- 经济数学—概率论与数理统计学习辅导(高等学校经济管理数学基础辅导系列)
- 李延敏 于卓熙等
- 13字
- 2024-11-02 15:55:34
第三章 多维随机变量及其分布
一、知识要点
(一)二维随机变量及其分布
1.二维随机变量及其联合分布函数
设(X, Y)是二维随机变量,对于任意实数x和y,二元函数F(x, y)=P{X≤x, Y≤y}称为二维随机变量(X, Y)的分布函数,或称为随机变量X和Y的联合分布函数.
(X, Y)的分布函数F(x, y)具有下述性质.
(1)F(x, y)是变量x和y的不减函数,即对于任意固定的y,当x1<x2时,有F(x1, y)≤F(x2, y);对于任意固定的x,当y1<y2时,有F(x, y1)≤F(x, y2).
(2)0≤F(x, y)≤1,
对于任意固定的
对于任意固定的
![](https://epubservercos.yuewen.com/1A97F7/12738942104014106/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0086_0003.jpg?sign=1734450059-i995CCEtkBZX9D1fz8ORWV62n2ePLZBv-0-0632a11128b2fbc9d9e03cda18f32c62)
(3)F(x, y)关于x右连续,关于y右连续,即对任意固定的 F(x0,y);对任意固定的
(4)对任意x1<x2∈R, y1<y2∈R,有
F(x2, y2)-F(x1, y2)-F(x2, y1)+F(x1, y1)≥0.
任意满足上述四个条件的二元函数F(x, y),都可作为某二维随机变量的分布函数.
2.二维离散型随机变量
如果二维随机变量(X, Y)的所有可能取值是有限对或无限可列多对,则称(X, Y)为二维离散型随机变量.
设(X, Y)的所有可能取值为(xi, yj), i, j=1,2, …,则将
P{X=xi, Y=yj}=pij, i, j=1,2, …
称为二维离散型随机变量(X, Y)的概率分布,也称为X与Y的联合概率分布.一般常用下面表格列出:
![](https://epubservercos.yuewen.com/1A97F7/12738942104014106/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0087_0001.jpg?sign=1734450059-h6CDmpWi1UQ2amb6wgdahfMOP3x1E2ZF-0-c80271ad3935d71484681f24e48d9df5)
概率分布满足下面两个性质:
(1)pij≥0, i, j=1,2, ….
(2)
离散型随机变量(X, Y)的分布函数为
![](https://epubservercos.yuewen.com/1A97F7/12738942104014106/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0087_0003.jpg?sign=1734450059-7Xtt4Gdoz5ZDLEtYRNUinZ5X0JHAqOHu-0-a40f1f22e4c87b224dfc0af6a505e26a)
其中表示关于不大于x的一切xi同时关于不大于y的一切yj所对应的pij求和.
3.二维连续型随机变量
设二维随机变量(X, Y)的分布函数为F(x, y),如果存在非负可积函数f(x, y), -∞<x<+∞, -∞<y<+∞,使对任意实数x, y,有
![](https://epubservercos.yuewen.com/1A97F7/12738942104014106/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0087_0005.jpg?sign=1734450059-CB31gTzEVzkAnSfx4WD5pPeFZZJ6Zl3K-0-071edc0e4a1c231af047c4ab86e49304)
则称随机变量(X, Y)为二维连续型随机变量,函数f(x, y)称为(X, Y)的概率密度或称为X, Y的联合概率密度(简称联合密度).
f(x, y)具有下述性质:
(1)f(x, y)≥0.
![](https://epubservercos.yuewen.com/1A97F7/12738942104014106/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0087_0006.jpg?sign=1734450059-zr7EksD0fxMYLmBM3GzS7SCPmA6oZaMC-0-d394790c493cfa39b188ca8ee0deb5a5)
满足(1), (2)的任何一个二元函数f(x, y)都称为二维联合概率密度.
(3)设D是xOy平面上的一个区域,点(X, Y)落在D内的概率为
![](https://epubservercos.yuewen.com/1A97F7/12738942104014106/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0087_0007.jpg?sign=1734450059-NdyWkb1y6t4n9NCG4iEybmD0T3HzD1Yw-0-c811356930f9bedfefb2c9a0c8128ce0)
(4)若f(x, y)在点(x, y)连续,则有
![](https://epubservercos.yuewen.com/1A97F7/12738942104014106/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0087_0008.jpg?sign=1734450059-ce2C93k8DPzF6kGw6g3QpyIGNPPoGVz3-0-3393dc8cf724740a730978613849a17c)
(二)边缘分布
1.边缘分布函数
设(X, Y)的分布函数为F(x, y),则
FX(x)=P{X≤x}=P{X≤x, Y<+∞}=F(x, +∞),
FY(y)=P{Y≤y}=P{X<+∞, Y≤y}=F(+∞, y)
分别称为(X, Y)关于X和Y的边缘分布函数.
2.离散型随机变量的边缘分布律
设(X, Y)的分布律为
P{X=xi, Y=yj}=pij, i, j=1,2, …,
则称
![](https://epubservercos.yuewen.com/1A97F7/12738942104014106/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0088_0001.jpg?sign=1734450059-PRAHDcoTIL1zVBfCKTyEeuQeC3VCTz2R-0-26a4b5b76842a62987646c30038624b4)
为(X, Y)关于X的边缘概率分布,称
p·j=P{y=yj}=∑i pij, j=1,2, …
为(X, Y)关于Y的边缘概率分布.
关于联合分布律与边缘分布律之间的关系可用下表来表示:
![](https://epubservercos.yuewen.com/1A97F7/12738942104014106/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0088_0002.jpg?sign=1734450059-5S2Dnf7ZNaiLpClGBBpvJNm25SducLWG-0-8d25f347cedfb5be6f9bcd5fef68b3bc)
3.二维连续型随机变量的边缘分布
设二维连续型随机变量(X, Y)的概率密度为f(x, y),则关于X的边缘概率密度为 ,关于Y的边缘概率密度为
注意,联合分布决定边缘分布,但反之不成立.
若二维连续型随机变量(X, Y)服从二维正态分布,则其边缘分布为一维正态,且不依赖于参数ρ.
![](https://epubservercos.yuewen.com/1A97F7/12738942104014106/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0088_0005.jpg?sign=1734450059-E54qNOIzVLn1q2myNwRNLesNN48o17rH-0-d657004d6784f01082a95b8ce3c03a32)
(三)条件分布
1.离散型随机变量的条件概率分布
设二维离散型随机变量(X, Y)的概率分布为
pij=P{X=xi, Y=yj}, i=1,2, …, j=1,2, ….
对一切使成立的yj,称
![](https://epubservercos.yuewen.com/1A97F7/12738942104014106/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0089_0002.jpg?sign=1734450059-aWMB3IuqdORgzhq5r7ebdiuyHYauKIJT-0-81eef86ee0731caa5fdf71f354d12f78)
为在给定Y=yj条件下X的条件概率分布.
对一切使成立的xi,称
![](https://epubservercos.yuewen.com/1A97F7/12738942104014106/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0089_0004.jpg?sign=1734450059-2wg78y1ZzbPjAFjIVJWY390V5jZKxFcx-0-a98ad41b5aca039a48e25611888333db)
为在给定X=xi条件下Y的条件概率分布.
2.连续型随机变量的条件分布
设(X, Y)为二维连续型随机变量,它的概率密度为f(x, y),其边缘概率密度分别为fX(x), fY(y),则在条件Y=y下,X的条件分布函数为
![](https://epubservercos.yuewen.com/1A97F7/12738942104014106/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0089_0005.jpg?sign=1734450059-uz26sbb4bt7f7K5YmGg9pZml68wAXMCh-0-634319b69180b4b7b5659bc38e24d121)
在条件X=x下,Y的条件分布函数为
![](https://epubservercos.yuewen.com/1A97F7/12738942104014106/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0089_0006.jpg?sign=1734450059-TFuV8czyJsxdImAMMN1fuMBL3grI8N4d-0-8fb44880d592b751e5844e27c08c0c4c)
在条件Y=y下,X的条件概率密度为
![](https://epubservercos.yuewen.com/1A97F7/12738942104014106/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0089_0007.jpg?sign=1734450059-xJPeFJ6xtLH3gf2HCvGgkfcIQs9fFM1s-0-6eb9490faef2b832c0d8a94d3bc3c32d)
在条件X=x下,Y的条件概率密度为
![](https://epubservercos.yuewen.com/1A97F7/12738942104014106/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0089_0008.jpg?sign=1734450059-vycLbpYAFsU6ARme59AeWWVuHLI81ghx-0-7a4c5893a174f38ca3224e05d5eff521)
(四)随机变量的独立性
设F(x, y)及FX(x), FY(y)分别是二维随机变量(X, Y)的分布函数及边缘分布函数,若对于所有的x, y,有
P{X≤x, Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y},
即
F(x, y)=FX(x)FY(y),
则称随机变量X和Y是相互独立的.
(1)设离散型随机变量(X, Y)的分布律为
pij=P{X=xi, Y=yj}, i=1,2, …, j=1,2, …,
其边缘概率分布分别为pi·和p·j, i, j=1,2, …,则
X与Y相互独立⇔pij=pi·p·j(对任意的i, j都成立).
(2)设连续型随机变量(X, Y)的概率密度为f(x, y),其边缘概率分别为fX(x), fY(y),则
X与Y相互独立⇔f(x, y)=fX(x)fY(y)(对任意的(x, y)∈R都成立).
(3)如果X与Y相互独立,它们的连续函数g(X)与h(Y)也一定独立.特别地,两个独立随机变量的线性函数aX+b与cY+d(ac≠0)也是独立的.
(五)随机变量函数的分布
1.离散型随机变量函数的分布
设(X, Y)是二维离散型随机变量,其概率分布为
pij=P{X=xi, Y=yj}, i=1,2, …, j=1,2, …,
则Z=g(X, Y)也是离散型随机变量.如果z=g(x, y)对于不同的(xi, yj)有不同的函数值,则Z=g(X, Y)的概率分布为
P{Z=zk}=P{g(X, Y)=zk}=P{X=xi, Y=yj}=pij, i, j, =1,2, ….
如果z=g(x, y)对于不同的(xi, yj)有相同的函数值,则把这些相同值对应的概率之和作为Z取这一数值的概率.
2.连续型随机变量函数的分布
设二维连续型随机变量(X, Y)的联合概率密度为f(x, y),则Z=g(X, Y)的分布函数为
![](https://epubservercos.yuewen.com/1A97F7/12738942104014106/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0090_0001.jpg?sign=1734450059-ZGGCogkih1qRNOvE63MpMOi82wmRdfAU-0-24bd4e595fcbf20e8616f3ed184abc83)
Z的概率密度为.
(1)Z=X+Y的分布为
![](https://epubservercos.yuewen.com/1A97F7/12738942104014106/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0090_0003.jpg?sign=1734450059-kkcFS4Pz6dgGFIWjMeLQd0jzXSTW1pCb-0-8a17d8b0e43aa31d98e4c9336d081e8c)
如果X与Y相互独立,则
![](https://epubservercos.yuewen.com/1A97F7/12738942104014106/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0090_0004.jpg?sign=1734450059-3tv6s1z6Lb7x1bK0pZrudUoDcvjO9duQ-0-66ba91b5686946455b23d68e00831035)
或
![](https://epubservercos.yuewen.com/1A97F7/12738942104014106/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0090_0005.jpg?sign=1734450059-uqZlgnsckKQp31VLnfIXXUiE7DboJQfn-0-5ecdfa45abb89c3e5ad6317eb73045fb)
这两个公式称为卷积公式.
由卷积公式可得
① 设随机变量X与Y相互独立,且 ,则
![](https://epubservercos.yuewen.com/1A97F7/12738942104014106/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0090_0007.jpg?sign=1734450059-ncZbublXl0xZNH7fKVZAoVj5bK38DX4q-0-e8aec7fa246b865647e839d57e3b6b07)
② 如果随机变量 , …, n,且X1, X2, …, Xn相互独立,则有
![](https://epubservercos.yuewen.com/1A97F7/12738942104014106/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0090_0009.jpg?sign=1734450059-rsE4qwd0M67X5Pv2RUEz4A0qRWUTVIXH-0-67d07e848d9195e1a010494e5b04c842)
③ 如果随机变量 , …, n,且X1, X2, …, Xn相互独立,任意常数a1, a2, …, an不全为零,则有
![](https://epubservercos.yuewen.com/1A97F7/12738942104014106/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0090_0011.jpg?sign=1734450059-pRviidKCxSUTMGk8zAQTDu3upIbHMoU1-0-368a84370965841c571128deba112ea9)
(2)的分布为
![](https://epubservercos.yuewen.com/1A97F7/12738942104014106/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0091_0002.jpg?sign=1734450059-kUEfsDIlh67NHdVNWM4WGmOzMJdnFlZF-0-657e1e0368e6f7d66f0be6e071ae99a9)
如果X与Y相互独立,则
![](https://epubservercos.yuewen.com/1A97F7/12738942104014106/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0091_0003.jpg?sign=1734450059-P07BbtCeYa5bw7ZB35E2QCARRhtoGn1c-0-5407aa65490bd654aada5bbab7d49b33)
(3)M=max{X, Y}, N=min{X, Y}的分布分以下几种情况.
① 当X与Y相互独立时,则
F m ax(z)=F X(z)FY(z),
F m in(z)=1-[1-F X(z)][1-FY(z)].
② 当X1, X2, …, Xn相互独立时,则
F m ax(z)=FX 1(z)FX 2(z)…FX n(z),
F m in(z)=1-[1-FX 1(z)][1-FX 2(z)]…[1-FX n(z)].
③ 当X1, X2, …, Xn独立同分布时,则
Fm ax(z)=[F(z)]n,
Fm in(z)=1-[1-F(z)]n.
(六)常见的二维分布
1.均匀分布
设G是平面上的有界区域,其面积为S,若(X, Y)具有概率密度
![](https://epubservercos.yuewen.com/1A97F7/12738942104014106/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0091_0004.jpg?sign=1734450059-ZsfzTPdUwcrsTtou4B1oLryynPRocn9T-0-ae6c0160ff0cfec345a1d2a121034aca)
则称(X, Y)在G上服从均匀分布.
2.二维正态分布
设二维随机变量(X, Y)的概率密度为
![](https://epubservercos.yuewen.com/1A97F7/12738942104014106/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0091_0005.jpg?sign=1734450059-CtuS3J3lRth60NcZWV1DVEIlLX3fPQnC-0-1ff0ef0ade2b4e734269f41d1ff0c0a8)
其中μ1, μ2, σ1, σ2, ρ都是常数,-1<ρ<1, σ1>0, σ2>0,则称(X, Y)服从参数为μ1, μ2, σ1, σ2, ρ的二维正态分布.