第三章 多维随机变量及其分布

一、知识要点

（一）二维随机变量及其分布

1．二维随机变量及其联合分布函数

设（X, Y）是二维随机变量，对于任意实数x和y，二元函数F（x, y）=P{X≤x, Y≤y}称为二维随机变量（X, Y）的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数．

（X, Y）的分布函数F（x, y）具有下述性质．

（1）F（x, y）是变量x和y的不减函数，即对于任意固定的y，当x1＜x2时，有F（x1, y）≤F（x2, y）；对于任意固定的x，当y1＜y2时，有F（x, y1）≤F（x, y2）.

（2）0≤F（x, y）≤1，

对于任意固定的

对于任意固定的

（3）F（x, y）关于x右连续，关于y右连续，即对任意固定的 F（x0，y）；对任意固定的

（4）对任意x1＜x2∈R, y1＜y2∈R，有

F（x2, y2）-F（x1, y2）-F（x2, y1）+F（x1, y1）≥0.

任意满足上述四个条件的二元函数F（x, y），都可作为某二维随机变量的分布函数．

2．二维离散型随机变量

如果二维随机变量（X, Y）的所有可能取值是有限对或无限可列多对，则称（X, Y）为二维离散型随机变量．

设（X, Y）的所有可能取值为（xi, yj）, i, j=1,2, …，则将

P{X=xi, Y=yj}=pij, i, j=1,2, …

称为二维离散型随机变量（X, Y）的概率分布，也称为X与Y的联合概率分布．一般常用下面表格列出：

概率分布满足下面两个性质：

（1）pij≥0, i, j=1,2, ….

（2）

离散型随机变量（X, Y）的分布函数为

其中表示关于不大于x的一切xi同时关于不大于y的一切yj所对应的pij求和．

3．二维连续型随机变量

设二维随机变量（X, Y）的分布函数为F（x, y），如果存在非负可积函数f（x, y）, -∞＜x＜+∞, -∞＜y＜+∞，使对任意实数x, y，有

则称随机变量（X, Y）为二维连续型随机变量，函数f（x, y）称为（X, Y）的概率密度或称为X, Y的联合概率密度（简称联合密度）.

f（x, y）具有下述性质：

（1）f（x, y）≥0.

满足（1）, （2）的任何一个二元函数f（x, y）都称为二维联合概率密度．

（3）设D是xOy平面上的一个区域，点（X, Y）落在D内的概率为

（4）若f（x, y）在点（x, y）连续，则有

（二）边缘分布

1．边缘分布函数

设（X, Y）的分布函数为F（x, y），则

FX（x）=P{X≤x}=P{X≤x, Y＜+∞}=F（x, +∞），

FY（y）=P{Y≤y}=P{X＜+∞, Y≤y}=F（+∞, y）

分别称为（X, Y）关于X和Y的边缘分布函数．

2．离散型随机变量的边缘分布律

设（X, Y）的分布律为

P{X=xi, Y=yj}=pij, i, j=1,2, …，

则称

为（X, Y）关于X的边缘概率分布，称

p·j=P{y=yj}=∑i pij, j=1,2, …

为（X, Y）关于Y的边缘概率分布．

关于联合分布律与边缘分布律之间的关系可用下表来表示：

3．二维连续型随机变量的边缘分布

设二维连续型随机变量（X, Y）的概率密度为f（x, y），则关于X的边缘概率密度为 ，关于Y的边缘概率密度为

注意，联合分布决定边缘分布，但反之不成立．

若二维连续型随机变量（X, Y）服从二维正态分布，则其边缘分布为一维正态，且不依赖于参数ρ.

（三）条件分布

1．离散型随机变量的条件概率分布

设二维离散型随机变量（X, Y）的概率分布为

pij=P{X=xi, Y=yj}, i=1,2, …, j=1,2, ….

对一切使成立的yj，称

为在给定Y=yj条件下X的条件概率分布．

对一切使成立的xi，称

为在给定X=xi条件下Y的条件概率分布．

2．连续型随机变量的条件分布

设（X, Y）为二维连续型随机变量，它的概率密度为f（x, y），其边缘概率密度分别为fX（x）, fY（y），则在条件Y=y下，X的条件分布函数为

在条件X=x下，Y的条件分布函数为

在条件Y=y下，X的条件概率密度为

在条件X=x下，Y的条件概率密度为

（四）随机变量的独立性

设F（x, y）及FX（x）, FY（y）分别是二维随机变量（X, Y）的分布函数及边缘分布函数，若对于所有的x, y，有

P{X≤x, Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y}，

即

F（x, y）=FX（x）FY（y），

则称随机变量X和Y是相互独立的．

（1）设离散型随机变量（X, Y）的分布律为

pij=P{X=xi, Y=yj}, i=1,2, …, j=1,2, …，

其边缘概率分布分别为pi·和p·j, i, j=1,2, …，则

X与Y相互独立⇔pij=pi·p·j（对任意的i, j都成立）.

（2）设连续型随机变量（X, Y）的概率密度为f（x, y），其边缘概率分别为fX（x）, fY（y），则

X与Y相互独立⇔f（x, y）=fX（x）fY（y）（对任意的（x, y）∈R都成立）.

（3）如果X与Y相互独立，它们的连续函数g（X）与h（Y）也一定独立．特别地，两个独立随机变量的线性函数aX+b与cY+d（ac≠0）也是独立的．

（五）随机变量函数的分布

1．离散型随机变量函数的分布

设（X, Y）是二维离散型随机变量，其概率分布为

pij=P{X=xi, Y=yj}, i=1,2, …, j=1,2, …，

则Z=g（X, Y）也是离散型随机变量．如果z=g（x, y）对于不同的（xi, yj）有不同的函数值，则Z=g（X, Y）的概率分布为

P{Z=zk}=P{g（X, Y）=zk}=P{X=xi, Y=yj}=pij, i, j, =1,2, ….

如果z=g（x, y）对于不同的（xi, yj）有相同的函数值，则把这些相同值对应的概率之和作为Z取这一数值的概率．

2．连续型随机变量函数的分布

设二维连续型随机变量（X, Y）的联合概率密度为f（x, y），则Z=g（X, Y）的分布函数为

Z的概率密度为.

（1）Z=X+Y的分布为

如果X与Y相互独立，则

或

这两个公式称为卷积公式．

由卷积公式可得

① 设随机变量X与Y相互独立，且 ，则

② 如果随机变量 , …, n，且X1, X2, …, Xn相互独立，则有

③ 如果随机变量 , …, n，且X1, X2, …, Xn相互独立，任意常数a1, a2, …, an不全为零，则有

（2）的分布为

如果X与Y相互独立，则

（3）M=max{X, Y}, N=min{X, Y}的分布分以下几种情况．

① 当X与Y相互独立时，则

F m ax（z）=F X（z）FY（z），

F m in（z）=1-[1-F X（z）][1-FY（z）].

② 当X1, X2, …, Xn相互独立时，则

F m ax（z）=FX 1（z）FX 2（z）…FX n（z），

F m in（z）=1-[1-FX 1（z）][1-FX 2（z）]…[1-FX n（z）].

③ 当X1, X2, …, Xn独立同分布时，则

Fm ax（z）=[F（z）]n，

Fm in（z）=1-[1-F（z）]n.

（六）常见的二维分布

1．均匀分布

设G是平面上的有界区域，其面积为S，若（X, Y）具有概率密度

则称（X, Y）在G上服从均匀分布．

2．二维正态分布

设二维随机变量（X, Y）的概率密度为

其中μ1, μ2, σ1, σ2, ρ都是常数，-1＜ρ＜1, σ1＞0, σ2＞0，则称（X, Y）服从参数为μ1, μ2, σ1, σ2, ρ的二维正态分布．