3.3 平面机构的自由度计算

如前所述，机构是用运动副连接起来的、有一个构件为机架的构件系统。机构的各构件之间应具有确定的相对运动。机构具有确定相对运动，是指该机构中所有构件，在任一瞬时的运动都是完全确定的。那么，为了使组合起来的构件能产生相对运动并具有运动确定性，有必要探讨机构自由度和机构具有确定运动的条件。

1.平面机构自由度计算公式

一个作平面运动的自由构件有三个独立运动的可能性。如图3-8所示，在Oxy坐标系中，构件S可随其上任一点A沿x轴、y轴方向移动和绕A点转动。我们把机构中各构件相对于机架所具有的独立运动数目称为自由度。所以，一个作平面运动的自由构件有三个自由度。

当构件与另一构件组成运动副后，由于构件间的直接接触，使某些独立运动受到限制，自由度便随之减少。对独立运动所加的限制称为约束。每加上一个约束，构件便失去一个自由度。两构件间约束的多少和约束的特点完全取决于运动副的形式。不同种类的运动副引入的约束不同，所以保留的自由度也不同。例如，图3-1所示的回转副约束了两个移动的自由度，只保留一个转动的自由度；而移动副（见图3-2）约束了沿一轴方向的移动和在平面内的转动两个自由度，只保留沿另一轴方向移动的自由度；高副（见图3-3）则只约束了沿接触处公法线n-n方向移动的自由度，保留绕接触处的转动和沿接触处公切线t-t方向移动的两个自由度。在平面机构中，每个低副引入两个约束，使构件失去两个自由度；每个高副引入一个约束，使构件失去一个自由度。

若平面机构共有N个构件，除去固定件，则机构中的活动构件数为n=N-1。在未用运动副连接之前，n个活动构件的自由度总数应为3n。当用运动副将构件连接起来组成机构之后，机构中各构件具有的自由度数就减少了。若机构中低副的数目为PL个，高副数目为PH个，则机构中全部运动副所引入的约束总数为2PL+PH。所以，该机构的自由度为活动构件的自由度总数减去运动副引入的约束总数就是该机构的自由度，以F表示，即

F=3n-2PL-PH （3-1）

式（3-1）为计算平面机构自由度的公式。由公式可知，机构自由度F取决于活动构件的数目及运动副的性质（低副或高副）和数目。

【例3-2】计算图3-7（b）所示颚式破碎机主体机构的自由度。

解：在颚式破碎机主体机构中，有三个活动构件，n=3；包含四个回转副，PL=4；没有高副，PH=0。由式（3-1）得，机构自由度为

F=3n-2PL-PH=3×3-2×4=1

该机构具有一个原动件（构件2），故原动件数与机构自由度相等。

2.机构具有确定运动的条件

机构的原动件的独立运动是由外界给定的。如果给出的原动件数不等于机构自由度数，则将产生怎样的影响？

图3-9为原动件数小于机构自由度的例子（原动件数等于1，而机构自由度F=3×4-2×5=2）。显然，当只给定原动件1的位置角ϕ1时，从动件2、3、4的位置不能确定，不具有确定的相对运动。只有给出两个原动件，使构件1和4都处于给定位置，才能使从动件获得确定运动。

图3-10为原动件数大于机构自由度的例子（原动件数等于2，机构自由度F=3×3-2×4=1）。如果原动件1和原动件3的给定运动都要同时满足，则势必将杆2拉断。

图3-11为机构自由度等于零的构件组合（F=3×4-2×6=0）。它的各构件之间不可能产生相对运动。

综上所述可知，机构自由度、原动件数目与机构运动有着密切的关系：①F＞0时，原动件数小于机构自由度，机构运动不确定；原动件数大于机构自由度，机构会遭到损坏；②F≤0时，构件间不可能有相对运动。只有当原动件数等于机构自由度时，机构才具有确定的运动。

机构自由度的计算和机构具有确定运动的条件，这对机构的识别和设计新机构均有着十分重要的意义。

3.计算平面机构自由度时应注意的几种情况

计算平面机构自由度时，必须注意下述几种情况，否则将得出与实际情况不符的答案。

（1）复合铰链

两个以上的构件同时在一处用回转副连接就构成复合铰链。图3-12（a）是三个构件汇交成的复合铰链，图3-12（b）是它的俯视图。由图3-12（b）可以看出，这三个构件共组成两个回转副。若有m个构件用复合铰链连接时，则连接处有m-1个回转副。计算机构自由度时应注意机构是否有复合铰链，以免把回转副的数目算错。

【例3-3】试计算图3-13所示惯性筛机构的自由度。

解：该机构当原动件2等速回转时，滑块6作变速往复移动。其活动构件数n=5，C处为复合铰链，有两个回转副，故PL=7。由式（3-1）可得

F=3n-2PL-PH=3×5-2×7=1

F与机构原动件个数相等，所以机构运动是确定的。

（2）局部自由度

在有些机构中，某些构件所产生的局部运动，并不影响其他构件的运动。我们把这些构件所产生的这种局部运动的自由度，称为局部自由度。计算机构自由度时，应将局部自由度予以排除。

如图3-14（a）所示的凸轮机构，其自由度F=3n-2PLPH=3×3-2×3-1=2。计算结果表明，该机构应有两个原动件，其运动才是确定的。这与实际情况不符，原因就是计入了局部自由度。在图3-14（b）中，把滚子3与从动件2固联成一体，从动件2的运动完全与图3-14（a）相同。由此可见，滚子3相对从动件2转动的自由度就是局部自由度（引入1个活动构件，增加3个自由度；引入转动副C，减少2个自由度，故尚多余1个自由度），或者说，滚子3是多余活动构件，即滚子3绕C点的转动不影响机构的运动规律。计算机构自由度时，应将局部自由度除去，即把滚子与从动件看做一个构件，如图3-14（b）所示，则机构的自由度F=3n-2PL-PH=3×2-2×2-1=1，即此机构的自由度为1，与实际情况相符。

局部自由度虽不影响运动规律，但可改善构件之间的工作状况，如将滑动改为滚动，可以减小磨损。所以，在实际机械中常出现局部自由度。

（3）虚约束

机构中与其他运动副的约束相重复而对机构运动不起限制作用的重复约束称为虚约束，在计算机构自由度时应除去不计。平面机构中的虚约束常出现在下列场合：

①在机构的运动过程中，如两构件两点间的距离始终保持不变（图3-15中E和F点），则在此两点间以构件及运动副相连所产生的约束一定是虚约束。

②两构件同时在几处构成多个移动副，且各移动副导路中心线互相平行（见图3-16（a））时，则只有一个移动副起作用，其余都是虚约束。

③两构件同时在几处构成多个转动副，且各转动副轴线重合（见图3-16（b））时，则只有一个转动副起作用，其余都是虚约束。

④机构中对运动不起独立作用的对称部分，如图3-17所示的齿轮传动，为了受力均衡采取了三个齿轮对称布置的结构。齿轮2中有两个齿轮是对运动不起独立作用的对称部分，引入虚约束。

综上所述，虚约束都是在一定几何条件下形成的。虚约束虽对运动不起独立的约束作用，但可改善机构受力状况（见图3-17）和增加构件刚性（见图3-16（b）），所以实际机械中虚约束随处可见。只有将机构运动简图中的虚约束排除，才能算出真实的机构自由度。

【例3-4】计算图3-18（a）所示大筛机构的自由度。

解：机构中的滚子有一个局部自由度。顶杆与机架在E和E' 组成两个导路平行的移动副，其中之一为虚约束。C处是复合铰链。今将滚子与顶杆焊成一体，去掉移动副E'，并在C点注明回转副的个数，如图3-18（b）所示。由图3-18（b）得，n=7，PL=9（7个回转副和2个移动副），PH=1，故由式（3-1）得

F=3n-2PL-PH=3×7-2×9-1=2

此机构的自由度等于2，有两个原动件。