模块五 回转体的三视图

一、任务描述

学生已经掌握了简单几何图形的视图，初步理解了三种视图的概念，具备了绘制三视图的基本功。具备了初步的解决实际问题的能力，感受到数学与生活的密切联系，为本节学习打下了良好的基础。本节课是以前课程的延伸，在实际问题中，能够利用三视图之间的联系与区别，解决不同的问题。

学习目标：

（1）掌握常见回转体体（圆柱、圆锥、球）的投影特征。

（2）掌握回转体三视图的作图步骤。

（3）通过有关的学习中，培养学生对回转体的观察能力和分析能力。

（4）培养学生运用投影规律分析物体投影特性的能力。

学习重点：

（1）基本回转体的投影分析。

（2）基本回转体的三视图画法。

二、任务实施

任务1：圆柱体与表面点、线

（1）设已知从属于圆柱面上点K的正面投影，试求其他两个投影，如图2-35。

由于（k′）不可见，故点K在圆柱面后半部，又因圆柱面的水平投影有积聚性，故点K的水平投影k必落在后半圆周的水平投影上。根据（k′）及k即可求出k″，由于点k又在圆柱左半部，故其侧面投影k″为可见。

（2）补画圆柱的侧面投影，并求作圆柱面上线段ABC的其余两投影，如图2-36（a）。

分析：线段ABC是前半个圆柱面上的一段曲线，点A和点B分别在圆柱的最左、最前素线上，处于特殊位置，点C处在圆柱面上的一般位置。

作图步骤：

（1）补画圆柱的侧面投影；

（2）点A、B、C的水平投影均积聚在圆周上，根据点的投影规律分别确定其水平投影和侧面投影；

（3）为使作图更准确，需在曲线ABC上取若干点（如点Ⅰ、Ⅱ），并求出相应的水平投影和侧面投影；

（4）区分可见性，依次光滑连点成线，见图2-36（b）。

任务2：圆锥体投影与表面点、线

已知圆锥面上曲线AE的正面投影a′e′（图2-37），试求其他两投影。

分析：将曲线AE看成由n个点（如5个点）组成，由于a′e′可见，故曲线AE在圆锥前半部。作图：利用辅助纬圆法分别求出A、B、C、D、E五个点的其他两投影，然后依次连接成光滑曲线，点C（c, c′, c″）属于圆锥面的左视转向线S1, c″在s″1″上，点C把曲线分成两部分，曲线CE在圆锥面的左半部分，其侧面投影c″e″为可见，画成粗实线；曲线AC在圆锥面的右半部，其侧面投影a″c″不可见，画成虚线，因此c″是曲线侧面投影可见与不可见部分的分界点。

任务3：圆球体投影与表面点、线

已知半球面上点A及线段BC、CD的正面投影，补画半球的水平投影，并求点、线的其余两投影，如图2-38（a）。

点A是主子午线上的点，此点为特殊点，可直接求得其余两投影。线段BC是球面上平行于赤道圆的一段圆弧，其水平投影仍是一段圆弧，侧面投影是一段直线；线段CD是圆球面上倾斜于水平投影面和侧立投影面的一段圆弧，其水平投影和侧面投影均为一段椭圆弧；点C是特殊点，可直接求得c和c″。点D属一般点，需通过作辅助圆求d和d″。为了作图准确起见，必须在圆弧CD上再取若干一般点（如点Ⅰ、Ⅱ），并采用辅助圆法求出它们的其余两投影，然后依次光滑连线。圆弧CD在右半球面上，其侧面投影为不可见，如图2-38（b）所示。

三、知识链接

1．曲面立体的投影

曲面立体是由曲面或曲面和平面围成的，常见的曲面立体有圆柱、圆锥、圆球和圆环。这些曲面都是由母线（直线或圆）绕某一轴线旋转而成的，所以又称为回转体。常见的四种回转面的形成方式见表2-8。

（1）圆柱。

圆柱的投影：圆柱是由圆柱面及顶、底平面围成的。圆柱面可看成是由一平行于轴线的直线母线绕轴线旋转而成的[如图2-39（a）]，它的三面投影见图2-39（b）。该圆柱的轴线垂直于水平面，顶面和底面均为水平面，故其水平投影反映实形；圆柱面的水平投影积聚为一个圆周，圆柱面上任何点和线的投影都积聚在该圆周上。正面投影中，上下两外形线分别是圆柱的顶面和底面有积聚性的投影，左右两外形线分别是圆柱面上最左、最右两素线的投影，最左、最右素线在水平投影中均积聚成一点，而在侧面投影中都重合在圆柱轴线的投影上。侧面投影中，左右两外形线分别为圆柱的最后、最前素线的投影。

关于可见性问题，对正面投影来说，前半个圆柱面是可见的；在侧面投影，左半个圆柱面是可见的。

圆柱表面上取点和取线：

当圆柱面的回转轴线垂直于某一投影面时，则圆柱面在该投影面上的投影具有积聚性，利用这一投影性质，在圆柱面上取点、取线的作图比较简便。

（2）圆锥。

圆锥的投影：圆锥是由圆锥面和底平面围成的。圆锥面可看成是由一与轴线相交的直母线绕轴线回转而成的，如图2-40（a）所示。图2-40（b）为轴线垂直于H面的圆锥的投影。

由图2-40（b）可见，圆锥面的三面投影都没有积聚性，正面投影和侧面投影中的左右外形线分别是圆锥面上最左、最右素线和最后、最前素线的投影，水平投影中圆的范围既是圆锥底面的投影，也是圆锥面的投影。

圆锥面上取点和取线：

由于圆锥面的投影没有积聚性，故在圆锥面上取点、取线，必须通过在圆锥面上作辅助线的方法求解。既可过锥顶作直素线为辅助线，也可作纬圆为辅助线。如已知圆锥面上点K的正面投影k′，试求其他两投影时，具体作法如下。

（1）过锥顶的素线法[图2-41（b）]：

①由锥顶s′过k′作直线s′k′并延长交底圆的投影于e′；

②求出点E的水平投影e，并连se；

③按点的投影规律在se上作K的水平投影k；

④根据k′和k便可求得k″。

（2）辅助纬圆法[图2-41（c）]：

①过k′作直线垂直于轴线的投影且与外形线相交于e′，与轴线的投影相交于o′，则o′e′为辅助纬圆的半径；

②在水平投影中，以o为圆心，o′c′为半径画圆，即是辅助纬圆的投影；

③根据k′在辅助圆周上即可得k；

④由k′和k，便可作出侧面投影k″。

（3）圆球。

圆球的投影：一圆母线绕其通过圆心的轴线（直径）回转后形成的曲面称为圆球面，圆球面所围成的立体称圆球体，如图2-42（a）所示。圆球的三面投影如图2-42（b），它们都是与球直径相等的圆。这三个圆分别为球面上平行于各投影面的最大圆的投影。其中，正面投影上的圆是前半球与后半球分界线（即主子午线）的投影，与它对应的水平投影重合在平行于X轴的中心线上，侧面投影重合在平行于Z轴的中心线上。至于水平投影、侧面投影上的圆及与之对应的其余两投影的位置，读者可自行分析。

圆球面上取点和取线：在圆球面上取点时，通常只能在球面上作辅助线圆，即可分别作出平行于三个投影面的圆。如图2-43中的点A, A，已知正面投影a′，求a和a″时，可过点A作平行于H面的圆为辅助圆，也可过A作平行于W面或平行于V面的圆为辅助圆，图中是通过A作平行于H面的辅助圆而获得a和a″。点B是处于主子午线上的特殊点，已知正面投影b′，可直接求得b和b″。

（4）圆环。圆环是由环面围成的。环面可看作圆绕与圆共面但不过圆心的轴线旋转而成。图2-44（a）为轴线垂直于H面的圆环的投影，靠近轴的半个环面为内环面，远离轴的半个环面称为外环面。图2-44（b）为圆环的三面投影。