2.1 Pawlak粗糙集

设U是一个有限非空论域，R是U上的等价关系（满足自反性、对称性和传递性），记为R⊆U×U，则关系系统（U, R）称为一个近似空间。如果x, y∈U，且（x, y）∈R，那么x和y属于相同的等价类，这时说x和y在（U, R）上是不可区分的，关系R也称为一个不可区分关系。

论域U中所有与x∈U具有等价关系R的元素的集合，称为包含元素x的R等价类，记为[x]R={y∈U:（x, y）∈R}。

商集U/R={[x]R:x∈U}是等价关系R将论域U进行划分，所得的等价类的集合。即存在x1, x2, …, xn∈U，使得U=[x1]R∪[x2]R∪…∪[xn]R，其中[xi]R∩[xj]R=∅, i, j=1,2, …, n, i≠j。

给定X⊆U，要用U/R中的元素来描述、表达X，不一定能精确地进行。

为此，Pawlak引进了两个精确集，用下近似集和上近似集来界定和表述目标集合X。

定义2.1（Pawlak粗糙集）[1][2]设R是论域U上的等价关系，对集合X⊆U，偶对（,）称为X在Pawlak近似空间（U, R）上的一个粗糙近似，其中

,分别称为X的R下近似集和R上近似集。若，则称X为R粗糙集；否则X为R可定义集。

集合称为X的R边界域；称为X的R正域称为X的R负域。

简单地说，下近似集是根据关系R肯定属于集合X的U中的元素的集合，上近似集是根据关系R可能属于集合X的U中的元素的集合。

以上是经典的Pawlak粗糙集模型。由于其核心在于下近似、上近似概念上的研究，所以常常也把偶对R,）称为X的粗糙集。

定理2.1[1][2]设（U, R）为近似空间，则任意A, B⊆U，有下列性质成立：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）；

（6）；

（7）。