1.1.1　单量子比特

在经典计算中，经典比特的状态用0或1表示，而在量子计算中可以用、、、 表示量子比特的状态，“”是狄拉克（Dirac）括号。为了与经典计算的二进制规则兼容，本书后续章节只使用、这两种状态。量子比特是可以处在多种状态的叠加态的，也就是说量子比特可以处在、这两种状态的叠加状态，那怎么表示这种叠加状态呢？可以把量子比特表示为二维复向量空间中的一个单位向量。设、为的一组基，则一个量子比特可以表示为

(1.1)

其中，、都是复数，称为振幅，且满足归一化条件。

接下来，考虑将 表示为一个特定的形式。这种形式通常称为布洛赫（Bloch）球, 如图1.1所示。

布洛赫球的北极表示，南极表示。根据布洛赫球表示法，可以将任意单量子比特量子态写为

(1.2)

其中， 和 是实数， 是任意相位。这种表示方式的物理意义是， 和 描述了 在布洛赫球上的位置，描述了 的全局相位。由于对观测值没有实质性的影响，所以这里可以忽略。进而，可以表示为

(1.3)

图1.1　布洛赫球

显然，这里对应球上的点。

下面证明如果将 表示为式（1.2），则有 和 。首先，将式（1.2）代入式（1.1）：

(1.4)

这样，可以得到：

(1.5)

然后，计算 ：

(1.6)

这证明了第一个等式。同时，第二个等式也得到了验证。

因此， 和 是等价的。