2.4　微尺度热学

从微观的角度看，金属膜中热传输的机制是电子与声子之间的相互作用，在介质膜、绝缘体和半导体中热传输则完全取决于声子的散射。因此当空间尺度不断细化时，微器件中使用的各种薄膜的厚度可与其中电子和声子的平均自由程处于相同或更小的数量级上。在薄膜厚度方向上，由于传输能量的电子和声子的数目和输运速度的有限性，温度场将不再连续，温度梯度概念的失效使得传统理论中根据傅立叶定律确定的热流矢量的定义变得模糊不清。

当时间尺度不断细化时，对于热传输的瞬态行为研究，必须考虑声子间的相互作用和声子散射两者各自的影响；还必须注意到温度梯度与热流矢量两者间在时间上的分离现象。

声子的输运速度与温度和介质有关。平均说来，在室温下，声子的速度即声速是在104～105m/s的水平，因此在皮秒（1ps=10-12s）级的平均自由时间内，声子的迁移路程即热量传播深度是在10-8～10-7m的水平，这恰好是亚微米和深亚微米量级。因此，微细空间尺度效应和微细时间尺度效应是不可分开的，必须统一在一个理论框架中。

2.4.1　热传导的尺度效应

（1）热导率的尺度效应

众所周知，热导率是物质的一种与物体的尺寸大小有关的输运性质。已有实验和理论研究表明当物体尺寸减小其热导率将随膜厚的减小而降低，有的甚至可降低1～2个数量级，导热体甚至可变为热绝缘体。例如金刚石薄膜其厚度从30μm减小到5μm时其热导率可降低为原来的1/4。

热导率尺度效应的物理机制来自于两个方面。一是与导热问题中的特征长度有关。设λ是粒子的平均自由程（取决于声子、电子、杂质及缺陷的散射），λc为载热粒子的波长。

①当物体的特征长度L≫λ时，这时傅立叶导热定律适用，称之为宏观区；

②当L≤λ时，显现尺度效应，即随尺寸减小，热导率降低，傅立叶定律不再适用，称之为微观Ⅰ区；

③当L＜λc时，必须考虑量子效应，称之为微观Ⅱ区。

另一方面导热能力与材料中晶粒大小有关。当尺寸减小时，由于工艺等方面的因素，晶粒尺寸随之减小，由于晶粒界面增大，输运能力减弱，热导率也就降低。

（2）导热的波动效应

经典热传导理论是以傅立叶定律为基础的，即

　　（2-19）

式中　q——热流密度；

x——空间坐标；

T——温度；

K——热导率。

在傅立叶定律中，隐含了热流传输速度为无穷大，使温度梯度和热流矢量之间有确定的对应关系，且与时间无关。

而研究热传导的瞬态过程必须考虑系统中热载流子的松弛时间。快速瞬态导热情况下有热流滞后于温度梯度的C-V模型：

　　（2-20）

式中　t——时间；

τ——松弛时间。

附加项意味热流随时间的变化也影响温度梯度。

把上式代入能量方程就能得到一维瞬态导热（温度）方程：

　　（2-21）

式中　a——温导率。

由此双曲方程知热量（温度）以波动方式传播。不同于基于傅立叶导热定律的抛物型导热方程所预示的能量扩散传播方式。

在一般情况下，松弛时间τ的值很小（10-14～10-11s），方程式（2-20）中的热流对时间的导数项和方程式（2-21）中温度对时间的二阶导致项可忽略，式（2-20）退化为傅立叶定律，方程式（2-21）便退化为常规情况下的导热扩散方程。而对于微机电系统，由于其特征时间已达亚纳秒和皮秒量级，传热的波动效应不能忽略，它所产生的更大的最高温度和热应力将影响加工质量和微电子器件的可靠性。

2.4.2　热交换的尺度效应

（1）流动（气体）压缩性效应

由于微细通道内压力降很大，导致流体密度沿程有明显的变化。流体的压缩性不仅会形成加速压降，而且还将改变速度剖面。也就是说即使管子长度与管径比很大，流场和温度场也不会充分发展，使阻力有明显的增加和导致传热的强化。而且当尺度微细后使雷诺数很小时，在微尺度下，衡量流体不可压缩性的判据将变为M2≪Re 而非M2≪1。

（2）界面效应

管道为毫米量级时，重力即可忽略，并称之为微型热管。在微型管道中液体表面张力将起更为重要的影响。在热管研究中表明当反映重力与表面张力之比的Bond数小于2时表面张力起主导作用。此外由于固壁有时带静电，液体可以有极性，静电场的存在会阻碍液体中离子的运动，从而使液体流动阻力增加，也严重影响微细管道中的传热。

（3）气体稀薄效应

气体的稀薄性一般导致气体流动阻力降低和换热减弱，通常用努曾数Kn （分子平均自由程与物体特征长度的比值）表示气体稀薄的程度，即

①自由分子流区：Kn＞1；

②过渡区：0.1＜Kn＜1；

③滑流区：0.01＜Kn＜0.1；

④连续介质区：Kn ＜0.01。

2.4.3　热辐射的尺度效应

在微尺度条件下热辐射不仅与声子自由程λc有关，而且还与光子波长λop和光子相干长度Lc有关。可以把微尺度热辐射问题划分为三个区域。

①L＜Lc时，材料的光学常数与尺度无关，但辐射性质（包括反射、吸收、散热等）则要发生变化；

②L＜λop或L＞Lc时，光学常数尺度发生变化；

③当L＜λc时，光学性质将考虑量子效应。