四、模拟试题

A组

一、填空题（本题共5小题，每题3分，共15分）

1．设随机变量X服从参数为（2, p）的二项分布，随机变量Y服从参数为（3, p）的二项分布，若P{X≥1}=59，则P{Y≥1}=______.

2．设离散型随机变量X的概率分布为P{X=k}=αβ k（k=1,2, …），且α＞0，则β=______.

3．设以Y表示对X的3次独立重复观察中事件出现的次数，则P{Y=2}= .

4．已知X的概率密度函数为

且P{a＜X＜b}=0.5，则a=______,b=______.

5．设X服从参数为λ的泊松分布，且P{X=2}=P{X=4}，则λ=______.

二、选择题（本题共5小题，每题3分，共15分）

1．随机变量X在区间（ ）上取值，f（x）=sinx可以成为随机变量X的概率密度函数．

B.[0, π]；

D.[0,2π].

2．设随机变量X服从正态分布 服从正态分布 ，且P{|X-μ1|＜1}＞P{|Y-μ2|＜1}，则必有（ ）.

A.σ1＜σ2；

B.σ1＞σ2；

C.μ1＜μ2；

D.μ1＞μ2.

3．设X的概率密度函数为f（x），且f（-x）=f（x）, F（x）是X的分布函数，则对任意实数a，有（ ）.

C.F（-a）=F（a）；

D.F（-a）=2F（a）-1.

4．设X～N（0,1），则方程t2+2Xt+4=0没有实根的概率为（ ）.

A.2Φ（1）-1；

B.2Φ（2）-1;

C.Φ（2）；

D.2Φ（2）+Φ（-2）.

5．设随机变量X服从参数为的指数分布，则P{2＜X＜8}=（ ）.

三、计算题（共70分）

1．设10件同类型的零件中有2件次品，现从中任取1件，若为次品，则不再放回，从其余零件中再取1件，如此继续，直到取到合格品为止，试求：

（1）抽取次数的概率分布；

（2）至多抽取两次的概率．（10分）

2．设随机变量X的密度函数为

且P{1＜X＜2}=P{2＜X＜3}，求常数A, B，并计算X的分布函数F（x）及概率P{2＜X＜4}. （10分）

3．设某科统考的学生成绩X近似服从N（70,152），第100名的成绩为55分，问第20名的成绩约为多少分？（10分）

4．（1995年数五）假设一电路装有三个同种电气元件，其工作状态相互独立，且无故障

工作时间都服从参数为λ＞0的指数分布．当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个

电路不能正常工作．试求电路正常工作的时间T的概率分布．（10分）

5．甲袋中有2个白球，乙袋中有2个黑球，每次从各袋中分别任取一球交换后放入另

一袋中，共交换3次，用X表示3次交换后甲袋中的白球数，求X的概率分布．（15分）

6．设X～N（0,1）.（1）求Y=eX的概率密度；（2）求Y=2X2+1的概率密度．（15分）

B组

一、填空题（本题共5小题，每题3分，共15分）

1．设随机变量X的概率分布为 ，则a=.

2．设随机变量X的密度函数为且已知，则θ= .

3．抛一枚硬币，出现正面的概率为p，出现反面的概率为q=1-p，设随机变量X为一直抛到正面和反面都出现为止所需要的次数，则X的概率分布为 .

4．设随机变量的分布函数为

则P{X=0.6}= .

5．设X～N（3,22）, P{X＞k}=P{X≤k}，则k= .

二、选择题（本题共5小题，每题3分，共15分）

1．若随机变量X的可能取值充满区间（ ），而在此区间外取值的概率为零，则f（x）=cosx可成为X的密度函数．

A.[0, π]；

2．（1995年数四、数五）设随机变量X服从正态分布，则随σ的增大，概率P{|X-μ|＜σ}=（ ）．

A．单调增大；

B．单调减小；

C．保持不变；

D．增减不定．

3．设X的分布函数为

则有（ ）.

A.A=1, P{X=1}=0, P{X=0}=0；

C.0≤A≤1, P{X=1}＞0, P{X=0}＞0；

D.0≤A≤1, P{X=1}=1-A, P{X=0}=0.

4．（1993年数五）设随机变量X与Y均服从以下正态分布：

X～N（μ,42）,Y～N（μ,52）.

而p1=P{X≤μ-4}, p2=P{Y≥μ+5}，则（ ）.

A．对任何实数μ，都有p1＜p2；

B．对任何实数μ，都有p1=p2；

C．只有对μ的个别值，才有p1=p2;

D．对任何实数μ，都有p1＞p2.

5．设随机变量X的密度函数为

则Y=X2服从（ ）.

A．参数为1的指数分布；

B．参数为2的指数分布；

C．参数为0,1的均匀分布；

D．参数为0,2的均匀分布．

三、计算题（共70分）

1．如果在时间t（分钟）内，通过某交叉路口的汽车数量服从参数与t成正比的泊松分布．已知在一分钟内没有汽车通过的概率为0.2，求在2分钟内有多于一辆汽车通过的概率．（10分）

2．已知随机变量X服从正态分布N（μ, σ2），且方程x2+x+X=0有实根的概率为，求未知参数μ.（10分）

3．某种抽样调查结果表明：考生外语成绩（百分制）近似服从正态分布N（μ, σ2），平均成绩为72分．如果σ未知，但已知96分以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率．（10分）

4．一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5．在袋中同时取3只，以X表示取出的3只球中最大号码，写出随机变量X的分布律．（10分）

5．（1997年数三）设随机变量X的绝对值不大于1, ，在事件{-1＜X＜1}出现的条件下，X在（-1,1）内的任一子区间上取得的条件概率与该子区间的长度成正比，求X的分布函数．（15分）

6．（1）设随机变量X的概率密度为f（x）（-∞＜x＜+∞），求Y=X3的概率密度．

（2）设随机变量X的概率密度为

求Y=X2的概率密度．（15分）