2.2 模糊集与模糊粗糙集

模糊现象是指边界不清楚，在质上没有确定性的含义，在量上没有确切界限的事物的一种客观属性，是事物之间的差异存在一定的中间过渡的结果。在现实生活中模糊现象比较普遍，例如，“青年人”、“中年人”、“老年人”、“身高高”、“身高一般”和“身高低”等。因此研究模糊粗糙集对于在模糊信息系统中解决问题有很大的帮助。

2.2.1 模糊集与截集

设U是一个有限非空论域。若F是论域U到[0,1]的一个映射，即

则称F是论域U上的模糊集。F（x）称为模糊集F的隶属函数，或称为x对模糊集F的隶属度。

论域U上全体模糊集的集合，记为F（U）。

设A, B∈F（U），若∀x∈U, A（x）≤B（x），则称B包含A，并记为A⊆B，或B⊇A；若∀x∈U, A（x）=B（x），则称A与B相等，记为A=B。若A⊆B，但是A≠B，则称B真包含A，并记为A⊂B，或B⊃A。

设A, B∈F（U）, ∀x∈U，模糊集A∪B, A∩B分别称为A与B的并和交，其隶属函数分别为

（A∪B）（x）=max{A（x）, B（x）}=A（x）∨B（x）

（A∩B）（x）=min{A（x）, B（x）}=A（x）∧B（x）

模糊集AC为A的补集，∀x∈U,（AC）（x）=1-A（x）。

给定α∈[0,1]，模糊集F的α-截集定义为：Fα={x∈U:F（x）≥α}。模糊集F的强α-截集定义为：Fα+={x∈U:F（x）＞α}。

设λ∈[0,1], F∈F（U），定义λF∈F（U），称λF为λ与F的数积。其隶属函数为：λF（x）=λ∧F（x）, x∈U。

定理2.2（分解定理） 设F∈F（U），则，或。

2.2.2 模糊粗糙集

设U和V为两个非空有限论域，F为从X到Y的一个模糊关系，二元组（U, F）称为模糊信息系统。

定义2.2 在模糊信息系统（U, F）中，∀Y⊆V，设I=[0,1]为单位区间，α∈I。其定义分别为

偶对（,）称为X在模糊近似空间（U, F）上的一个粗糙近似，其中和分别称为X在阈值α下的F下近似集和F上近似集。若，则称X为在阈值α下的F粗糙集；否则X为在阈值α下的F可定义集。

定义2.2是利用模糊截集将模糊信息系统转化为一般信息系统进行处理，在现实生活中有广泛的应用。目前理论研究文献中所引用的模糊粗糙集的概念，大多是指Dubois和Prade[54]的定义。Dubois模型[54]起源于Willaets和Malvache对模糊等价关系与模糊分类的研究。

首先介绍一下模糊等价关系：设R为模糊关系，若R满足以下3个条件，则模糊关系R为模糊等价关系：

（1）自反性：∀x∈U, R（x, x）=1；

（2）对称性：∀x, y∈U, R（x, y）=R（y, x）；

（3）传递性：∀x, y, z∈U, R（x, z）≥min{R（x, y）=R（y, z）}。

定义2.3（Dubois and Prade）[54]设（U, R）是模糊近似空间，即R是论域U上的一个模糊等价关系。任意模糊集F∈F（U）, F在空间（U, R）上的下近似、上近似是U上的模糊集，其隶属函数分别为：

与Pawlak粗糙集相比，Dubois模型的不同之处在于：

（1）被近似对象由经典集X换为模糊集F；

（2）等价关系R推广为模糊等价关系。

定义2.4（吴伟志等）[80]设U, W是两个非空论域，R是U到W的模糊关系，三元组（U, W, R）是一个广义模糊近似空间。任意模糊集F∈F（U）, F在近似空间（U, W, R）的下近似、上近似是U上的模糊集，即,∈F（U），其隶属函数分别为：

偶对（,）称为广义模糊粗糙集。

当论域U=W时，吴伟志模型转化为Dubois模型。

定义2.5 设模糊关系R∈F（U×W），则三元组（U, W, R）是一个广义模糊近似空间。定义,:F（U）→F（U）为空间（U, W, R）上的模糊近似算子，∨F∈F（W）, x∈U，则

映射,分别被称为广义模糊下近似算子和广义模糊上近似算子，（,）称为F的广义模糊粗糙集。这里θ, σ定义如下：

θ（x, y）=sup{λ∈[0,1]:T（x, λ）≤y}

σ（x, y）=inf{λ∈[0,1]:S（x, λ）≥y}

其中S和T是对偶的，它们的描述如下：

（1）映射T:[0,1]2→[0,1]，如果满足：

① 交换律：T（x, y）=T（y, x）, ∀x, y∈[0,1]；

② 结合律：T（T（x, y）, z）=T（x, T（y, z））, ∀x, y, z∈[0,1]；

③ 单调性：x1≤x2, y1≤y2⇒T（x1, x2）≤T（y1, y2）, ∀x1, x2, y1, y2∈[0,1]；

④ 边界条件：T（x,1）=x, ∀x∈[0,1]。

则称T为t-模（triangular norm）。T（x, y）也可以写成xTy。

常见的t-模有：

① 标准min运算：TM（x, y）=min{x, y}（最大的t-模，即模糊逻辑运算∧）；

② 代数积：TP（x, y）=x*y；

③ Lukasiewicz t-模：TL（x, y）=max{0, x+y-1}。

（2）映射S:[0,1]2→[0,1]，如果满足：

① 交换律：S（x, y）=S（y, x）, ∀x, y∈[0,1]；

② 结合律：S（S（x, y）, z）=S（x, S（y, z））, ∀x, y, z∈[0,1]；

③ 单调性：x1≤x2, y1≤y2⇒S（x1, x2）≤S（y1, y2）, ∀x1, x2, y1, y2∈[0,1]；

④ 边界条件：S（x,0）=x, ∀x∈[0,1]。

则称S为t-余模（triangular conorm，也常称为s-模）。S（x, y）也可以写成xSy。

常见的s-模有：

① 标准max运算：SM（x, y）=max{x, y}（最小的-t余模，即模糊逻辑运算∨）；

② 概率和：SP（x, y）=x+y-x*y；

③ 有界和：SL（x, y）=min{1, x+y}。

吴伟志模型的特点有两个论域，某论域中模糊集的粗糙近似是另一个论域中的模糊集。定义2.3、定义2.4和定义2.5是基于模糊集隶属函数和模糊蕴涵算子的，理论研究较多，但是在实际生活中的应用较少。