第五节 事件的独立性

一、两个事件的独立性

我们知道事件A发生的概率PA)与事件B发生的条件下A发生的条件概率PAB)一般不相同,这正说明随机事件B的发生与否影响了随机事件A的发生.但如果

PAB)=PA

则说明事件B发生对事件A的发生没有影响,下面的例子说明了这种现象是存在的.

例如,从装有2个红球、8个白球的袋中依次任取两个球,第一次取后放回,第二次再取,设B=“第一次取到白球”,A=“第二次取到白球”.由于第一次取后又放回袋中,其样本空间没有变化,所以A发生的概率与B是否发生无关,即PAB)=PA).这就是随机事件的独立性问题.

[定义1] 设AB为两个随机事件,如果PAB)=PA)成立,则称AB是独立的.

容易证明,当AB独立时,BA也是独立的.

根据乘法公式有

PBPAB)=PAPBA

PAB)=PA)代入上式,得

PBPA)=PAPBA

于是可得

PBA)=PB

即事件B对事件A也是独立的,这说明两个事件的独立是“相互的”.

注:两事件互不相容与相互独立是完全不同的两个概念,互不相容是表述在一次随机试验中两事件不能同时发生,而相互独立是表述在一次随机试验中一事件是否发生与另一事件是否发生互无影响.此外,当PA)>0,PB)>0时,则AB相互独立与AB互不相容不能同时发生.进一步还可以证明,若AB即独立又互斥,则AB至少有一个是零概率事件.

定理1 设AB是两事件,若AB相互独立,且PB)>0,则PAB)=PA),反之亦然.

定理2 设AB是两事件,若AB相互独立,则AB也相互独立.

结论 设AB是两事件,若AB相互独立,则有概率公式:

PAB)=PAPB

【例1-5-1】 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记A={抽到K},B={抽到的牌是黑色的},问事件AB是否独立?

解:

得到PA)=PA/B),故事件AB独立.

在实际问题中,事件的相互独立,并不总是需要通过公式的计算来证明,而可以根据具体情况来分析、判断,正如有放回抽样,第二次抽样结果不受第一次抽样结果的影响.只要事件之间没有明显的联系或联系甚微,我们就可以认为它们是相互独立的.

二、有限个事件的独立性

关于两个事件独立的概念,可推广到有限多个事件的情形.

[定义2] 如果事件A1A2,…,An中任何一部分事件发生的概率不受其他事件发生的影响,则称事件A1A2,…,An相互独立,并且

PA1A2An)=PA1PA2)…PAn

[定义3] 若A1A2,…,An中任意两个事件之间均相互独立,则称A1A2,…,An两两独立.

注:若A1A2,…,An相互独立,则它们必两两独立,反之未必.

性质1 若A1A2,…,Ann≥2)相互独立,则其中任意k(1<kn)个事件也相互独立.

性质2 若A1A2,…,Ann≥2)相互独立,则将A1A2,…,An中任意m(1≤mn)个事件换成它们的对立事件,所得的n个事件仍相互独立.

结论 若A1A2,…,An相互独立,则有

【例1-5-2】 三人独立地去破译一份密码,已知每个人能译出的概率分别是,求密码被译出的概率.

解:Ai=“第i个人译出密码”(i=1,2,3),则

“密码被译出”相当于“至少有一个人译出密码”,故所求概率为PA1+A2+A3).

因为A1A2A3相互独立,则有

【例1-5-3】 某工人照看三台机床,任意时刻三台机床不需照管的概率分别为0.8、0.9、0.6,设三台机床是否需要照管是独立的,且这名工人在一个时刻只能照管一台机床,试求在任意时刻:(1)有机床需工人照管的概率;(2)有机床因无人照管而停工的概率.

解:Aii=1,2,3)表示甲、乙、丙不需照管,B为有机床需工人照管,C为有机床因无人照管而停工,于是有,且事件A1A2A3相互独立.

由已知得PA1)=0.8,PA2)=0.9,PA3)=0.6,

三、伯努利概型

从袋中有放回地抽取小球n次,由于每次取球后放回,故袋中小球分布不变,因而每次抽取的试验都是独立的,称之为n次独立试验.

[定义4] 在一定条件下,重复地做n次试验,如果每一次试验的结果都不依赖于其他各次试验的结果,那么就把这n次试验叫做n次独立试验.

[定义5] 如果构成n次独立试验的每一次试验只有两个可能的结果A,并且在每次试验中事件A发生的概率都不变,那么这样的n次独立试验叫做n重伯努利(Bernoulli)试验,简称伯努利试验.

例如,从一批含有不合格品的产品中,每次抽取一件进行检验,有放回地抽取n次,如果每次抽取只考察两个结果:产品合格和不合格,那么这样的检验就是一个伯努利试验.

又如,一个射手进行n次射击,如果每次射击的条件都相同,而且每次射击都只考察中靶和不中靶两个结果,那么这也是一个伯努利试验.

下面我们讨论n次伯努利试验中事件A恰好发生k次的概率.

【例1-5-4】 设某人打靶,命中率为0.7,现独立地重复射击三次,求恰好命中两次的概率.

解:Ai=“第i次命中”(i=1,2,3),显然A1A2A3相互独立,且PAi)=0.7,

   则  

这里表示在三次试验中选择两次命中的可能情形数.

同理可求

于是有下面的计算公式.

定理3 (伯努利定理)在n重伯努利试验中,设A为每次试验的两个可能的结果,且PA)=p,那么事件A发生k次的概率记作Pnk),则

由于

恰好是二项展开式的第k+1项,故称该公式为二项概率公式,这里可用

Pn(0)+Pn(1)+…+Pnn)=1

简化概率的计算.

【例1-5-5】 设某电子元件的使用寿命在1000小时及以上的概率是0.2,当三个电子元件相互独立使用时,求在使用了1000小时的时候,最多只有一个损坏的概率.

解:A=“一个元件使用1000小时的时候没损坏”,则PA)=0.2,,要求的概率就是三次伯努利试验中A发生两次或三次的概率,即

【例1-5-6】 汽车在公路上行驶时每辆车违章的概率为0.001,如果公路上每天有1000辆汽车通过,问:(1)公路上汽车违章的概率为多少?(2)恰好一辆汽车违章的概率是多少?

解:设事件A=“汽车违章”,则PA)=0.001,每天公路上有1000辆汽车通过,可以看成是1000次伯努利试验,故n=1000,p=0.001.

(1)设B=“公路上汽车违章”,则

(2)设C=“恰一辆车违章”,则

这个例子说明了一个事实:一个小概率事件(概率很小的事件,如汽车违章)在一次试验中出现的概率很小,但在大量重复试验中该事件出现的概率可变得很大.

【例1-5-7】 一批花生种子的发芽率为0.8,试问每穴至少播种几粒种子才能保证99%以上穴不空苗.

解:设每穴至少播种n粒种子能保证99%以上穴不空苗,则可将播种n粒种子看成是n重伯努利试验,因为P(至少一粒出苗)≥99%等价于P(没有一粒出苗)<0.01,所以要求n满足

Pn(0)<0.01,即,亦即0.2n<0.01

解得

可见,每穴至少播种3粒,就能保证99%以上穴不空苗.

一般地,若种子的发芽率为p,则当每穴播种时,就能在大田播种时保证99%以上穴不空苗.

推论 在n次伯努利试验中,设A为每次试验的两个可能的结果,且设PA)=p,那么n次伯努利试验序列中,事件A在第k次才发生的概率为

p(1-pk-1k=(1,2,…,n

注意到“事件A在第k次试验中才首次发生”,等价于在前k次试验组成的k重伯努利试验中,“事件A在前k-1次试验中均不发生,而在第k次试验中发生”,再由伯努利定理即可推得.

【例1-5-8】 一个袋中装有10个球,3个黑色的,7个白色的,每次取一个球(有放回),求:

(1)若共取10次,求10次中能取到黑球的概率及10次取球中恰取到3次黑球的概率.

(2)如直到取到黑球为止,求需取三次及至少取三次的概率.

解:设Ai表示第i次取到黑球,则i=1,2,3,…,)

(1)设B为10次中能取到黑球,B3为10次中恰好取到三次黑球,则

(2)设C为恰好要取三次,D为至少要取三次