是TG；垂直于曲面的直线是TM，其上与物体压迫表面的力的部分成正比是TI，该力又受到表面上指向M的力的反抗；平行轴且通过物体的直线是PTF，而由点G、I向它所做的垂线GF、IF且与PHTF平行。则由半径OP做运动开始后经过的面积AOP，与时间成正比。因为，力TG （由运动定律推论Ⅱ）分解为两个力TF、FG；而力TI分解为力TH、HI；但力TF、TH作用在与平面AOP相垂直的直线PF方向上，对该平面方向以外的垂直运动变化没有影响。所以，物体的运动，就其在平面位置同一方向上而言，即画出曲线在平面上投影AP的点P的运动，如同力TF、TH不存在一样，而物体的运动只受力FG、HI的作用；即与物体在平面AOP上受指向中心O的向心力作用画出曲线AP一样，该力与力FG 与HI的和相等。而受该力作用所经过的面积AOP（由命题1可得）与时间成正比。

推论.由相同条件，如果物体受指向二个或更多位于同一条直线上CO的中心的无数力的作用，并在自由空间内中经过ST的任意曲线，相应的面积AOP始终与时间成正比。

命题56 问题37

已知曲线图形面积，以及指向一给定中心的向心力的规律，和其轴通过该中心的曲面，求物体在该曲面上以给定速度沿曲面上的给定方向离开给定点所画出的曲线。（图A 10-11）

保留上述图形，令离开给定处所S的物体为T，沿位置已知的直线方向，进入要求的曲线STR，其AP是在平面BDO上的正交投影。由在高度SC处的物体的速度，可以计算出它在任意高度TC的速度。从该速度令物体在给定时刻经过其轨迹的一小段Tt，Pp是它在平面AOP上的投影。连接力0p，并在曲面上关于中心T以半径为Tt做一个小圆，椭圆pQ是该圆在平面AOP上的投影。因为该小圆Tt的大小，以及给定它到轴CO的距离TN或PO，同时也给定椭圆pQ的形状、大小以及它到直线PO的距离。由于面积POp力与时间成正比，由于给定时间，因而也给定角POp。所以椭圆与直线Op的公共交点，以及曲线投影APp力与直线OP的夹角OPp力都可以计算出。而由此（比较命题41与其推论Ⅱ可得）即容易看出确定曲线APp的办法。然后由若干投影点P向平面AOP作垂线PT与曲面相交于T，即可得到曲面上各点T。

第11章：受向心力作用物体的相互吸引运动

到此为止我论述的运动都是物体被吸引向不动中心；虽然这种事情很可能不存在于自然界中。因为吸引是针对物体的，而根据第三定律，被吸引与吸引物体的作用是相反且相等的；这使得两个物体，不论是被吸引者或是吸引者，都不是真正地静止，而两者（由运动定律推论是互相吸引）绕公共重心旋转。如果有更多物体，不论是它们是受到一个物体的吸引，它们也吸引它，或是它们之间互相吸引，这些物体都是这样运动，使得它们的公共重心或是静止，或是沿直线做匀速运动。所以我现在来讨论互相吸引物体的运动，把向心力比作是吸引作用，虽然从物理学严格性上说它们也许应更精确地称为推斥作用。但这些命题只被看作是纯数学的，所以，我把物理考虑置于一边，用所熟悉的表达方式，使我所要说的更容易为数学读者理解。

命题57定理20

两个相互吸引的物体，围绕它们的公共重心，也相互围绕对方，描出相似图形。

因为物体到它们公共重心的距离反比于物体；在给定的相互比值之间；比值的大小与物体间的所有距离的比值也是固定的。这些距离绕其公共端点随着物体作均匀角速度运动，因为在同一条直线上，它们互相之间的倾向不会改变。但互相之间的直线有给定比例，也绕其端点随物体在平面上作均匀角速度运动，或是相对于它们静止的这些平面，或是作没有角运动的移动，而完全相似于直线关于这些端点所画出的图形。所以，这些距离旋转画出的图形都具有相似性。

命题58定理21

如果两个物体以某种力相互吸引，且绕公共重心旋转，则在相同力作用下，绕其中一个被固定物体旋转所得到的图形，相似且相等于这种相互环绕运动做出的图形。（图A 11-1、图A 11-2）

关于它们的公共重心C旋转的物体S和P，方向为由S 向T和由P向Q。作sp为给定点s的连续线，且于sp，TQ相等平行，则绕固定点S的点p旋转所作曲线pqv将与且相等于物体S和P相互环绕所做的图形相似；因此，由定理20，也与相同物体关于它们的公共引力中心C旋转所得的曲线ST和PQV相似；而且这也可通过线段SC，CP与SP或相互间给定比例推出。

情形1.公共重心C（由运动定律推论Ⅳ）或是静止，或是做匀速直线运动。先设它静止，位于s和p的两物体，在s处的不动，在另一个运动的p处，相似于物体S和P的情况。作直线PR和pr与曲线PQ的pq相交于p和q，并将CQ和sq延长到R和r，因为图形CPRQ相似于图形sprq，RQ比rq与CP比sp相等，所以在比值给定的条件下，如果把物体p吸引向物体S，同时也被吸引向其间的引力中心C的力比把物体力吸引向中心S的力的比值取相同，则这些力在同一时间里通过正比于该力的间隔RQ，rq把物体由PR，pr切线吸引向PQ、pq弧；因此后一种力（指向s）使p物体沿pqv曲线旋转，它相似于第一个力推动P物体旋转所沿的PQV曲线；在相同时间内完成它们的环绕。但由于这些力相互的比值相等，在相同时间内物体由切线所做的曲线也相等；所以通过更大的间隔rp吸引物体p，需要与该间隔平方根的更长的时间成正比；因为，由引理10可得，运动开始时经过的距离与时间的平方成正比。然后，设物体p的速度比物体P的速度与距离sp与距离CP比值的平方根相等，使得相互间的比值简单的弧pq，PQ可以在与距离平方根成正比的时间内画出；而物体P、p受到的吸引力始终是相同的，将绕固定中心C和s画出图形PQV，pqv且相似，其中后一图形pqv与物体P绕运动物体S旋转所画出的图形相似且相等。

情形2.设公共重心，以及物体在相互之间运动的空间，沿直线做匀速运动；则（由运动定律推论Ⅵ）在此空间中全部运动都与前一情形雷同，所以物体互相之间运动所画出的图形也与图形pqv相似且相等，如上所述。

推论Ⅰ.所以两个与其距离的力相互吸引的物体成正比，（由命题10）都绕其公共重心，以及与对方相互环绕，可画出共心的椭圆；相反，如果画出这样的图形，则力与距离成正比。

推论Ⅱ.两个物体，其力与距离的平方成反比，（由命题11、12、13）都环绕其公共重心，以及与对方相互环绕，画出圆锥曲线，其图形环绕的中心是焦点。相反，如果画出这样的图形，则向心力与距离的平方成反比。

推论Ⅲ.两个绕公共重心旋转的物体，其伸向该中心或对方的半径所经过的面积与时间成正比。

命题59定理22

两个物体S和P绕其公共重心C运动的周期，比其中一个物体P绕另一个保持固定的物体S，并做出相似且相等于二物体相互环绕所作图形的运动的周期，等于比。

因为，由上一个命题的证明，画出任意相似弧PQ和pq时间的比与比或，即与比相等。将该比值相加，画出整个相似弧PQ和pq的时间的和，即画出整个图形的总时间，与同一比值，比相等。

命题60定理23

如果两个物体P和S，以反比于它们的距离平方的力相互吸引，绕它们的公共重心旋转，则其中一个物体，如P，绕另一个物体S旋转所画出的椭圆的主轴，与同一个物体P以相同周期环绕固定了的另一个物体S运动所画成的椭圆的主轴，二者之比等于两个物体的和S+P比该和与另一个物体S之间的两个比例中项中前一项。

因为，如果画出椭圆是相同的，则由前一定理可知，它们的周期的时间与物体S与物体的和S+P的比的平方根成正比。使得后一椭圆的周期时间按同等比例减小，则周期相等；但由命题15，该椭圆的主轴将按前一比值的次幂减小；即它的立方于S比S+P相等，因而它的轴比另一椭圆的轴与S+P与S比S+P之间的两个比例中项中的前一个之间的比相等。相反，绕运动物体画出的椭圆的主轴比绕不动物体画出的椭圆主轴与S+P与S+P比S之间的两个比例中项中的前一项相等。

命题61定理24

如果两个物体以任意种类的力相互吸引，不受其他干扰或阻碍，以任意方式运动，则它们的运动等同于它们并不相互吸引，而都受到位于它们的公共重心的第三个物体的相同的力的吸引；而且该吸引力的规律就物体到公共重心的距离，以及两物体之间的距离而言，是相同的。

因为使物体互相吸引的力，同时指向物体，也指向在物体之间连线上的公共引力中心，所以会与从其间的物体上所发出的力相同。

又因为给定其中一个物体到公共中心的距离与两物体间距离的比值，因此也就可以求出一个距离的任意次幂与另一种距离的同次幂的比值；同时也可以求出一个距离以任何方式与给定量组合而任意导出的新量，与另一个距离以相同方式与数量相同且与该距离和第一个距离有相同比值的量所复合而成的另一个新的量的比值。所以，如果一个物体受另一个物体的吸引力与两物体间的相互距离成正比或反比，或与该距离的任意次幂成正比；或者，与该距离以任何方式与给定量所复合而成的量成正比；则使同一个物体为公共引力中心所吸引的力相同，也以同样的方式与被吸引物体到公共引力中心的距离成正比或反比，或与该距离的任意次幂成正比；最后，与以相同方式由该距离与类似的已知量的复合量成正比。即吸引力的规律对这两种距离来说是等同的。

命题62问题38

求相互间吸引力反比于距离平方的两个物体自给定处所下落的运动。

由上述定理可知，物体的运动方式相同于它们受置于公共重心的第三个物体吸引；由命题假设该中心在开始运动时是固定的，所以，（由运动定律推论Ⅳ）它始终是固定的。所以物体的运动（由问题25）可以由与它们受指向该中心的力推动的同一方式求出，由此即得到互相吸引物体的运动。

命题63问题39

求两个以反比于其距离的平方的力相互吸引的物体自给定处所以给定速度沿给定方向的运动。

因为给定物体开始时的运动，所以可以求出公共重心的均匀运动，以及随该中心沿直线做匀速运动的空间的运动，以及物体最初，或开始时相对于此空间的运动。（由运动定律推论Ⅴ和前一定理）物体后来在此空间中的运动，其方式与该空间和公共重心持续静止状态，以及二物体间无任何吸引力，而受位于公共重心的第三个物体的相同的吸引力。所以在此运动空间中，离开给定处所的每个，沿给定方向以给定速度运动，且受到指向该中心的向心力作用的运动的物体，可以由问题9和问题26求出，同时还可以求出绕同一中心的运动的另一个物体。将合成此运动与此空间以及在其中被物体环绕的整个系统的匀速直线运动，即得到物体在不动空间中的绝对运动。

命题64问题40

设物体相互间吸引力随其到中心距离的简单比值而增加，求各物体相互间的运动。（图A 11-3）

设D为前二个物体T和L的公共重心。则由定理21推论Ⅰ可知，它们画出以重心是D的椭圆，由问题5可以求出椭圆的大小。

设前二个物体T和L被第三个物体S以加速力ST，SL所吸引，它也受到它们的吸引。力ST（由运动定律推论Ⅱ）可以分解为力SD，DT；而力SD和DL由力SL分解而来。TL是力DT，DL的合力，它与使二物体相互吸引的加速力成正比，将加在物体T和L的力上的该力，前者加于前者，后者加于后者，得到的合力依旧与之前一样与距离DT和DL成正比，只是大于之前的力；所以（由命题10推论Ⅰ，命题4推论Ⅰ和Ⅷ）它与原来的力一样使物体画出椭圆，但以更快的速度运动。余下的加速力SD和DL，通过其运动力SD×T和SD×L，沿与DS平行的直线TI和LK同样被物体吸引，完全不改变物体互相之间的位置，只能使它们同等地靠近直线IK，通过物体S的中心的该直线，且与直线DS垂直。但这种向直线IK的靠近受到阻止，物体T和L在一边，而物体S在另一边组成的系统以适当速度绕公共重心C旋转。在此类运动中，由于运动力SD×T与SD×L的和与距离CS成正比，物体S倾向于重心C，并画出该中心的椭圆；而由于CS正比于CD，点D画出与之类似的对应的椭圆。受到运动SD，T和SD×L吸引力的物体T和L，如前面所说，前者对应前者，后者对应后者，同样的沿直线TI和LK的平行方向，（由运动定律推论Ⅴ和Ⅵ）绕运动点D画出各自的椭圆。

如果将第四个物体V再加上，由同样的步骤可以证明，关于围绕公共重心B该物体与点C画出椭圆；而物体T、L和S绕重心D和C的运动没有变化，只是加快了速度。运用同一种方法还可以加上更多随意的物体。

即使物体T和L相互吸引的加速力与它们按距离比例吸引其他物体的加速力比较大于或小于，上述情况仍然成立。令所有加速吸引力互相之间的比与吸引物体距离的比相等，则易由以前的定理推出，在一个不动平面上的所有物体，都以相同周期围绕它们的公共重心B画出不同的椭圆。

命题65定理25

物体的力随其到中心距离的平方而减小，则物体沿椭圆运动；而由焦点引出的半径掠过的面积几乎与时间成正比。

在前一命题中我们已证明了沿椭圆进行精确运动的情形。距离越远的力的规律与该情形的规律，物体运动间的相互影响就越大；除非保持某种比例的相互距离，否则按该命题所假设的规律互相吸引的物体不会严格沿椭圆运动。但是，在下述各种情形中轨道与椭圆差别就很小。

情形1.设围绕某个很大的物体在距它不同距离上的若干小物体在运动，且指向每个物体的力与其距离成正比。因为（由运动定律推论Ⅳ）它们全部的公共重心或是静止，或是匀速运动，设小物体非常之小，以至于无法测出大物体到该重心的距离；因而大物体以不能得到的误差处于静止或匀速运动状态中；而绕物大体沿椭圆运动的小物体，其半径经过的面积与时间成正比；如果我们筛除由大物体到公共重心间距所引起的误差，或由小物体互相之间作用所引起的误差。可以使小物体一直缩小，使该间距和物体间的相互作用比任何给定值小；因而其轨道成为椭圆，对应的时间的面积都比任意给定值的误差大。

情形2.设一个系统绕一个极大物体运动的其中若干小物体按上述情况，或设另一个互相环绕的二体系统，做匀速直线运动，同时受到距离很远的另一个极大物体的推动而偏向一侧。因为沿平行方向推动物体做加速运动但不改变物体相互间的位置，只是在各部分维持其间的相互运动的同时，推动改变整个系统的位置，所以互相吸引物体之间的运动不会因该极大物体的吸引而发生变化，除非吸引力的加速不均匀，或互相之间沿吸引方向的平行线发生倾斜。所以，设全部指向该极大物体的加速吸引力与它和被吸引物体间距离的平方成反比，将极大物体的距离增大，直到由它到其他物体所做的直线长度之间的差，以及这些直线相互间的倾斜都可以比任意给定值小，则系统内各部分的运动将比任意给定值的误差小且继续进行。由于各部分间距离非常小，整个被吸引的系统就好像一个物体，它犹如一个物体一样因而受到吸引而运动，那么它的重心将关于该极大物体画出一条圆锥曲线（即如果该吸引比较弱则画出抛物线或双曲线，如果吸引比较强则画出椭圆）；而且由极大物体指向该系统的半径将与时间掠过面积成正比，则由前面假设可知，各部分间距离所带来的误差比较小，并可以随意缩小。

由相同的方法可以推广到更复杂的情况，以至于无数。

推论Ⅰ.在情形2中，极大物体与二体或多体系统越是靠近，则该系统内各部分互相之间运动的摆动越大；因为由该极大物体做向各部分的直线相互之间增大倾斜，而且这些直线比例不等性也增大。

推论Ⅱ.在各种摆动条件下，如果设系统所有各部分指向极大物体的吸引力加速且相互之间的比与它们到该极大物体的距离的平方的反比不相等，则摆动最大；特别当这种比例的不等性比各部分到极大物体距离的不等性大时更是这样。因为，如果沿平行线方向同时作用的加速力并不能引起系统内部分运动的摆动，那么当作用不同时，肯定会在某处引起摆动，其大小随不等性的大小而发生改变。作用于某些物体上较大推斥力的剩余部分并不作用于其他物体，肯定会使物体间的相互位置发生变化。而这种摆动叠加到由于物体间连线的不等性和倾斜而产生摆动上，将使整个摆动的变化更大。

推论Ⅲ.如果沿椭圆或圆周运动的系统中各部分，无任何明显的摆动，且它们都受到指向其他物体的加速力的作用，则该力非常微弱，或在很近处同样地作用于所有部分之上且沿平行方向运动。

命题66定理26

三个物体，如果它们相互吸引的力随其距离的平方而减小，且其中任意两个倾向于第三个的加速吸引力反比于相互间距离的平方，两个较小的物体绕最大的物体旋转，则两个环绕物体中较靠内的一个做向最靠内且最大物体的半径，环绕该物体所掠过的面积更接近于正比于时间，画出的图形更接近于椭圆，其焦点位于二个半径的交点，如果该最大物体受到这吸引力的推动，而不是像它完全不受较小物体的吸引，那么则处于静止；或者像它被较为强烈的或较为微弱的力所吸引，或在该吸引力作用下被较为强烈地或较为微弱地推动所表现的那样。（图A 11-4）

由前一命题的第二个推论容易得出这一结论，但也可以用某种更严格更容易的方法加以证明。

情形1.令在同一平面上关于最大物体T旋转的小物体PS，物体P和S分别画出内轨道PAB，外轨道ESE。令物体P和S的平均距离为SK；直线SK表示物体P在平均距离处指向S的加速吸引力。作SL比SK与SK的平方比SP的平方相等，则物体P在任意距离SP处指向S的加速吸引力是SL。使PT连接，作LM平行于它并与ST相交于M；将吸引力SL分解（由运动定律推论Ⅱ）为吸引力SM，LMo两力，受到三个吸引力作用的为物体P。T指向其中之一，来自物体T和P 的互相吸引。该力使物体P以PT为半径环绕物体T，经过的面积与时间成正比，画出的椭圆焦点与物体T的中心重合；这一运动与物体T处于静止或受该吸引力的运动没有关系，可以由命题11，以及定理21的推论Ⅱ和Ⅲ得知。吸引力LM为另一个力，由于它由P指向T，因而叠加在前一个力上，产生的面积，由定理21推论Ⅲ知，也与时间成正比。但由于它与距离PT的平方不成反比，在叠加到前一个力上后，产生的复合力将使平方反比关系发生改变；复合力中这个力的比例相对于前一个力越大，变化也就越大，其他条件则保持不变。所以，由命题11、定理21推论Ⅱ，画出以焦点为T的椭圆的力本来应该指向该焦点，且与距离PT的平方成反比，而使该关系发生变化的复合力将使PAB轨道由以焦点为T的椭圆轨道发生改变；该力的关系改变越大，轨道的变化也同样伴随大改变，且第二个力LM相对于第一个力的比例也就越大，其他条件保持不变。而第三个力SM沿与ST的平行方向吸引物体P，与另两个力合成的新的力不再直接由P指向T；这种方向改变的大小与第三个力相对于另两个力的比例相同，其他条件保持不变，因此，使物体P以TP为半径经过的面积不再与时间成正比；相对于该正比关系发生改变的大小与第三个力相对于另两个力的大小比例相同。然而，这第三个力加大了轨道PAB相对于前两种力造成的相对于椭圆图形的改变：首先，力不是由P指向T；其次，它与距离PT的平方不成反比。当第三个力无限减小，而前两个力在不变的情况时，经过的面积最为接近与时间成正比；而当第二和第三两个力，尤其是第三个力无限减小，第一个力保持先前的量没有变化时，轨道PAB最接近于上述椭圆。

令以直径SN表示物体T指向S的加速吸引力；如果吸引力SM与SN的加速相等，则物体T和P被沿平行方向同等地该力吸引，完全不会引起它们之间位置的变化，由运动定律推论Ⅵ这两个物体之间的互相运动与该吸引力完全没有时一样。由相似的理由，如果吸引力SN比吸引力SM小，则吸引力SN抵消掉一部分SM，而只有（吸引力）剩余的部分MN干扰面积与时间的正比关系和椭圆的轨道图形。再由相同的方法，如果吸引力SN比吸引力SM大，则轨道与摄动成正比关系也由吸引力差MN引起。在此，吸引力SN始终由于SM 而减弱为MN，第一个与第二个吸引力始终保持不变。所以，当MN为零或非常小时，即当物体P和T的加速吸引力尽可能趋近于相等时，即吸引力SN既不为零，也不比吸引力SM的最小值小，而是与吸引力SM的最大值和最小值的平均值相等，即既不远大于也不远小于吸引力SK之时，面积与时间最趋接近于正比关系，而轨道PAB也最趋近于上述椭圆。

情形2.令小物体P，S在不同平面上关于大物体T旋转。沿直线PT方向的力LM的在轨道PAB平面上的作用与上述相同，物体P不会脱离该轨道平面。但另一个力NM，沿ST的直线平行方向作用（因而，当物体S不在交点连线上时，倾向于轨道PAB的平面），除引起所谓纵向摆动之外，还产生另一种所谓横向摆动，物体P被吸引出其轨道平面。在任意给定物体P和T的互相位置情形下，这种摆动与产生它的力MN成正比；所以，当力MN最小时，即（如前述）当吸引力既不远大于也不远小于吸引力SK时，摆动最小。

推论Ⅰ.所以，易于推出，如果关于极大物体T旋转的几个小物体P、S、R，则当大物体与其他物体互相之间都受到吸引和推动（根据加速吸引力的比值）时，在最里面运动的物体 P受到的摆动最小。

推论Ⅱ.在三个物体T、P、S的系统中，如果其中任意二个指向第三个的加速吸引力与距离的平方成反比，则物体P以半径为PT关于物体T经过面积时，在会合点A及其对点B附近时比经过方照点C和D快。因为，每一种作用于物体P而不作用于物体T的力，都不沿直线PT方向，根据其方向与物体的运动方向相同或是相反，对它经过的面积加速或减速。这就是力NM。在物体由向A运动时，该力指向运动方向，对物体加速；在到达D时，与运动方向相反，对物体减速；然后直到运动到B，它与运动同一方向；最后由B到C时它又反向运动。

推论Ⅲ.由同一方法可知，在其他条件没有变化时，物p在会合点及其对点快于在方照点运动。

推论Ⅳ.在其他条件没有变化时，物体p的轨道在方照点弯曲度大于在会合点及其对点。因为物体运动速度加快，偏离直线路径越少。此外，在会合点及其对点，力KL，或NM的方向与物体T吸引物体P的力相反，因而使该力减小；而物体P受物体T 吸引越小使偏离直线路径。（图A 11-5）

推论Ⅴ.在其他条件没有变化时，物体P在方照点更远于在会合点及其对点距物体T。但是这仅在没有计算偏心率改变时才成立。因为当物体P的轨道是偏心的，当回归点在朔望点时，其偏心率（如将在推论Ⅸ中计算的）达到最大，因而可能会出现这种情况，当物体P的朔望点趋近其远回归点时，它到物体T的距离比在方照点的距离大。

推论Ⅵ.因为使物体P滞留在其轨道上的中心物体T的向心力，在方照点由于力LM的进入而逐渐增大，而在朔望点由于力KL减去而削弱，又因为力KL比LM大，因而削弱的比增强的多；而且，由于该向心力（由命题4推论Ⅱ）与半径TP成正比，与周期的平方变化成反比，所以容易推知力KL的作用使合力比值逐渐减小。因此设轨道半径PT没有改变，则增加周期，并与该向心力减小比值的平方根成正比；设增大或减小该半径则由命题4推论Ⅵ，周期以该半径的次幂增大或减小。如果该中心物体的吸引力不断减弱，被越来越弱地吸引的物体P将距中心物体T越来越远；反之，如果该力越强，它将距T越近。所以，如果使该力减弱的远物体S的作用由于旋转而引起增减，则半径TP也跟随增减；而随着远物体S的作用的增减，周期也随半径的比值的次幂，以及中心物体T的向心力的减弱就增强比值的平方根的复合比值而增减。（图A 11-6）

推论Ⅶ.由前面证明的还可以推出，所画椭圆的轴，或回归线的轴，随其角运动而交替前移或后移的物体P，只是前移多于后移，因此大体上直线运动是向前移的。因为，在方照点力MN失去，把物体P吸引向T的力由力LM和物体T吸引物体P的向心力复合而成。如果距离PT增加，第一个力LM趋近于以距离的相同比例增加，而另一个力则以与距离比值的平方成正比减少；因此两个力的和的减少比距离PT比值的平方小；因此由命题45推论Ⅰ，将使回归线，或者等价地，使上回归点向后移动。但力KL与物体T吸引物体P的力的差使在会合点及其对点使物体P倾向于物体T的力，而由于力KL极趋近于随距离PT的比值而增加，该力差的减少比距离PT比值的平方大；因此由命题45推论Ⅰ，使回归线向前移动。在朔望点和方照点之间的地方，回归线的运动由这两种因素的共同作用决定，因此它按两种作用中较强的一项的剩余值比例前移或后移。所以，由于在朔望点力KL几乎等于力LM在方照点的二倍，剩余在力KL一方，因而回归线向前移动。如果设想两个物体T和P的系统为若干物体S、S、S，等在各边所环绕，轨道ESE上分布，则本结论与前一推论便易于理解了，因为由于这些物体的作用，物体T在每一边的作用都减弱，其减少比距离比值的平方大。

推论Ⅷ.但是，由于回归点的直线或逆行运动取决于向心力的减小，即取决于在物体由下回归点移向上回归点过程中，该力比距离TP比值的平方大或者小；也取决于物体再次回到下回归点时向心力相似的增大。所以，当上回归点的力与下回归点的力的比值较之距离平方的反比值的差值最大时，该回归点的运动最大。容易理解，当回归点置于朔望点时，由于相减的力KL或NM-LM的原因，其向前移动比较快；而在方照点时，由于相加的力LM，其向后移动比较慢。因为前行速度或逆行速度持续时间很长，这种不等性就非常明显。

推论Ⅸ.如果一个物体受到与它到任意中心的距离的平方成反比的力的阻碍，在该中心做环绕运动；在它由上回归点向下回归点下落时，该力受到一个新的力的持续增大，且比距离减小比值的平方大，则该总是被吸引向中心的物体在该新的力的作用持续下，将比它单独受随距离减小的平方而减小的力的作用更倾向于中心，因而它画出的轨道比原先的椭圆轨道更靠内，而且在下回归点更趋近于中心。所以，新力作用持续下的轨道偏心更大。如果随着物体由下回归点向上回归点运动再与上述的力的增加的相同比值减小向心力，则物体回到原来的位置上；而如果力以比较大的比值减小，则物体受到的吸引力比原先要小，将迁移到比较大的距离，因而轨道的偏心率增大得更多。所以，如果向心力的比值增减在每一周中都增大，则偏心率也增大；相反，如果该比值减小，则偏心率也随之减小。

所以，在系统物体T、P、S中，当轨道PAB的回归点到达方照点时，上述增减比值具有最小值，而朔望点时具有最大值。如果回归点到达位于方照点，该比值在回归点附近比距离比值的平方小，而在朔望点比距离比值的平方大；而由该较大比值产生的回归线运动，正如上所述。但如果考虑上下回归点之间的整个比值增减，它还是比距离比值的平方小。下回归点的力比上回归点的力比上回归点到椭圆焦点的距离与下回归点到同一焦点的距离的比值的平方小，相反，当回归点到达朔望点时，下回归点的力比上回归点的力比上述距离比值的平方大。因为在方照点，力LM叠加在物体T的力上，复合力比值相对较小；而在朔望点，力KL减弱物体T的力，复合力比值相对较大。所以，在回归点之间运动的整个比值增减，在方照点出现最小，在朔望点出现最大；所以，回归点在由方照点向朔望点运动时，该比值一直增大，椭圆的偏心率也随之增大；而在由朔望点向方照点运动时，比值一直减小，偏心率也随之减小。

推论X.我们可以计算出纬度误差。设轨道EST的平面不动，由上述误差的原因可以得出，两个力NM、ML是误差的唯一和所有原因，其中力ML始终在轨道PAB平面内作用，不会对纬度方向的运动造成干扰；而力NM，当交会点到达朔望点时，同时作用于轨道的同一平面，此时也不会影响纬度运动。但当交会点在方照点时，它对纬度运动的干扰比较强烈，把其轨道平面内的物体持续吸引出；在物体由方照点向朔望点运动时，轨道平面的倾斜随它减小，而当物体由朔望点移动到方照点时，它又增加平面的倾斜。所以，当物体在朔望点时，轨道平面倾斜达到最小，而当物体到达下一个交会点时，它又恢复到趋近于原先的值。但如果物体到达方照点后的八分点（45°）即位于C和A、D和B之间，则由于刚才说明的原因，物体P由任一交会点向其后9分点移动时，平面倾斜逐渐减小；然后，在由下一个45°向下一个方照点移动时，倾斜又逐渐增加；其后，再由下一个45°度向交会点移动时，倾斜又减小。所以，倾斜的减小比增加多，因而在后一个交会点始终比前一个交会点小。由相同理由，当交会点到达A和D、B和C之间的另一个八分点时，平面倾斜的增加比减少多。所以，当交会点在朔望点时倾斜达到最大。在交会点由朔望点向方照点运动时，物体每次趋近交会点，倾斜都减小，当交会点到达方照点同时物体位于朔望点时倾斜达到最小值；然后它又以先减小的程度增加，当交会点到达下一个朔望点时回到原先值。（图A 11-7）

推论Ⅺ.因为当交会点到达方照点时，被逐渐吸引离开其轨道平面的物体P，又因为该吸引力在它由交会点C通过会合点A向交会点D运动时是指向S的，而在它由交会点D通过对应点B移向交会点C时，方向又相反，所以在离开交会点C的运动中，物体逐渐离开其原先的轨道平面CD，它一直到达下一个交会点，因而在该交会点上，由于它到原先平面CD距离是最远，它将不在该平面的另一个交会点D，而在距物体S相对比较近的一个点通过轨道EST的平面，该点即该交会点在其原先处所后的新处所。而由相同理由，物体由一个交会点向下一个交会点运动时，交会点也向后退移。因此，在方照点的交会点逐渐退移，而在朔望点无干扰纬度运动的因素，交会点不动；在这两种处所之间两种因素随之都有，交会点退移得比较慢。所以，交会点或是逆行，或是不动，始终后移，或者说，在环绕中每次都向后退移。

推论Ⅻ.在物体P、S的会合点，由于产生摆动的力NM、ML都比较大，上述的推论中描述的误差始终比对点的误差稍微大一点。

推论XIII.由于从前面的推论中误差和变化的原因和比例与物体S的大小没有关系，所以即使物体S大到使二物体P和T的系统环绕它运动上述情况也会发生。物体S的增大导致其向心力增大，导致物体P的运动误差增大，也使在相同距离上全部误差都增大，在这种情况下，误差要比物体S环绕物体P和T的系统运动的情形大。

推论XIV.但是，当物体S非常遥远时，力NM、ML极其趋近于与力SK以及PT与ST的比值成正比；即，如果都给定距离PT与物体S二者的绝对力，与ST3成反比；由于力NM、ML是上述各推论中全部误差和作用的原因；则如果物体T和P仍与前面保持相同，只变化距离ST和物体S的绝对力，全部这些作用都将非常趋近于与物体S的绝对力成正比，距离ST立方成反比。所以，如果物体P和T的系统围绕远物体S运动，则力NM、ML以及它们的作用，将（由命题4推论Ⅱ）与周期的平方成反比。因此，如果物体S的大小与其绝对力成正比，则力NM、ML及其作用，将与由T看远物体S的视在直径的立方成正比；反之亦然。因为这些比值与前面复合比值相等。

推论XV.如果轨道ESE、PAB保持其形状比例及相互间夹角不发生变化，只变化其大小，且物体S和T的力或者保持无任何变化，或者以给定任意比例变化，则这些力（即，物体T的力，它迫使物体P由直线运动进入轨道PAB，以及物体S的力，它使物体P偏离同一轨道）始终以同样的方式和同等比例起作用。因而，全部的作用都是相似而且是成比例的。这些作用的时间也是成比例的；即全部的直线误差都比例于轨道直径，角误差保持没有变化；而相似直线误差的时间，或相等的角误差的时间，与轨道周期成正比。

推论XVI.如果给定轨道图形和相互间夹角，而其大小、力以及物体的距离以随意方式改变，则我们可以由一种情况下的误差以及误差的时间极其相近地求出其他任何情况下的误差和 误差时间。这可以由如下方法更简单便捷地求出。力NM、ML与半径TP成正比，其他条件都不改变；这些力的周期作用（由引理10推论Ⅱ）与力以及物体P的周期的平方成正比。这才是物体P 的直线误差；而它们到中心T的角误差（即回归点与交会点的运动，以及全部视在经度和纬度误差）在每次环绕中都极其相近于与环绕时间的平方c令这些比值与推论堀中的比值相成正比，则在任意系统中的物体T、P、S、P在及其趋近处环绕T运动，而T在很远处环绕S运动，由中心T观察到的物体P 的角误差在P的每次环绕中都与物体P的周期的平方成正比，而与物体T的周期的平方成反比。所以回归点的平均直线运动与交会点的平均运动的比值给定；因而这两种运动都与物体P的周期成正比，与物体T的周期的平方成反比。增大或减小轨道PAB的偏心率和倾角对回归点和交会点的运动影响不明显，除非这种增大或减小确实为极大得数。

推论XVII.由于直线LM有时比半径PT大于，或者小于，令半径PT来表示LM的平均量，则该平均力比平均力SK或SN（它也可以由ST来表示）与长度PT比长度ST相等。如果使物体T保持其环绕S的轨道上的平均力SN或ST与使物体P维持在其环绕T的力的比值，与半径ST与半径PT的比值相等，与物体P环绕T的周期的平方与物体T环绕S的周期的平方的比值的复合。因此，平均力LM比使物体P保持在其环绕T的轨道上的力（或使同一物体P在距离PT处关于不动点T作相同周期运动的力）与周期的平方比值相等。因而给定周期，同时也给定距离PT、平均力LM；而给定这个力，则由直线PT和MN的对比也可极其接近地求出力MN。

推论XWIII.利用物体P环绕物体T的同样规律，设许多流动物体在相同距离处环绕物体T运动，它们的数目非常多，以至于从头到尾都有，形成圆形流体圈，或圆环，其物体T为中心；这个环的各个部分在与物体P同样的规律作用下，在距物体T非常近处运动，并在它们自己以及物体S的会合点及其对点运动相对比较快，而在方照点运动相对比较慢。该环的交会点或它与物体S或T的轨道平面的交点在朔望点呈现静止状态；但在朔望点以外，它们将退行，或逆行方向运动，在方照点时速度达到最大，而在其他处所相对比较慢。该环的倾角也发生变化，每次环绕中它的轴都摆动，环绕结束时轴又回到开始的位置，唯有交会点的误差使它作稍微转动。

推论XIX.设包含若干非流体的球体T，被逐渐扩张其边缘延伸到前面所述环处，沿球体边缘开挖一条注满水的沟道；该球绕其自身的轴以同样周期做匀速转动。则水被交替地加速或减速（如前一个推论那样），在朔望点速度相对比较快，方照点相对比较慢，在沟道中像大海一样形成退潮和涨潮。如果物体S的吸引被撤去，则水流没有潮涌和潮落，只沿球的中心静止环流。球做匀速直线运动，同时绕其中心转动时与这种情况相同（由运动定律推论Ⅴ），而球受直线力均匀吸引时也与这种情况相同（由运动定律推论Ⅵ）c但当物体S对它有作用时，由于吸引力发生变化，水获得新的运动；距该物体相对比较近的水受到的吸引相对比较强，而相对比较远的吸引相对比较弱。力LM在方照点把水向下吸引，并一直持续到朔望点；而力KL在朔望点向上吸引水，并一直保持到方照点；在此，水的涌落运动受到沟道方向的导引，以及稍微地摩擦除外。

推论XX.设圆环变硬，缩小球体，则水的涌落运动停止；但环面的倾斜运动和交会点岁差没有变化。令球与环共轴，且旋转相同时间，球面接触环的内侧并连接成整体，则球参与环的运动，而整体的摆动，交会点的退移如同我们所描述的，与所有作用的影响完全相同。当交会点位于朔望点加入一项运动。球使该运动得以保持，直至环引人相反的作用抵消这一运动，并入相反方向的新的时，环面倾角达到最大值。在交会点向方照点移动时，其影响使倾角逐渐减小，并在整个球运动中运动。这样，当交会点到达方照点时，使倾角减小的运动达到最大值，在该方照点后八分点处倾角有最小值；当交会点到达朔望点时，倾斜运动有最大值，在其后的八分点处斜角最大。对于球没有环，如果它的赤道地区比极地地区稍高或稍密一些，则情形与此相同，因为赤道附近多出的物体代替了环的地位。虽然我们可以设球的向心力随意增大，使其所有部分像地球上各部分一样竖直向下指向中心，但这一现象与前面各推论却少有变化；只是水位最高和最低处不相同；因为这时水不再靠向心力保持在其轨道内，而是靠它所沿着流动的沟道保持。此外，在方照点力LM吸引水向下最强，而在朔望点力KL或NM-LM吸引水向上最强。这些力的共同作用使水在朔望点之前的八分点不会受到向下的吸引，而改变为受到向上吸引；而在该朔望点之后的八分点不会受到向上的吸引，而改变为向下的吸引。因此，水的最大高度大约发生在朔望点后的八分点，其最低高度大约发生在方照点之后的八分点；只是这些力对水面上升或下降的影响可能由于水的惯性，或沟道的阻碍而稍微推迟。

推论Ⅻ.由上述相同的理由，球上赤道地区的过剩物质使交会点退后移，因此这种物质的增多导致逆行运动增大，而减少导致逆行运动减慢，除去这种物质则逆行停止。因此，如果除去较过剩者更多的物质，即如果球的赤道地区比极地地区凹陷，或物质稀薄，则交会点将前移。

推论XXII.所以，由交会点的运动可以计算出球的结构。如果球的极地没有变化，其（交会点的）运动逆行，则其赤道附近物体比较多；如果该运动是前行的，则物质比较少。设一均匀而准确的球体开始时在自由空间中静止，由于某种侧面叠加于其表面的推斥力使其获得部分转动和部分直线运动。由于该球相对于其通过中心的所有轴是全部一样的，对一个方向的轴比对另一任意轴的偏向性不是特别大，则球自身的力肯定不改变球的转轴，或改变转轴的倾角。此时设该球如前面所描述的那样在其表面一样部分又受到一个新的推斥力的斜向作用，由于推斥力的作用不因其到来的先后而有所变化，则这两次先后到来的推斥力冲击所产生的运动与它们同时到达效果一样，即与球受到由这二者复合而成的单个力的作用而产生的运动一样（由运动定律推论 Ⅱ），即产生一个给定的关于倾角的轴的转动。如果第二次推斥力作用于第一次运动的赤道上任意其他处所，情况与此一样，而第一次推斥力作用在由第二次作用所产生的运动的赤道上的任何一点上的情况也与此全部一样；所以二次推斥力作用于任何处的效果都是一样的，因为它们产生的旋转运动与它们同时共同作用于由这两次冲击分别单独作用所产生的运动的赤道的交点上所产生的运动一样。所以，均匀而完美的球体并不存留几种不同的运动，而是将全部这种运动加以复合，化简为简单的运动，并始终尽其可能地绕一根给定的轴作单向匀速转动，轴的倾角始终保持没有变化。向心力不会使轴的倾角变化，或转动的速度。因为如果设球被通过其中心的任何平面分为两个半球，向心力指向该中心，则该力始终与这两个半球作用始终相同，所以不会使球关于其自身的轴的转动有任何倾向。但如果在该球的赤道和极地之间某处添加一堆像山峰一样的物质，则该堆物质通过其脱离运动中心的继续作用，对球体的运动行成干扰，并使其极点在球面上游荡，关于其自身以及其对点运动画出圆形，极点的这种巨大偏移运动没有办法更正，除非把此山移到二极之一。在这种情况中，由推论ⅩⅪ，赤道的交会点顺行；或移至赤道地区，这种情形中，由推论ⅩⅩ，交会点逆行；或者最后一种方法，在轴的另一边加在另一座新的物质山堆，使其运动得到平衡；这样，交会点或是顺行，或是逆行，都要由山与新增的物质是趋近于极地还是趋近于赤道来影响。

命题67定理27

在相同的吸引力规律下，较外的物体S，以它伸向较内的物体P与T的公共重心点O的半径环绕该重心运动，比它以伸向最里面最重的物体T的半径环绕该物体T的运动，所掠过的面积更近于正比于时间，画出的轨道更近于以该重心为焦点的椭圆。（图A 11-8）

因为其绝对吸引力由物体S指向T和P的吸引力复合而成，它更趋近于指向物体T和P的公共重心O，而不是最大的物体T；它趋近于与距离SO的平方成反比，而不是距离ST的平方；这稍微考虑一下就可以明白。

命题68定理28

在相同的吸引力规律下，如果最里面最大的物体像其他物体一样也受到该吸引力的推动，而不是处于静止，完全不受吸引力作用，或者，不是被或是极强或是极弱地吸引而极强或是极弱地被推动，则最外面的物体S，以其伸向较内的物体P和T的公共重心的半径，关于该重心所掠过的面积更近于正比于时间，其轨道也更近于以该重心为焦点的椭圆。（图A 11-9）

该定理可以用与命题66相同的方法证明，但由于它比较长而且比较烦琐，我就此省略了。不过可以用一些简单方便的方法来考虑。由前一命题的证明容易推出，物体S受到两个力的共同作用而倾向的中心，极其趋近于另两个物体的公共重心，如果该中心与该公共重心重合，而且这三个物体的公共重心都是静止的，物体S其一侧，而那两个物体的公共重心置于其另一侧，都将围绕该静止公共重心画出真正的椭圆。这可以由命题58推论Ⅱ、比较命题64和65的证明推出。此时这一准确的椭圆运动受到二个物体的重心到使第三个物体S 被吸引的中心的距离的干扰非常小，而且还要加上三个物体公共重心的运动，摆动增加的更多。所以，当三个物体的公共重心静止时，即当最里面、最大的物体T受到与其他物体的吸引力一样作用时，摆动最小；当三个物体的公共重心，由于减小物体T的运动而开始运动，并越来越强烈时，随之摆动达到最大。

推论.如果很多小物体绕大物体旋转，易于求出，如果所有物体都受到与其绝对力成正比，与距离平方的加速力的相互吸引和推动成反比，如果每个轨道的焦点都置于全部比较靠里面物体的公共重心上（即，如果第一个和最靠里面的轨道的焦点置于最大和最里面物体的重心上；第二个轨道的焦点置于最里面二个物体的公共重心上，第三个轨道的焦点置于最里面的三个物体的公共重心上，可以依次推出），而不是最里面的物体处于静止，而且是全部轨道的公共焦点，则轨道趋近于椭圆，生成比较均匀的面积。

命题69定理29

在若干物体A、B、C、D，等的系统中，如果其中一个，如A，吸引所有其他物体B、C、D，等，加速力反比于到吸引物体距离的平方；而另一个物体，如B，也吸引所有其他物体A、C、D，等，加速力也反比于到吸引物体的距离的平方；则吸引物体A和B的绝对力相互间的比就等于这些力所属的物体A和B的比。

因为，由假设知，指向物体A的加速吸引力的所有物体B、C、D在距离一样时相等，由相同方法知全部物体指向B的加速吸引力在距离同一处也相等。而物体A的绝对吸引力比物体B的绝对吸引力与全部物体指向物体A的绝对吸引力比在相同距离处全部物体指向物体B的绝对吸引力相等；物体B 指向物体A的吸引力与物体A指向物体B的加速吸引力也相等。但是，物体B指向物体A的加速吸引力比物体A指向物体B的加速吸引力与物体A的质量比物体B的质量相等；因为运动力（由第二，第七和第八定义）与加速力乘以被吸引的物体成正比，且由第三定律互相之间是相等的。所以物体A的绝对加速力比物体B的绝对加速力与物体A的质量比物体B 的质量相等。

推论Ⅰ.如果系统A、B、C、D中的每一个物体都各自与它到吸引物体的距离的平方的加速力成反比吸引其他物体，则所有这些物体的绝对力之间的比与它们自身的比相对。

推论Ⅱ.由类似理由，如果系统A、B、C、D中的每一个物体都各自吸引其他物体，其加速力与它到吸引物体的任意次幂成反比或是正比；或者，该力按某种相同规律由它到吸引物体间的距离因素来影响；则容易得知这些物体的绝对力与物体自身成正比。

推论Ⅲ.在一系统中力与距离的平方成正比而减少，如果小物体沿椭圆绕一个极大物体运动，它们的公共焦点置于极大物体的中心，椭圆形状极为准确；而且，伸向该极大物体的半径准确地与时间掠过半径成正比；则这些物体的绝对力相互间的比，或是准确地或是趋近于与物体的比相等，相反可知。这可以由命题68的推论与本命题的第一个推论比较可以得证。

附 注

由这些命题方便使我们求出向心力与这种力通常所指向的中心物体之间相同之处；因为有理由认为被指向物体的向心力应由这些物体的性质和量来影响，如我们在磁体实验中所见到的那样。当发生这种情况时，我们可以通过给予它们中每一个以适当的力来计算物体的吸引，再求出它们的总和。我在此使用吸引一词是广义的，指物体所造成的相互趋近的一切意图，不论这意图来自物体自身的作用，由于发射精气而互相靠近或推移；或来自以太，或空气，或任意媒介的互相作用，不论这媒介是物质的还是非物质的，以任何方式促使处于其中的物体互相靠近。我使用推斥一词同样是广义的，在本书中我并不想定义这些力的类别或物理属性，而只想研究这些力的量与数学关系，一如我们从前在定义中所声明的那样。在数学中，我们研究力的量以及它们在任何设定条件下的相互关系，而在物理学中，则要把这些关系与自然现象做比较，以便了解这些力在哪些条件下对应着吸引物体的哪些类型。做完这些准备工作之后，我们就更有把握去讨论力的本质、原因和关系。刺客，让我们再来研究用哪些力可以使由具有吸引能力的部分组成的球体必定按上述方式互相作用，以及因此会产生哪些类型的运动。

第12章：球体的吸引力

命题70定理30

如果指向球面每一点的相等的向心力随到这些点的距离的平方减小，则该球面内的小球将不会受到这些向心力的吸引。（图A 12-1）

令球面为HIKL，球面内的小球是P。通过P向球面作条直线HK、IL，截取特别短的弧长HI、KL；因为（由引理7推论Ⅲ）三角形HPI相似于LPK，这些弧与距离HP、LP成正比；落在由通过P的直线在球面上所规定的弧HI和KL之内的那些粒子，与这些距离的平方成正比。所以这些粒子作用于物体P上的力互相之间有相等关系。因为力与粒子成正比，与距离的平方成反比。这两个比值复合成相等的比值1∶1。所以具有相等的吸引，但作用于不同的方向上，相互抵消。由相同的理由，整个球面产生的吸引因为反向吸引而全都抵消。所以物体P不受这些吸引力的作用。

命题71定理31

在相同条件下，球面外小球受到的指向球面中心的吸引力反比于它到该中心距离的平方。（图A 12-2）

令关于中心S、s的两个相等的球面为AHKB，ahkb，AB，ab为它们的直径；令二球面外直径延长线上的小球为P。由小球作直线PHK、PIL、phk、pil，在大圆AHB、ahb上截取相等弧长HK、hk、IL、ih并作这些直线的垂线SD、sd、SE、se、IR、irl。其中SD、sd与PL、pl交于F和f再在直径上做垂线IQ、iq。此时令角DPE、dpe消失；因为DS等于ds，ES等于es，所以可以取直线PE、PF等于pe、pf，以及短线段DF等于df；因为当角DPE、dpe同时消失时，它们的比值是相等的比值。由此可得，PI∶PF＝RI∶DF，以及 pf∶pi＝df或DF∶ri，将对应项相乘，PI∶pf∶PF∶pi＝RI∶ri＝弧IH∶弧ih（由引理Ⅶ推论Ⅲ）。

又，PI∶PS＝IQ∶SE

以及 ps∶p ＝se或SE∶iq o

因而， PI×ps∶PS×pi＝IQ∶iq。

将其对应项与前面相似的比例式相乘：

PI2×pf×ps∶pi2×PF×PS＝HI×IQ∶ih×iq

即当半圆AKB关于其直径AB旋转时弧IH所经过的环面相等，与当半圆成akb关于其直径ab旋转时弧ih所经过的环面相等。而由假设条件知，使这些环面沿指向它们的方向吸引小球P 和p的力与环面自身成正比，与环面到小球的距离的平方成反比；即与pf×ps比PF×PS相等。另外，这些力与其沿直线PS、ps指向球心的斜向部分（由像定律推论Ⅱ中那样力的分角得到）的比，与PI比PQ，以及pi比pq相等；即（由于三角形PIQ相似于三角形PSF， 以及pig相似于psf）与PS比PF以及ps比pf相等；所以，吸引小球P指向S的吸引力比吸引小球p指向s的力，与比相等。而且，由相同理由ps2比PS2。而且，由相同理由，弧KL，kl旋转生成的环面吸引小球的力的比也与ps2比PS2相等。在球面上，只要取sd与SD，se与SE相等，则所分割的环面对小球的吸引力的比始终有相等的比值。所以，把它们再结合起来，整个球面作用于小球的力的比也有相等比值。

命题72定理32

如果指向球上若干点的相等的向心力随其到这些点的距离的平方而减小，而且球的密度以及球直径与小球到球中心的比值为给定值，则使小球被吸引的力正比于球半径。

因为，假设两个力分别吸引两个小球，一个吸引一个，另一个吸引另一个，且它们到球心的距离分别与球的直径成正比，则球可以分解为与小球所在位置相对应的类似粒子。一个小球对球各类似粒子的吸引比其他小球对其他球同样多的类似粒子的吸引，与正比于各部分间的比值与反比于距离平方的比值的复合比相等。各粒子与球成正比，即与直径的立方成正比，而距离与直径成正比，所以第一个比值与后一个比值的二次反比成正比，变成直径与直径的比值。

推论Ⅰ.如果多个小球绕由相同且相等的吸引的物质组成的球做圆周运动，且到球中心的距离与它们的直径成正比，则环绕周期相等。

推论Ⅱ.相反，如果周期相等，则距离与直径成正比。这两个推论可以由命题4推论Ⅲ得以证明。

推论Ⅲ.如果形状相似密度相等的两个物体，其上各点的相等的向心力随到这些点的距离的平方而越来越小，则使处于相对于两个物体类似位置上的小球受吸引的力之间的比，与物体的直径的比相等。

命题73定理33

如果已知球上各点相等的向心力随到这些点的距离的平方而减小，则球内小球受到的吸引力正比于它到中心的距离。（图A 12-3）

在球的ACBD中以S为中心，引入一小球P；关于同一中心S，以半径为间隔SP作一内圆PE-QF。容易得知（由命题70）共用一个球心组成的球面差AEBF对于其上的物体P没有任何作用，吸引力被相反吸引所抵消。所以只剩下内球PEQF的吸引力，而（命题72）该吸引力与距离PS成正比。

附注

我在这儿假设的构成固体的表面，并不是纯数学面，而是特别薄的壳体，其厚度基本上为零；即当壳体的数目不断增加时，最后构成球的新生壳体的厚度无限减小。相同地，构成线、面和体的点也可以看作一些相同且相等的粒子，其大小也是完全不可想象的。

命题74定理34

在相同条件下，球外的小球受到的吸引力反比于它到球心的距离的平方。

设该球被分割为数不清的共心球面，各球面对小球的吸引（由命题71）与小球到球心的距离的平方成反比。通过求和，这些吸引力的和，即整个球对小球的吸引力，也与相同比值相等。

推论Ⅰ.在相同距离处均匀球的吸引力的比与球自身的比相等。因为（由命题72）如果距离与球的直径成正比，则力的比与直径的比相等。令较大的距离以该比值逐渐减小，使距离相等，则吸引力以该比值的平方逐渐增大；所以它与其他吸引力的比与该比值的立方相等，即与球的比值相等。

推论Ⅱ.在任意距离处吸引力与球成正比，与距离的平方成反比。

推论Ⅲ.如果小球位于均匀球外受到的吸引力与它到球心距离的平方成反比，而吸引粒子组成球，随着小球到每个粒子的距离的平方减小，则每个粒子的力将减小。

命题75定理35

如果加在已知球上的各点的向心力随到这些点的距离的平方而减小，则另一个相似的球也受到它的吸引，该力反比于二球心距离的平方。

因为每个粒子的吸引与它到吸引球的中心的距离的平方成反比（由命题74），因而该吸引力好像出自一个位于该球心的小球。另一方面，该吸引力的大小与该小球自身所受到的吸引相等，好像它受到被吸引球上各粒子以等与它吸引它们相等的力吸引它一样。而小球的吸引（由命题74）与它到被吸引球的中心的距离的平方成反比；所以，与之相同且相等的球的吸引的比值相等。

推论Ⅰ.球对其他均匀球的吸引与吸引的球除以它们的中心到被他们吸引的球心距离的平方成正比。

推论Ⅱ.被吸引的球也能吸引时情况一样时。因为一个球上若干点吸引另一个球上若干点的力，与它们被后者吸引的力相等；由于在全部吸引作用中（由第三定律），被吸引的与吸引的点二者相等作用，吸引力由于它们互相之间的作用而加倍，而其比例始终没有变化。

推论Ⅲ.在关于物体由于圆锥曲线的焦点运动时，如果吸引的球位于焦点，物体在球外运动，则上述诸结论均可成立。

推论Ⅳ.如果在球内发生环绕运动，则只有物体绕圆锥曲线的中心运动才满足上述结论。

命题76定理36

如果若干球体（就其物质密度和吸引力而言）相互间由其中心到表面的同类比值完全不相似，但各球在其到中心给定距离处是相似的，而且各点的吸引力随其到被吸引物体的距离的平方而减小，则这些球体中的一个吸引其他球体的全部的力反比于球心距离的平方。（图A 12-4）

设若干同心球AB，CD，EF具有相似性，等等，其中最里面的一个加上最外面的一个所包含的物质其密度比球心大，或者减去球心处密度后余下相同稀薄的物质。则由命题75，这些球体将吸引其他具有相似性的同心球GH、IK、LM等，其中每一个对其他一个的吸引力与距离SP的平方成反比。结合相加或相减方法，全部这些力的总和，或者其中之一与其他的差，即整个球体AB（包括全部其他同心球或它们的差）的合力吸引整个球体GH（包括所有其他同心球或它们的差）也与相同比值相等。令同心球数目无休止的增加，使物质密度同时使吸引力在沿由球面到球心的方向上按任意给定规律增减；并通过增加无吸引作用的物质补足不足的密度，使球体获得所下午得到的任意形状；而由前面的理由可知，其中之一吸引其他球体的力同样与距离的平方成反比。

推论Ⅰ.如果有特别多的类似的球，在所有方面相似，互相之间吸引，则每个球体对其他一个球体的加速吸引作用，在任意相等的中心距离处，都与吸引球体成正比。

推论Ⅱ.在任意不相等的距离处，与吸引球体除以二球心距离的平方成正比。

推论Ⅲ.一个球相对于另一个球的运动吸引，或二者间的相对重量，在相同的球心距离处，共同与吸引的与被吸引的球成正比，即与这两个球的乘积成正比。

推论Ⅳ.在不同的距离处，与该乘积成正比，与二球心距离的平方成反比。

推论Ⅴ.如果吸引作用由二个球互相作用产生，上述比例式仍然成立。因为两个力的互相作用仅使吸引作用加倍，比例式保持无变化。

推论Ⅵ.如果这样的球绕其他静止的球转动，每个球绕另一个球转动，而且静止球与运动球心的距离与静止球的直径成正比，则环绕周期相同且相等。

推论Ⅶ.如果周期相同，则距离与直径成正比。

推论Ⅷ.在绕圆锥曲线焦点的运动中，如果具备上述条件和形状的吸引球位于焦点上，上述仍可结论成立。

推论IX.如果具备上述条件的运动球也能吸引，结论仍然成立。

命题77定理37

如果球心各点的向心力正比于这些点到被吸引物体的距离，则两个相互吸引的球的复合力正比于二球心间的距离。（图A 12-5）

情形1.令一个球体为AEBF，其中心是S，被它吸引的小球是P，球体通过小球中心的轴为PASB；分割球体的二个平面是EF、ef，并与该轴垂直，而且在球的两边到球心的距离相等；二平面与轴的交点是G和g；平面EF上任意一点是H。点H沿直线PH方向作用于小球P的向心力与距离PH成正比；而（由运动定律推论Ⅱ）沿直线PG方向或指向球心S的力，也与长度PG成正比。所以，平面EF上全部的点（即整个平面）向中心S吸引小球P的力与距离PG乘以这些点的数目成正比，即与由平面EF和距离PG构成的立方体成正比。由类似方法，使小球P被吸引向球心S的平面的力，于该平面乘以其距离Pg成正比，或与相等平面EF乘以距离Pg成正比；这两个平面的力的和与平面FF乘以距离的和PG+Pg成正比，即与该平面乘以中心到小球距离PS的二倍成正比；即与平面EF的二倍乘以球心到小球距离PS成正比，或与相等平面。EF+ef乘以相同距离成正比，而由类似理由，整个球体上球心两边到球心距离相同的全部平面的力，都与这些平面的和乘以距离PS成正比，即与整个球体与距离PS的乘积成正比。

情形2.设小球P也吸引球体AEBF。由同等理由可知，则使球体被吸引的力也与距离PSo成正比。

情形3.设另一球体包含无数小球P。因为使每个小球被吸引的力与小球到第一个球心的距离成正比，同样也与第一个球成正比，因而这个力如同是从一个位于球心的小球所发出的一样，则使第二个球体中全部小球被吸引的力，即整个第二个球被吸引的力，也好像是受到位于第一个球心的小球所发生的吸引力一样；所以与两个球心之间的距离成正比。

情形4.令两球相互吸引，则吸引力加倍，但比例不变。（图A 12-6）

情形5.令小球P置于球体AEBF内，因为平面炉作用于小球的力与该平面与距离pq所围成的立方体成正比；而平面EF的相反的力与它与距离PG所围成的立方体成正比；二者的复合力与两个立方体的差成正比，即与两个相等平面的和乘以距离的差的一半成正比；即与该和乘以pS，小球到球心的距离成正比。而且，由相似理由，通过整个球体的全部平面EF、ef的吸引力，即整个球体的吸引力，与全部平面的和成正比，或与整个球体成正比，也与pS成正比，小球到球体中心的距离。

情形6.如果由数不清的小球p组成的新球体位于第一个球体AEBF之内，可以证明，与前述相同，不论是一个球体吸引另一个，或是二者相互吸引，吸引力都于二球心的距离力pS成正比。

命题78定理38

设有二球体，由球心到球面方向上既不相似也不相筝，但到中心相等距离处均相似；而且每个点的吸引力正比于到被吸引物体的距离，则使两个这样的球体相互吸引的全部的力正比于二球心之间的距离。

这可以由前一个命题得以证明，与命题76可由命题75得以证明一样。

推论.之前在命题10和64中所证明的物体绕圆锥曲线运动的结论，当吸引作用来自具备上述条件的球体的力，以及被吸引物体也是同类球体时，结论均都成立。

附 注

到此我已经解释了吸引的两种基本情况；即当向心力随距离的比的平方而减小，或随距离的相同比值而增大，使物体在这两种情框下都沿圆锥曲线转动，并结合成球体，其向心力按相同定律随其到球心的距离而增减，一如球体内各部分那样；这一点非常重要。至于其他情况，其结论有所欠妥，如果把它们像上述情况一样详加论述则有些烦琐。以下我可以用一种简单的方法对它们作大体上的解释和求解。

引理29

如果围绕中心S画一任意圆周AEB，又绕中心P也画两个圆周EF和ef，并与第一个圆相交于E和e，与直线PS相交于F和f；再PS上做垂线ED、de，则如果弧长EF、ef的距离无限减小，趋于零的线段Dd与趋于零的线段Ef的最后比值等于线段PE比线段PS。（图A 12-7）

如果直线Pe与弧EF相交于q；而直线Ee与接近零的弧 Ee重合，并延长与直线PS相交于T；再由S向PE作垂线 SG，则，因为三角形DTE相似于三角形dTe相似于三角形DES，

Dd∶Ee＝DT∶TE＝DE∶ES；

又因为三角形Eeq相似于三角形ESG（由引理8，和引理7推论Ⅲ），

Ee∶eq或Ff＝Es∶SG。

将两比例式对应项相乘，

Dd∶Ff＝DE∶SG＝PE∶PS

（因为三角形PDE相似于三角形PGS）。

命题79定理39

设一表面EFfe的宽度无限缩小，并刚好消失；而同一个表面绕轴PS转动产生一个球状凹凸形体，其各部分受到相等的向心力，则形体吸引位于P的小球的力，等于立方体DE2×Ff的比值与使位于Ff处给定部分吸引同一个小球的力的比值的复合比值。（图A 12-8）

首先考虑弧FE旋转而成的球面EF的力，该弧在某处，比如直线de分割r，这样，弧rE旋转而成的面的圆环部分将与短线Dd成比例，而球体的半径PE保持不发生改变；如同阿基米德在他的著作《论球体和柱体》中所证明的那样。整个圆锥体表面上分布直线PE 或Pr，圆环面的力沿着直线PE或Pr 的方向，与该圆环本身成比例；即，与短线Dd成正比，或者相同地，与球体的已知半径PE与短线段Dd的乘积成正比；但该力沿直线PS方向指向球心S，比PD与PE的比值小，所以与PD×Dd成正比。此时，设线段DF被分割成无数个相等的粒子，每个粒子都以表示，则表面FE也被分割成相同的多个圆环；它们的力与所有乘积PD×Dd的总和成正比，即与PF2–PD2成正比，所以与DE2成正比。再将表面FE乘以高度Ff；则立体EFfe作用于小球P的力与DE2×Ff成正比；即如果已知这个力，其上任意给定的粒子Ff在距离PF处作用于小球P 的力。而如果未知这个力，则立体EF先知的力将与立体 DE2×Ff乘以该未知力成正比。

命题80定理40

如果以S为中心的球体ABE上若干相等部分都受到相等的向心力作用；而且在球AB的直径上置一小球，并在直任上取若干点D，在其上做垂线DE与球体相交于E，如果在这些垂线上取长度DN正比于，同时也正比于球体内位于轴上的一粒子在距离PE处作用于小球的力，则使小球被吸引向球体的全部力正比于球体AB的轴与点N的轨迹曲线ANB所围成的面积ANB。（图A 12-9）

设上述引理和定理的作图成立，把球体AB的轴分割为无数相等粒子Dd，则整个球体分为同样多的凹凸圆片EFfe；作垂线dn。由上述定理，圆片EFfe吸引小球P的力与DE2×Ff与一个粒子在距离EP或PF处作用于小球的力的乘积成正比。但（由上述引理）Dd比Ff与PE比PS相等，所以Ff与相等，而DE2×Ff与相等，所以圆片EFfe的力与Dd×与一个粒子在距离PF处的作用力的乘积成正比，即由命题可知，与DN×Dd成正比，或与接近零的面积DNnd成正比。所以，全部圆片作用于小球的总力与全部面积DNnd成正比，即整个球的力与整个面积ANB成正比。

推论Ⅰ.如果指向若干粒子的向心力在全部距离上都相等，而且DN与成正比，则球体吸引小球的所有力与面积ANB成正比。

推论Ⅱ.如果各粒子的向心力与它到被吸引小球的距离成反比，而且DN与成正比，则整个球体对小球P的吸引力与面积ANB成正比。

推论Ⅲ.如果各粒子的向心力与被它吸引的小球的距离的立方成反比，而且DN与成正比，则整个球体对小球的吸引力与面积ANB成正比。

推论Ⅳ.一般地，如果指向球体若干粒子的向心力与量V成反比，并且DN与成正比，则整个球体吸引小球的力与面积ANB成正比。

命题81问题41

在上述条件下，求面积ANB。（图A 12-10）

由点P作直线PH与球体相切于H；在轴PAB上做垂线HI，在L二等分PI；则（由欧几里得《原本》第二卷命题12）PE2与PS2+SE2+2PS×SD相等。但因为三角形SPH相似于三角形SHI、SE2或SH2与乘积PS×IS相等。所以，PE2与PS与PS+SI+2SD的乘积相等，即PS与2LS+2SD的乘积，也即PS与2LD的乘积。而且，DE2与SE2–SD2相等，或与SE2–LS2+2LS×LD–LD2相等，即2LS×LD–LD2–LA×LB。

由于LS2–SE2或LS2–SA2（由欧几里得《原本》第二卷命题6）等于乘积LA×LB。所以，把DE2以2LS×LD–LD2–LA×LB代替，则与长度DN（由前一命题推论Ⅳ）的量成正比，可以分解为三部分––。

如果以向心力的反比值代替V，以PS与2LD的比例中项代替PE，则这三部分即变成同样多的曲线的纵坐标，曲线的面积可由普通方法求出。

例1：在如果指向球体各粒子的向心力与距离成反比，以距离PE代替V，2PS×LD代替PE2；则DN与SL–LD–成正比，设DN与其二倍2SL–LD–相等；则纵坐标的已知部分2SL与长度AB构成长方形面积2SL×AB；其不确定部分LD以连续运动垂直通过同一长度，并在其运动中通过增减其一边或另一边的长度使之始终与长度LD，做出面积相等，即面积SL×AB；它被之前一个面积2SL×AB中减去后，余下面积SL×AB。但用相同方法垂直地连续通过同一长度的第三部分，将画出一个双曲线的面积，从面积SL×AB中减去它后就余下要求的面积ANB。由此得到本问题的作图法（图A 12-11）。在点L、A、B作垂线Ll、Aa、Bb；使Aa与LB相等，Bb与LA相等。以渐近线为Ll和LB，通过点a、b作双曲线作弦线也，则所围的面积aba就是要求的面积ANB。

例2：如果指向球体各粒子的向心力与距离的立方成反比，或（是同一回事）与该立方除以一个任意给定平面成正比；以代替V，以2Ps×LD代替PE2；则DN与––成正比。即因为PS、AS、SI连续与–SI–成正比，将这三部分通过长度AB，第一部分产生双曲线的面积；第二部分SI产生面积AB×SI；第三部分产生面积–，即AB×SI。从第一个面积中减去第二个和第三个面积的和，则余下的即是要求的面积ANB。由此得本问题的作图法（图A 12-12）。在点L、A、S、B，作垂线Ll、Aa、Ss、Bb，其中设Ss与SI相等；通过点一以渐近线为Ll、LB作双曲线asb与垂线Aa、Bb相交于a和b；从双曲线面积AasbB中减去面积2SA×SI，即得到要求的面积ANB。

例3：（图A 12-12）如果指向球体各粒子的向心力随其到各粒子的距离的四次方而减小；以代替V，以代替PE，则DN与×– × – ×成正比。将这三部分通过长度AB，产生以下三个面积：产生（×），产生；产生(–)。经过化简后得到；SI2，和SI3+。从第一项中减去后二项，得到。所以小球所受到的指向球体中心的总力与成正比，即与PS3×PI成反比。

运用相同方法可以求出位于球体内小球受到的吸引力，但采用下述定理将更为简单方便。

命题82定理42

一个以S为心以SA为半径的球体，如果取SI、SA、SP为连续正比项，则位于球体内任意位置I的小球所受到的吸引力，与位于球体外P处的所受到力的比，等于两者到球心的距离IS、PS的比值的平方根，与在这二处P和I指向球心的向心力的比值的平方根的复合比。（图A 12-13）

如果球体各粒子的向心力与被它们吸引的小球的距离成反比，则整个球体吸引位于I处小球的力，比它吸引位于P处小球的力，与距离SI与距离SP的比值的平方根相等，以及位于球心的任何粒子在I处产生的向心力与同一粒子在P处产生的向心力的比值二者的复合比。即与距离SI、SP相互间比值的平方根成反比。这二个比值的平方根复合成相等比值，所以整个球体在I与在P处产生相等的吸引。由相同计算可知，如果球上各粒子的力与距离的平方成反比，则可以发现I处的吸引力比P 处的吸引力与距离SP比球体半径SA相等。如果这些力与距离比值的立方成反比，在I和P处吸引力的比将与SP2比SA2相等；如果与比值的四次方成反比，则与SP3比SA3相等。所以，由于在最后一种情形中P处的吸引力与PS2×PI成反比，在I处的吸引力将与SA3×PI成反比，即因为给定SA3，与PI成反比。用同样的方法可依次类推至于无限。该定理的证明如下：

保留上述作图，一个小球在任意处所P，其纵坐标DN与成正比。所以，如果画出IE，则任意其他处所的小球，如I处，其纵坐标（其他条件不改变的情况下）与成正比。设由球体任意点E发出的向心力在距离IE和PE处的比为PEn比 IEn（在此，数值n表示PE与IE的幂次），则这些纵坐标变为和，互相之间的比值为PS×IE×IE n比IS×PE×PEno因为SI、SE、SP是连续成正比的，三角形SPE相似于三角形SEI；因而IE比PE与IS比SE或SA相等。以IS与SA的比值代替IE与PE的比值，则纵坐标比值变为PS×IEn与SA×PEn的比值。但PS与SA的比值与距离PS与SI的比值的平方根相等，而IEn与PEn的比值（因为IE比PE与IS比SA相等）与在距离PS、IS处引力的比值的平方根相等。所以，纵坐标，进而纵坐标画出的面积，以及与它成正比的吸引力之间的比值，是这些比值的平方根的复合比。

命题83问题42

求使位于球体中心处一小球被吸引向任意一球冠的力。（图A 12-14）

令球体中心处物体为P，平面RDS与球表面RBS之间的球冠为RBSD。令DB为由球心P画出的球面EFG分割于F，并将球冠分割为BREFGS与FEDG两部分。设该球冠不是纯数学的而是物理的表面，具有某种厚度，但又是完全无法测度的。令该厚度为0，则（由阿基米德所证明的）该表面与PF×DF×O成正比，再设球上各粒子吸引力与距离的某次幂成反比，其指数为n；则表面EFG吸引物体P的力将（由命题79）与成正比，即与–成正比。令垂线FN乘以O与这个量成正比；则纵坐标FN，连续运动通过长度DB所画出的曲线面积BDI，将与整个球冠吸引物体P的力成正比。

命题84问题43

求不在球心处而在任意一球冠轴上的小球受该球冠吸引的力。

令位于球冠EBK的轴ADB上的物体P，受到球冠的吸引。关于中心P以半径为PE画球面EFK，它把球冠分为二部分EBKFE和E–FKDE。用命题81求出第一部分的力，再由命题83求出后一部分的力，二力的和就是整个球冠EBKDE的力。

附 注

讲述完球体的吸引力后（图A 12-15），应该接着讨论由吸引的粒子以相似方法组成的其他物体的吸引定律；但我的计划不拟专门讨论它们。只需要补述若干与这些物体的力以及由此产生的运动有关的普适命题即足以够用，因为这些知识在哲学研究中作用不是特别大。

第13章：非球形物体的吸引力

命题85定理42

如果一个物体受到另一个物体的吸引，而且该吸引作用在它与吸引物体相接触时远大于它们之间有极小间隔时；则吸引物体各粒子的力，在被吸引物体离开时，以大于各粒子的距离比值的平方而减小。

如果到各粒子的距离的平方减小则力也随着减小，则指向球体的吸引力（由命题74）应与被吸引物体到球心距离的平方成反比，不会由于接触而有明显增大，而如果在被吸引物体离开时，吸引力以极小的比率减小，则更不会发生增大。所以，本命题在吸引球体的情形中是非常容易可见的。在凹形球壳吸引外部物体的情形中也是相同的。而当球壳吸引在其内部的物体时则也是这样，因为吸引作用在经过球壳的空腔时被扩散，受到反向吸引力的抵消，因而在接触处根本没有吸引作用。如果在这些球体或球壳远离接触点处移去任何一部分，并在其他任何地方增添新的部分，也就随意对吸引物体进行了改变；但在远离接触点处增补或移去的部分对两物体接触而产生的吸引作用没有显著增强。所以本命题适用于所有形状的物体。

命题86定理43

如果组成吸引物体的粒子的力，在吸引物体离开时，随到各粒子距离的三次或多于三次方而减小，则在接触点的吸引力远大于吸引与被吸引物体相互分离时的情形，尽管分离的间隔极小。

当被吸引小球向这种吸引球接近并接触时，吸引力无休止地增大，这已在问题41的第二和第三个例子的求解中表明。接近凹形球壳的物体的吸引（通过比较这些例子和定理41）也是相同的，不论被吸引物体是位于球壳之外，还是位于空腔内。而通过移去球体或球壳上接触点以外任何地方的吸引物质，使吸引物体变为期望的任何形状，本命题仍将适用于所有物体。

命题87定理44

如果两个物体相似，并包含吸引作用相同的物质，分别吸引两个正比于这些物体且位置与它们相似的小球，则小球指向整个物体的加速吸引将正比于小球指向物体的与整体成正比且位置相似的粒子的加速吸引。

如果把物体分为与整体成正比的粒子，且在其中位置相似，则指向一个物体中任一粒子的吸引力比指向另一个物体中对应粒子的吸引力，与指向第一个物体中无数粒子的吸引力比指向另一个物体中对应粒子的吸引力相等；而且，通过比较可知，也与指向整个第一个物体的吸引力比指向整个第二个物体的吸引力相等。

推论Ⅰ.如果随着被吸引小球距离的增加，各粒子的吸引力按距离的任意次幂的比率减小，则指向整个物体的加速吸引将与物体成正比，与距离的幂成反比，如果被吸引小球的距离的平方而减小则各粒子的力也随之减小，而且物体与A3和B3成正比，则物体的立方边，以及被吸引小球到物体的距离与A和B成正比；而指向物体的加速吸引将与和成正比，即与物体的立方A和B成正比。如果到被吸引小球距离的立方减小则各粒子的力随之减小，则指向整个物体的加速吸引将与和成正比，即，相等。如果力随四次方减小，则指向物体的吸引与和成正比，即与立方边A和B成反比。其他情形依次类推。

推论Ⅱ.另一方面，如果这种减小仅仅与距离的某种比率成正比或反比的话，由相似物体吸引位置相似小球的力，可以求出在被吸引小球离开时各粒子的吸引力减小的比率。

命题88定理45

如果任意物体中相等粒子的吸引力正比于到该粒子的距离，则整个物体的力指向其重心；对于由相似且相等物质构成，且球心在重心上的球体，它的力情况相同。（图A 13-1）

令物体RSTV的粒子A，B以与距离AZ、BZ的力成正比吸引任意小球Z，二粒子是相等的；如果它们不相等，则力共同与这些粒子与距离AZ、BZ成正比，或者（如果可以这样说的话）与这些粒子分别乘以它们的距离AZ、BZ成正比。这些力由A×AZ和B×BZ表示。连接AB，并在G被分割，使AG比BG与粒子B比粒子A相等；则A和B二粒子的公共重心为G。力A×AZ可以（根据运动定律推论Ⅱ）分解为力A×GZ和A×AG；而力B×BZ可以分解为B×GZ和B×BG。因为A垂直于B，BG 垂直于AG，力A×AG等于B×BG，所以沿相反方向作用而互相之间抵消。只剩下力A×GZ和B×GZ。它们由Z指向中心G，复合为力（A+B）×GZ；即它与吸引粒子A和B一同位于其公共重心上组成一只较小的球体所产生的力相等。

由相同理由，如果加上第三个粒子C，它的力与指向中心G的力（A+B）×GZ复合，形成指向在G的球体与粒子C的公共重心的力；即指向三个粒子A、B、C的公共重心；与该球体与粒子C同位于它们的公共重心组成一更大的球体相等；可以照此类推至于无限。所以任何物体RSTV的所有粒子的合力与该物体保持其重心没有改变而变为球体形状后相同。

推论.被吸引物体Z的运动与吸引物体RSTV变为球体后相同；所以，不论该吸引物体是静止还是做匀速直线运动，被吸引物体都将沿中心在吸引物体重心上的椭圆运动。

命题89定理46

如果若干物体由其力正比于相互间距离的相等粒子组成，则使任意小球被吸引的所有力的合力指向吸引物体的公共重心；而且其作用与这些吸引物体保持其公共重心不变而组成一只球体相同。

本命题的证明方法与前一命题相同。

推论.所以被吸引物体的运动，与吸引物体保持其公共重心咩有改变而组成一只球体后相同。所以，不论吸引物体的公共重心是静止，还是做匀速直线运动，被吸引物体都将沿其中心在吸引物体公共重心上的椭圆运动。

命题90问题44

如果指向任意圆周上各点的向心力相等，并随距离的任意比率而增减；求使一小球被吸引的力，即，该小球位于一条与圆周平面成直角且穿过圆心的直线上某处。（图A 13-2）

设A为一圆周圆心，AD为半径 ，处在以直线AP为垂线的平面上；所要求的是使小球P 被吸引指向同一圆周的力。由圆上任一点E向被吸引小球P作直线PE。在直线PA上取PF与PE相等，并在F作垂线FK，与E点吸引小球P的力成正比。再令点K为曲线IKL的轨迹。令该曲线与圆周平面相交于L。在PA上取PH与PD相等，作垂线HI与曲线相交于I；则小球P指向圆周的吸引力将与面积AHIL乘以高度AP成正比。

因为，在AE上取极小线段Ee，连接Pe，又在PE、PA上取PC、Pf，二者都与Pe相等。因为，在上述平面上以圆心为A，半径为AE的圆上任意点E吸引物体P的力，设与FK成正比，所以该点把物体吸引向A的力与成正比；整个圆把物体P吸引向A的力同时与该圆和成正比；而该圆又与半径AE与宽Ee的乘积成正比，该乘积又（因为PE正比于AE，Ee正比于CE）与乘积PE×CE或PE×Ef相等；所以该圆把物体P吸引向A的力同时与PE×Ff和成正比；即与Ff×FK×AP成正比，或与面积FKkf乘以AP成正比。所以，对于以圆心为A，半径为AD的圆，把物体P吸引向A的力的总和，与整个面积AHIKL乘以AP成正比。

推论Ⅰ.如果距离的平方减小则各点的力随之减小，即，如果FK与成正比，因而面积AHIKL与–成正比；则小球P指向圆的吸引力与1–成正比，即，与成正比。

推论Ⅱ.一般地，如果在距离D的点的力与距离的任意次幂成反比；即，如果FK与成正比，因而面积AHIKL与–成正比；则小球P指向圆的吸引力与–成正比。

推论Ⅲ.如果圆的直径无限增大，数n大于一；则小球p指向整个无限平面的吸引力与PAn-2成反比，因为另一项已变为零。

命题91问题45

求位于圆形物体轴上的小球的吸引力，指向该圆形物体上各点的向心力随距离的某种比率减小。（图A 13-3）

令小球P在物体DECG 的轴AB上，受到该物体的吸引。令与该轴垂直的任意圆 RFS分割该物体；圆半径FS 在一穿过轴的平面PALKB上，在FS上（由命题90）取长度 FK与使小球被吸引向该圆的力成正比。令点的轨迹为曲线 LKI，与最外面的圆AL和 BI的平面相交于L和I；则小球指向物体的吸引力与面积LABI成正比。

推论Ⅰ.如果物体是由平行四边形ADEB绕轴AB旋转而成的圆柱体（图A 13-4），而且指向其上各点的向心力与到各点距离的平方成反比；则小球P指向该圆柱体的吸引与AB–PE + PD成正比。因为纵坐标FK （由命题90 推论Ⅰ）与1–成正比。该量的第一部分乘以长度AB，表示面积1×AB；另一部分乘以长度PB，表示面积1×（PE- AD）（这易于由曲线LKI的面积求得）；用相同的方法，同一部分乘以长度PA表示面积1×（PD-AD），乘以PB与PA的差 AB，表示面积差1×（PE-PD）。由第一项1×AB中减去最后 一项1×（PE - PD）。余下的面积LABI与1×（AB-PE + PD）相等。所以吸引力与该面积AB-PE + PD成正比。

推论Ⅱ.还可以求出椭球体AGBC吸引在其外且在轴 AB上的物体P的力。令一圆锥曲线为NKRM，其垂直于PE 的纵坐标ER始终与线段PD的长度相等，PD由向该纵坐标与椭圆体的交点D连续画出。由该椭圆体的顶点A， B向其轴AB 作垂线AK， BM，分别与AP， BP相等，与圆锥曲线相交于K和 M；连接KM，分割出面积KMRK。令椭圆体的中心位S， 其长半轴为SC；则该椭圆体吸引物体P的力比以AB为直径的球体吸引同一物体的力与比相等。运用同一原理可以计算出椭圆体球冠的力。（图A 13-5）

推论Ⅲ.如果小球在椭球内部的轴上，则吸引力与它到球心的距离成正比。这可以容易地由以下理由推出，无论该小球是在轴上还是在其他已知直径上。令吸引椭球为AGOF，球心为S，被吸引物体是P。通过物体P作半径SPA，再作两条直线DE，FG与椭球交于D和E，F和G；令与外面的椭球共心且相似的两个内椭球的表面为PCM，HLN，其中第一个通过物体P，并与直线DE， FG相交于B和C；后者与相同直线交于H和I，K和L。令全部椭球共用一个轴，且直线被两边截下的部分DP等于BE，FP等于CG，DH等于IE，FK等于LG；因为直线DE，PB和HI在同一点被二等分，直线FG，PC和L也在同一点被二等分。现设DPF，EPG 表示以无限小顶角DPF，EPG画出的相反圆锥曲线，则线段DH，EI也及其为小。由椭球表面分割的圆锥曲线的局部DHKF，GLIE，根据线段DH和EI的相等性知，相互间的比与到物体P距离的平方相等，因而对该物体吸引相同。由同样的理由，如果把空间DPF，EGCB用无数与上述椭球相似且共轴的椭球加以分割，则得到的全部粒子也都在两边对物体P施加同等反向的吸引。所以，圆锥曲线DPF等于圆锥曲线局部EGCB的力，而且由于反向作用而互相之间抵消。这一情形适用于全部内椭球PCBM以外的物质的力。所以，物体P只受到内椭球PCBM的吸引，所以（根据命题72推论Ⅲ）它的吸引力比整个椭球AGOD对物体A的吸引力与距离PS比距离AS相等。

命题92问题46

已知吸引物体，求指向其上各点向心力减小的比率。（图A 13-6）

该已知物体必定是球体、圆柱体或某种规则形状物体，它对应于某种减小率的吸引力规律可以由命题80， 81和91求出。然后，通过实验，可以测出在不同距离处的吸引力，求出整个物体的吸引规律，由此，即可求得不同部分的力的减小比率；问题就迎刃而解。

命题93定理47

如果物体的一边是平面，其余各边都无限伸展，由吸引作用相等的相等粒子组成。当到该物体的距离增大时，其力以大于距离的平方的某次幂的比率减小，一个置于该平面某一侧之前的小球受到整个物体的吸引，则随着到平面距离的增大，整个物体的吸引力将按一个幂的比率减小，幂的底是小球到平面的距离，其指数比距离的搴指数小3。

情形1.令标界物体的平面为LGI（图A 13-7）。物体位于平面指向I一侧，令物体分解为无数平面mHM，nIN， oKO等等，都平行于GL。首先设被吸引物体C在物体之外。作这些平面的垂线CGHI，并令物体中各点的吸引力按距离的幂的比率减小，幂指数是不小于3的数n。因而（由命题90推论Ⅲ）任意平面mHM吸引点C的力与CHn-2成反比。在平面mHM上 取长度HM与CHn-2成反比，则该力与HM成正比。以同样的方法， 在各平面lGL， nIN， oKO等上取长度GL， IN， KO等，与CGn-2， CIn-2， CKn-2等成反比，这些平面的力与这样选取的长度成正比，所以力的和与长度的和成正比，即整个物体的力与向着0K无限延伸的面积GLOK成正比。而该面积（由已知求面积方法）与CGn-3成反比，所以整个物体的力与CGn-3成反比。

情形2.令小球C置于平面lGL的在物体内的另一侧（图A 13-8），取距离CK与距离CG相等。在平行平面lGL， oKO之间的物体局部LGloKO对位于其正中的小球C，既不从一边又不从另一边吸引，相对点的反向作用由于相等而抵消。所以小球只受到位于平面OK以外的物体的吸引。而该吸引力（同情形1）与CKn-3成反比，即与 CGn-3成反比（因为 CG等于CK）。

推论Ⅰ.如果物体LGIN的两侧以两个无限的平行平面 LG， IN为边，它的吸引力可以由整个无限物体LGKO的吸引力中减去无限延伸至KO的相对比较远的部分NIKO求得。

推论II.如果移去该物体相对较远的部分，则由于其吸引较之较近部分的吸引小得不容忽视，较近处部分的吸引，将随着距离的增大，近似地以幂CGn-3的比率减小。

推论Ⅲ.如果任何有限物体，以平面为其一边，吸引位于平面中间附近的小球，小球与平面间的距离较之吸引物体的尺度极小；且吸引物体由均匀部分构成，其吸引力随大于距离的四次方的得减小；则整个物体的吸引力将非常近似于以一个幂的比率减小，该极小距离是幂的底，指数比前一指数小了。但该结论不适用于物体的组成粒子的吸引力随距离的三次幂减小的情形；因为，在此情形中，推论Ⅱ中无限物体的相对较远的部分的始终无限比较近部分的吸引大。

附 注

如果一物体被垂直吸引向已知平面，由已知的吸引定律求解该物体的运动；这一问题可以（由命题39）求出物体沿直线落向平面的运动，再（由运动定律推论Ⅱ）将该运动与沿平行于该平面的直线方向的运动相复合。相反，如果要求沿垂直方向指向平面的吸引力的定律，这种吸引力使物体沿一已知曲线运动，则问题可以沿用第三个问题的方法求解。

不过，如果把纵坐标分解为收敛级数，运算可以简化。例如，底数A除以纵坐标长度B为任意已知角数，该长度与底的任意次幂A成正比；求使一物体沿纵坐标方向被吸引向或推斥开该底的力，物体在该力作用沿纵坐标上端画出的曲线运动；设该底增加了一个非常小的部分O，把纵坐标（A+0）分解为无限级数+OA+OOA，设吸引力与级数中O为二次方的项成正比，即与OOA成正比。所以要求的力与A成正比，或者，相同地，与B成正比。如果纵坐标画出抛物线，m＝2，而n＝1，力与已知量2Bn成正比，因而是已知的。所以， 在已知力作用下物体沿抛物线运动，正如伽利略所证明的那样。如果纵坐标画出双线，m ＝0–1， n ＝1，则力正比于 2A-3或2B3；所以与纵坐标的立方的力成正比，使物体沿双曲线运动。对此类命题的讨论到此为止，下面我将论述一些与至今未涉及的运动有关的命题。

第14章：受指向极大物体各部分的向心力 推动的极小物体的运动

命题94定理48

如果两个相似的中介物相互分离，其间隔空间以两平行平面为界，一个物体受垂直指向二中介物之一的吸引力或推斥力的作用通过该空间，而不受其他力的推动或阻碍；在距平面距离相 等处吸引力是处处相等的，都指向平面的同一侧方向，则该物体进入其中一个平面的入射角的正弦比自另一平面离开的出射角的正弦为一给定比值。（图A 14-1）

情形1.令两个平行平面位Aa和Bb，物体自第一个平面 Aa沿直线GH进入，在经过整个中介空间过程中受到指向作用介质的吸引或推斥，令该作用由曲线HI表示，而物体又沿直线IK方向离开。作物体离开的平面Bb的垂线IM，与入射直线GH的延长线相交于M，与入射平面Aa相交于R；延长出射直线KI与HM相交于L。以圆心为L，半径为LI作圆，与 HM相交于P和Q，与MI的延长线相交于N；开始时如果吸引力或推斥力是均匀的，（伽利略曾证明过）抛物线是曲线HI，其性质是，已知通径乘以直线M与HM的平方相等；而且直线HM在L处被二等分。如果作MI的垂线LO，则MO等于OR，加上相等的ON、OI，整个MN、IR也相等。所以，由于已知IR，也已知MN，乘积MI×MN比通径乘以IM，即比HM2也为一已知比值。但乘积MI×MN与乘积MP×MQ相等，即比平方差ML2-PL2或LI2；而给定比值有HM2与其四分之一的平方 ML2；所以，ML2-LI2与ML2的比值是给定的， 把LI2与ML2的比值加以变换，其平方根，LI比ML也是给定值。而在每个三角形中，如LML角的正弦与对边成正比，所以入射角LMR的正弦比出射角LIR的正弦也是给定的。

情形2.设物体先后通过以平行平面AabB、BbcC等隔若干空间（图A 14-2），在其中它分别受到均匀力的作用，但在不同空间中力也不同；由上述所证明的，在第一平面Aa上，给定值为入射角的正弦比由第二个平面Bb出射角的正弦；而也给定在第二个平面Bb上的入射角的正弦比自第三个平面Cc的出射角的正弦；还给定这个正弦比自第四个平面的出射角的正弦，依次类推到无限；通过将这些量相乘，物体自第一个平面入射角的正弦比自最后一个平面出射角的正弦的比为给定值。此时令平面之间的间隔接近于零，则它们的数目无限增多，使得物体受到规律已知的吸引或推斥力的作用连续运动，它自第一个平面入射角的正弦与自最后一个平面同样为已知的出射角的正弦的比，也是给定值。

命题95定理49

在相同条件下，物体入射前的速度与出射后的速度的比等于出射角的正弦比入射角的正弦。（图A 14-3）

取AH与Id相等，作垂线AG、dK与入射线和出射线GH、IK相交于G和K。在GH上取TH与IK相等，在平面Aa上做垂线Tv。（由运动定律推动Ⅱ）将物体运动分解为两部分， 一部分与平面Aa、Bb、Cc等垂直，另一部分平行于他们。沿垂直于这些平面方向作用的吸引或推斥力对沿平行方向的运动没有影响，所以在相等时间里物体沿该方向的运动通过直线 AG与点K以及点I与直线dK之间的相等的平行间隔；即在相等的时间里画出相等的直线GH和IK。所以人射前的速度比出射后的速度与GH比IK或TH相等，即与AH或I相等。即与AH比id比vH相等，即（设半径为TH或IK）与出射角的正弦比入射角的正弦相等。

命题96定理50

在相同条件下，且入射前的运动快于入射后的运动，则如果射线是连续偏折的，物体将最终被反射出来，且反射角等于射角。（图A 14-4）

设物体与前面一样在平行平面Aa、Bb、Cc等等之间通过，画出抛物线弧；令这些弧为HP、PQ、QR等。又令人线GH这样倾斜于第一个平面Aa，使得入射角正弦比正弦之相等的圆半径，与同一个入射角正弦比由平面Dd进入空间DdeE的出射角的正弦相等；因为现在该出射角正弦与上述相等，出射角成为直角，因而出射线重合于平面Dd。令物体在R点到达该平面；因为出射线重合于平面，物体不会再到达平面Ee。但它也不会沿出射线RQ前进；因为它始终受到入射介质的吸引或推斥。所以，它将在平面Cc和Dd之间往返，画出一个顶点在R（由伽利略的证明推知）的抛物线弧，以与在Q入射的相同角度与平面Cc相交于q；然后沿与人射弧QP、PH等相似且相等的抛物线弧同等行进，与其余平面以与入射时在P、H等处相同的角度在等p、h处相交，最后在h以与在H处进入同一平面相同的倾斜离开第一个平面。现设平面Aa、Bb、Cc等的间隔无限缩小，数目无限增多，使按已知规律作用的吸引或推斥力连续变化；则出射角始终与对应的入射角相等，直至最后出射角与入射角相等。

附 注

这些吸引作用及其类似于斯奈尔发现的光的反射和折射角有给定正割比，因而也正如笛卡儿所证明的那样有给定正弦比。因为木星卫星的现象已经表明，许多天文学家已经证明，光是连续传播的，从太阳到地球大约需要七或八分钟。而且，空气中的光束（最近格里马尔迪发现，我本人也试验过，光通过小孔射入暗室）经过物体的棱边时，不论物体是透明的或不透明的（如金、银或铜币的圆形成方形边缘，或刀、石块、玻璃的边缘）都如同受到它们的吸引一样而围绕物体弯曲或屈折；最接近物体的光弯曲得最厉害，正如受到最强烈的吸引一样；我也非常仔细地观察了这一现象。距离物体较远的光束弯曲较小；现象已经表明，许多天文学家已经证实，光是连续传播的，从太阳到地球大约需要七或八分钟。而且，空气中的光束反而远的光束则向相反方向弯曲，形成三个彩色条纹。（图A 14-5）图中s表示刀口，或任意一种楔AsB；gowog、fnunf、emtme、dlsld 是沿着弧 owo、nun、mtm、lsl向刀口弯曲的光束；弯曲的大小程度随到刀口的距离变化。由于光束的这种弯曲发生在刀口以外的空气中，因而落在刀口上的光束肯定在接触刀口之前已先弯曲。落在玻璃上的光束情形也相同。所以，折射没有发生在入射点，而是由光束逐渐的、连续的弯曲造成的；折射部分发生于光束接触玻璃前的空气中，部分发生于（如果我没有想错）入射以后的玻璃中；（图A 14-6）如图中所示，光束ckzc、biyb、ahxa落在r、q、p，弯曲发生在k和z、i和y、h和x之间。所以，因为光线的传播与物体的运动相类似，我认为把下述命题付诸光学应用是不会有错的，此时，完全不考虑光线的本质，或探究它们究竟是不是物体；只是假定物体的路径极其与光线的路径相似而已。

命题97问题47

设在任意表面上入射角的正弦与出射角的正弦的比为给定值； 且物体路径在表面附近的偏折发生于极小空间内，可以看作一个点；求能使所有自一给定处所发出的小球会聚到另一给定处所的面。（图A 14-7）

令小球所要发散的处所为A；它们所要会聚的处所为B； 一曲线为CDE，当它绕轴AB旋转时即得到所求曲面；曲线两个任意点为D、E ；物体路径AD、DB上的垂线为EF、EG， 令点D接近点E；使AD增加的线段DF与使DB减少的线段 DG的比，与入射正弦与出射正弦的比相等。所以，直线AD的增加量与直线DB的减少量的比是给定值；因而，如在轴AB 上任取一点C，使曲线CDE肯定经过该点，再按给定比值取 AC的增量CM比BC的减量CN，以圆心为A、B，半径为AM、BN作两个圆相交于点D；则该点D相切于所要求的曲线CDE ，而且，通过使它在任意处相切，可求出曲线。

推论Ⅰ.通过使点A或B某些时候远至无穷，某些时候又趋向点C的另一侧，可以得到笛卡儿在《光学》和《几何学》中所画的与折射有关的图形。笛卡儿对此发明秘而不宣，我在此昭示于世。

推论Ⅱ.如果一个物体按某种规律沿直线AD（图A 14-8）的方向落在任意表面CD 上，将沿另一直线DK的方向弹出；由点C作曲线CP， CQ始终垂直于AD、DK；则直线PD、QD的增量，因而由增量产生的直线PD、QD本身相互间的比，将与入射正弦与出射正弦的比相等。相反仍然成立。

命题98问题48

在相同条件下，如果绕轴AB作任意吸引表面CD，规则的或不规则的，且由给定处所A出发的物体必定经过该面；求第二个吸引表面EF，它使这些物体会聚于一给定处所B。（图A 14-9）

令连线AB与第一个面交于C与第二个面交于E，任意点为点D。设在第一个面上的入射正弦与出射正弦的比，以及在第二个面上的出射正弦与人射正弦的比，与任意给定量 M比另一任意给定量N相等；延长AB到G，使BG比CE与M -N比N相等；延长AB到H，使AH与AG相等；延长DF到K，使 DK比DH与N比M相等。连接KB，以圆心为D，半径为DH画圆与KB延长线相交于L，作BF与DL平行；则点F相切于直线 EF，当它绕轴AB转动时，即得到要求的面。

设曲线CP， CQ分别处处与AD， DF垂直，曲线ER， ES 与FB， FD垂直，因而QS始终与CE相等；而且（由命题97推论Ⅱ） PD比QD与M比N相等，所以与DL比DK相等，或FB比 FK；由相减法，与DL-FB或PH-PD-FB比FD或FQ- QD相等；由相加法，与PH-FB比FQ相等，即（因为PH等于CG， QS等于CE），与CE + BG-FR比CE - FS相等。而（因为BG比CE与M -N比N相等） CE + BG比CE与M比N相等；所以，由相减法，FR比FS与M比N相等；所以（由命题97推论Ⅱ）表面EF把沿DF方向落于其上的物体沿直线FR弹射到处所B。

附 注

用相同的方法可以推广到三个或四个面。但在所有形状中，球形最适用于光学应用。如果望远镜的物镜由两片球形玻璃制成，它们之间充满水，则利用水的折射来更正玻璃外表面造成的折射误差到足够精度是有可能的。这样的物镜比凸透镜或凹透镜好，因为它们不仅容易制作、精度高，而且它们能精确折射远离镜轴的光线。但不同光线有不同的折射率，导致光学仪器最终不能采用球形或任何其他形状达到非常完美的结果。如果能更正由此产生的误差，那么校正其他误差的所有努力都将是白费的。