2.5　切趾（变迹）函数

已经多次提到傅里叶变换光谱学的基本方程（2-8）适合的条件是，干涉仪的动镜必须扫描无限长的距离，而且必须在无限小的光程差间隔中采集数据，才能够得到分辨率无限高、测量区间-∞～+∞cm-1的一张光谱。从2.4节可以知道，商用红外光谱仪采集数据的间隔不是无限小，而且数据点的采集是有限的。由于干涉图的最大光程差受到限制，即被截止。所以傅里叶变换光谱学的基本方程（2-9）必须乘以一个函数，这个函数称为截止函数（或截取函数），以D（δ）表示。方程（2-9）变成

　　 （2-12） 　　

在数学上，函数I（δ）和函数D（δ）乘积的傅里叶变换等于这两个函数分别进行傅里叶变换的卷积。无限长光程差测量的I（δ）的傅里叶变换是个理想的光谱，以B（ν）表示。设截止函数D（δ）的傅里叶变换为f（ν）。数学上，B（ν）和f（ν）的卷积用下式表示：

Bm（ν）=B（ν）*f（ν）　　（2-13）

式中，符号“*”表示卷积。计算这两个函数的卷积，就可以得到实际测量的光谱。

现在来讨论单色光通过干涉仪后得到的干涉图被截止的情况。

单色光是无限窄的调制光，它的干涉图是纯的余弦波，如图2-11（a）所示。它的傅里叶变换结果是一条单色谱线，频率为ν1，如图2-11（b）所示。

因为动镜只移动一定的距离，所以干涉图就变成有限的余弦波（即干涉图被截止），如图2-11（e）所示。如果截止函数是矩形函数（boxcar function），如图2-11（c）所示，它的傅里叶变换结果如图2-11（d）所示。图2-11（b）和图2-11（d）卷积得到输出光谱，如图2-11（f）所示。

从图2-11（f）可以看出，干涉图用矩形函数截取后得到的光谱不是理想的线性光谱，虽然光谱主峰中心位于单色谱线频率ν1处，但是谱带却变宽了许多，而且在主峰的两侧出现了旁瓣振荡。这种旁瓣振荡很像逐渐衰减的余弦波，有正值，也有负值。

主峰两侧的旁瓣像两只脚的“脚趾”，它们的出现往往会掩盖波数ν1两侧的弱光谱信号。因此，必须采取措施抑制这种旁瓣。抑制旁瓣的手段叫“切趾”（apodization）。apodization一词来自拉丁文，意为“cutting off the feet”。

切趾就是将主峰两侧的“脚趾”切除掉。要实现这一点，就要用一个切趾函数（apodization function）代替矩形函数截取干涉图。切趾函数有二十多种，如Happ-Genzel、triangular、Norton-Beer、Blackman-Harris、Trapezoidal、cosine、goussion等。

从图2-11（c）可以看出，用矩形函数作为截止函数时，在截止处，干涉图函数值突然降为零，这导致干涉图在该处出现严重的不连续性。用切趾函数代替矩形函数，目的是为了缓和这种不连续性。一般来说，这个切趾函数在X=0处有极大值1，随着X的增大而减小，并且在X=±Δ/2处取值为0。

当用三角形切趾函数（triangular function）代替矩形函数截取干涉图时，图2-11变成图2-12。

比较图2-11和图2-12，可以看出：①图2-12的输出光谱主峰两侧的旁瓣基本消失，剩余的旁瓣未出现负峰；②图2-12的输出光谱谱带的宽度加大，谱带半高宽加大的结果使光谱的分辨率降低。对于一张红外光谱，谱带加宽而导致光谱分辨率降低一些是可以容忍的，但是，谱带两侧出现旁瓣而干扰微弱红外信号的测定是红外光谱学家不能容忍的。这就是一定要使用切趾函数的原因。

虽然切趾函数有很多种，但是，商用傅里叶变换红外光谱仪中使用的只有几种，而且，各个仪器厂家使用的切趾函数也不尽相同。

使用切趾函数后，“脚趾”虽然被切除掉了，但是，光谱的分辨率却降低了。对于同一个样品的同一个干涉图，使用不同的切趾函数进行傅里叶变换，得到的光谱有些不同，分辨率也有差别，但是差别非常小。所以在大多数情况下，不管使用哪一种切趾函数，得到的光谱都相当相似。

每台傅里叶变换红外仪器通常都设置几种切趾函数可供选择，仪器使用者可以根据不同的需要选择不同的切趾函数。在高分辨率光谱的测试或要求进行光谱定量分析时，推荐使用Norton-Beer Weak切趾函数。在高分辨率红外仪器分辨率检定时，只能采用矩形函数，而不能采用其他切趾函数进行傅里叶变换。在实际红外光谱测定时，则不能采用矩形函数。