2.4　泊松分布

泊松分布（Poisson Distribution）是法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Simeon-Denis Poisson）建立的。

在现实生活中，经常需要去解决类似以下的问题：

·　预测或者估计一段时间内发生交通事故的次数；

·　一批产品中出现瑕疵产品的数量；

·　商店中某件不太被频繁购买物品的备货数量。

以上这些问题一般具有以下几个特征或者前提条件：

（1）X是在一个区间（时间、空间、长度、面积、部件、整机等）内发生特定事件的次数，其取值为0，1，2，…，n。

（2）一个事件的发生不影响其他事件的发生，没有相互间的依赖，即事件独立发生。

（3）事件的发生概率是相同的，不能有些区间内发生的概率高一些而另一些区间的概率却低一些。

（4）两个事件不能在同一个时刻发生。

（5）一个区间内一个事件发生的概率与区间的大小成比例。

满足以上条件，则X就是泊松随机变量，其分布就是泊松分布。泊松分布就是描述某段时间内，事件的发生概率。

泊松分布的概率为：

其中，λ＞0是常数，是指定区间事件发生的频率（不是概率），x是事件数量。

假设某公司有一个不稳定的Web系统，如图2-7所示，每周平均的故障次数是2次，那么在下周不发生故障的概率是多少？

每周平均的故障次数是2次，我们可以把“一周”看作单位时间，系统的故障率是λ＝2，单位时间内发生故障的次数X符合泊松分布X~Poisson（λ）。在下周不发生故障的概率相当于发生了0次故障的概率为：

现在如果要判断接下去的两周不发生故障的概率是多少呢？这时有以下两种计算方法。

第一种方法是把一周没有故障的概率相乘：

P（X＝0）×P（X＝0）＝e－2×e－2＝e－4

另外一种方法是根据泊松分布的概率公式进行计算，此时因为事件变成了两周，所以λ＝2×2＝4：

以上两种计算方法的结果是一致的。

根据上面的例子可以看到，泊松分布是一种描述和分析稀有事件的概率分布。要观察到这类事件，样本含量n一般必须很大。泊松分布还有一个很好的性质，那就是区间的线性倍数对应的事件发生的概率也是倍数。

也正因为其概率和区间的线性关系，而且一般事件发生的频率不高，所以把时间减小到一定区间后，就变成了这样一个对等的问题：发生交通事故的频度是λ，而且这个值比较小（如万分之一），请问事故会不会发生？发生几次？也就是将该问题变成是一个二项分布问题。

我们用一个简单的数学推导来看一看这个近似等价的关系（只是看着有点复杂，其实还是很简单的推导）。这里假设λ＝n×p，当n趋向无穷大，p就趋向于0，那么代入二项分布函数：

e是自然常数，其定义是：

代入上面的公式：

通过e和二项分布，再做一些假设条件之后，两者是近乎等价的！

e实际的含义在这里再强调一下。譬如存1元钱到银行时，银行需要付利息，假设总体利率是100%，但是这个100%不是到期后算一次，而是要求每天算一次，并且要求能利滚利。假设现在这笔钱约定存n天，那么每天的利息就是1/n，每天的本息加起来就是，经过n天后的最终本息就是。再假设n是无穷大，那么最终的极限值算出来就是自然常数e。为什么称为自然常数呢，因为类似这样的情况在自然界里面是一个经常发生的现象，故把e称为自然常数，而我们经常使用的2、8、10、12、16等数字更多的是为了解决问题以及计算方便而设计出来的，不是“自然”产生的。