第四节　随机变量函数的分布

在讨论正态分布与标准正态分布的关系时，有如下结论：若随机变量X～N（μ，σ2），则随机变量

可以看出，Y是随机变量X的函数，对X的每一个可能取值，Y根据函数关系有唯一确定的值与之对应.因此，Y也是随机变量，这里称随机变量Y是随机变量X的函数，一般表示为Y=g（X）.

对于随机变量函数，我们研究的是如何根据Y=g（X）的关系，由随机变量X的分布得到随机变量Y的分布，下面就随机变量X为离散型和连续型两种情况来讨论.

一、离散型随机变量函数的分布

如果随机变量X为离散型随机变量，则它的函数Y=g（X）也必然是离散型随机变量，可以由X的概率分布求出Y的概率分布.

【例2-4-1】　设随机变量X的概率分布为

求Y=2X+1和Z=X2的概率分布.

解：

其中，对于Z=X2，P{Z=0}=P{X=0}=0.2

　　　　　P{Z=1}=P{“X=-1”∪“X=1”}=0.15+0.25=0.4

　　　　　P{Z=4}=P{“X=-2”∪“X=2”}=0.05+0.2=0.25

　　　　　P{Z=9}=P{X=3}=0.15

一般地，若随机变量X的概率分布为

P{X=xk}=pk（k=1，2，…）

则Y=g（X）的全部可能取值为{yk=g（xk）k=1，2，…}，由于其中可能有重复的，所以在求Y的概率分布即计算P{Y=yi}时，要将使g（xk）=yi的所有xk所对应的概率P{X=xk}累加起来，即

二、连续型随机变量函数的分布

若X为连续型随机变量，已知其概率密度为fX（x），我们按照分布函数及其性质来求随机变量函数Y=g（X）的概率密度.

【例2-4-2】　设X～e（λ）和a>0，求Y=aX的概率密度.

解：由于X为连续型随机变量，则Y=aX也是连续型随机变量，现已知X的分布函数和概率密度分别为

现求Y=aX的分布函数FY（y）或概率密度fY（y）.

由于X不可能取负值，因此Y也不可能取负值，所以有

当y≤0时　　　　FY（y）=P{Y≤y}=0

　　 当y>0时 　　

因此得到Y的分布函数

对FY（y）求导即得到Y的概率密度

【例2-4-3】　设X～U［0，1］，求Y=-lnX的概率分布.

解：由题可知X的分布函数与概率密度分别为

X仅在［0，1］上取值，因此Y=-lnX只可能在（0，+∞）上取值，所以

当y≤0时，FY（y）=0

当y>0时，FY（y）=P{Y≤y}=P{-lnX≤y}

　　　　　　　　=P{lnX≥-y}=P{X≥e-y}

　　　　　　　　=1-P{X<e-y}=1-FX（e-y）=1-e-y

因此Y的分布函数

对其求导得Y的概率密度

可见，当X服从［0，1］上的均匀分布时，Y=-lnX服从参数λ=1的指数分布.

按照以上例题的思路，不难得到以下定理

定理　设已知随机变量X的分布函数FX（x）和密度函数fX（x），又设Y=g（X），其中g（x）为严格单调函数，且导数存在，则Y的密度函数为

fY（y）=fX（h（y））｜h'（y）｜

其中h（y）是y=g（x）的反函数，h'（y）是其导数.

证略.

【例2-4-4】　设X～N（μ，σ2），求Y=aX+b（a≠0）的概率密度.

解：由题可知，X的取值范围为（-∞，+∞），g（x）=ax+b在（-∞，+∞）内严格单调且反函数为，导数为.则由定理1可得

可见Y=aX+b～N（aμ+b，a2σ2），即正态随机变量的线性函数仍为正态随机变量.