模块四 平面立体的三视图
一、任务描述
学生已经掌握了简单几何图形的视图，初步理解了三种视图的概念，具备了绘制三视图的基本功。具备了初步的解决实际问题的能力，感受到数学与生活的密切联系，为本节学习打下了良好的基础。本节课是以前课程的延伸，在实际问题中，能够利用三视图之间的联系与区别，解决不同的问题。
学习目标：
（1）掌握常见平面体（棱柱、棱锥）的投影特征。
（2）能熟练绘制任一平面立体的三面投影。
（3）能完成平面立体表面取点、取线的基本作图。
（4）通过有关的学习中，培养学生对平面立体的观察能力和分析能力。
（5）培养学生运用投影规律分析物体投影特性的能力。
学习重点：
（1）平面立体的投影分析。
（2）平面立体的三视图画法。
二、任务实施
任务1：棱柱体投影与表面点、线
设五棱柱的表面上有点A、B和线段CD、DE，且a′、b′、c″d″、d″e″为已知[图2-31（a）]，试完成它们的其余两投影。
图2-31 五棱柱面上取点取线
点A在五棱柱的前棱面上，由于该面的水平投影和侧面投影均有积聚性，可直接求得a、a″；点B在右棱面上，而右棱面的水平投影有积聚性，故作图时利用积聚性先求b，再根据YHB=YWB和b′求得b″。由于右棱面在侧面投影上为不可见面，故b″为不可见（加括号表示）。求作线段CD、DE的其余投影，需求出线段两端点的各投影，然后把同面投影相连。图中处在棱线上的点D可根据d″直接求得d′和d；点C的两投影可由YWC=YHC确定c后再求c′，用同样的方法可求得e和e′。连线时，由于CD所在棱面的正面投影不可见，故c′d′为不可见，用虚线表示，如图2-31（b）所示。
任务2：棱锥体投影与表面点、线
已知三棱锥表面上直线HM、MN的正面投影h′m′、m′n′，试求其水平投影和侧面投影（图2-32）。
图2-32 三棱锥表面上取线
分析：由题设h′m′∥a′b′，且AB为水平线，故直线HM为棱面SAB上的水平线，即HM∥AB。MN为棱面SBC上的一般位置直线，点M在棱线SB上，必须作辅助线求点N的其余投影。
作图步骤：
（1）由于点M在棱线SB上，根据m′，先求出m″后再求得m；
（2）在水平投影上作hm∥ab，在侧面投影上作h″m″∥a″b″；
（3）在棱面SBC上作辅助线SD确定点N的水平投影n和侧面投影n″；
（4）分别连接点M、N的水平投影mn和侧面投影m″n″；
（5）判别可见性，因棱面SBC的侧面投影不可见，故m″n″亦不可见，应连虚线，如图2-32（b）所示。
三、知识链接
平面立体的投影：
平面立体是由平面围成的，平面立体上相邻两表面的交线称为棱线。常见的平面立体有棱柱和棱锥。
1．棱柱
（1）棱柱的投影。棱柱由两个形状、大小相同且平行的顶、底面和若干个矩形棱面围成。
图2-33为一水平放置的正六棱柱和它的三面投影，它的顶面和底面为正六边形，且为水平面，水平投影反映实形，六个棱面为铅垂面，在水平投影面上的投影有积聚性。正面投影为三个相邻的矩形，中间矩形线框为前后棱面的投影，反映实形，左右两线框是其余四个棱面的投影，为类似形；侧面投影的两个相邻矩形，读者可自行分析。
图2-33 六棱柱的投影及面上取点
作棱柱的三面投影时，一般先画有积聚性的投影，然后按投影关系，完成其他两面投影。
（2）棱柱表面上取点和取线。在图2-33中，由于棱柱表面都处在特殊位置，所以棱柱表面上点的投影均可利用平面投影的积聚性来作图。在判断可见性时，若该平面处于可见位置，则该面上点的同面投影也可见，反之为不可见。有积聚投影的平面上的点的投影，不必判断其可见性。
如图2-33（b）所示，已知正六棱柱棱面ABCD上点M的正面投影m′，求该点的水平投影m和侧面投影m″。
由于点M所属棱面ABCD为铅垂面，其水平投影有积聚性，因此点M的水平投影m必在该棱面积聚性投影abcd上，根据m′、m求出m″，由于ABCD的侧面投影为可见，故m″也为可见。
2．棱锥
（1）棱锥的投影。棱锥是由一个多边形底面和若干个共顶点的三角形棱面所围成的。从棱锥顶点到底面的距离叫做棱锥的高。当棱锥底面为正多边形，各棱面是全等的等腰三角形时，称之为正棱锥。
图2-34所示为四棱锥及其投影，它的底面为水平面，其水平投影反映实形，前后棱面为侧垂面，其侧面投影有积聚性，其水平投影和正面投影为前后棱面的类似形；左右棱面为正垂面，其正面投影有积聚性，其余两投影为左右棱面的类似形。作图时，宜先画出棱锥底面的各投影，然后画出锥顶的各投影，最后将它与底面各顶点的同面投影连接起来即可。
图2-34 四棱锥的投影及面上取点
（2）棱锥表面上取点和取线。设在四棱锥前棱面上有一点C的正面投影c′（图2-34），求其水平投影c和侧面投影c″。利用前棱面的侧面投影有积聚性，可先求出c″，然后由YWC=YHC和c求得c。若只给出四棱锥的正面投影和水平投影，且有一点D在前棱面上，d′为已知，求d时，须在该棱面上过D作一辅助线（如K M），即先过d′作k′m′，然后求km，则d必在km上，如图2-34所示。