1.3 二维抽样定理

二维图像数字化通常是由抽样和量化两个步骤完成，抽样是指在N1×N2个离散的点上确定信号的值，量化则是对每个样本值进行二进制数码的量化，使其只与有限个可能电平数中的一个相对应。无疑，为了使数字图像能很好地表示原始图像信号，N1、N2和量化电平数都必须充分地大，即抽样和量化越精细，这些数就越能代表原来的信号。但是N1、N2和量化电平数越大，相应的存储量和处理时间就会大大增加。因此.对二维图像信号数字化也需要有一个准则，以便合适地选择N1、N2和电平数，使得到的N1×N2个样本能够重建原来的信号。当然，由于量化过程带来的一种误差，称为量化噪声，重建后的图像与原始图像总有一定的差别，我们希望能尽量减小这种误差，使得在一定的范围内不损伤原始信号。

设x（t1，t2）表示的二维图像信号，存在傅里叶变换X（ω1，ω2）。按照矩形网格对x（t1，t2）进行抽样，样本点水平间隔为△T1，垂直间隔为△T2，这样抽样以后将得到二维序列x（n1△T1，n2△T2）。如果由离散的样本来恢复x（t1，t2），需要满足二维抽样定理。

定理1.1（二维抽样定理） 设二维图像信号x（t1，t2）沿t1方向变化的最高频率为f1，沿t2方向变化的最高频率为f2，则由离散的样本x（n1△T1，n2△T2）来恢复x（t1，t2）的样本点水平间隔为，垂直间隔为。

如果二维图像数字化不满足二维抽样定理的条件，抽样间隔取得△T1和△T2不够小，致使抽样函数的频谱X（ω1，ω2）将产生混迭现象，这样势必会导致重建后图像的畸变。