第二节 概率的定义

根据随机事件的定义,我们知道,一个随机事件在一次试验中可能发生,也可能不发生,在试验之前是无法预测的.然而,如果在相同的条件下进行大量的试验,又会呈现出一定的规律,即有的事件发生的可能性大,有的事件发生的可能性小,那么用什么描述某一随机事件发生的可能性大小呢?那就是概率.

概率的定义:随机事件A发生的可能性大小的度量(数值)叫做随机事件A发生的概率,记作PA).

一、频率与概率

[定义1] 设在相同条件下重复进行n次试验,其中事件A发生的次数为rnA),称rnA)为事件A发生的频数,而事件A发生的频率定义为.

显而易见,对任一事件A的频率有如下性质:

(1)0≤fnA)≤1,fn(Ø)=0,fnΩ)=1.

(2)设A1A2,…,An是两两互不相容事件,则fnA1A2∪…∪An)=fnA1)+fnA2)+…+fnAn

以上性质可用频率定义验证.

【例1-2-1】 为考察某种水稻的发芽率,分别选取5粒、15粒、50粒、100粒、200粒、400粒、600粒在相同条件下进行发芽试验,得到的统计结果列入表1-2-1中.

表1-2-1

这里我们把观察一粒种子看作是一次试验,将“种子发芽”看作是事件A.由表1-2-1可以看到,在15次随机试验中,事件A发生13次,因此有

f15A)=0.867

同理有f200A)=0.900,f600A)=0.902等.

仔细观察表1-2-1就会发现,当n取不同值时,fnA)不尽相同.但当n比较大时,fnA)在0.9这个固定数值附近摆动.因此,我们可以认为0.9反映了事件“种子发芽”发生的可能性大小.

经验表明,当试验在相同条件下进行多次时,事件A出现的频率具有一定的稳定性,即事件A发生的频率在一个固定的数值p附近摆动(例1-2-1中p=0.9),而且这种稳定性随着试验次数的增加而愈加明显.频率的这种性质在概率论中称为频率的稳定性.频率具有稳定性的事实说明了刻画随机事件A发生的可能性大小的数即概率的客观存在性.上述的数值p可以用来度量事件A发生的可能性大小,因此,可以把p规定为事件A发生的概率.

[定义2] 在一组不变的条件下,重复进行n次试验.当n充分大时,若随机事件A出现的频率稳定地在某一个固定的数值p的附近摆动,则称p为随机事件A的概率,记作PA),且PA)=p.

这个定义称为概率的统计定义,根据这一定义,在实际应用时,往往可用试验次数足够大时的频率来估计概率的大小,且随着试验次数的增加,估计的精度会越来越高.

学生可用抛质地均匀的硬币试验验证P(正面向上)=0.5,与由古典定义得到的结果完全相符.

由定义不难得到对任一事件A,有

0≤PA)≤1,PØ)=0,PΩ)=1

根据概率的统计定义,当试验次数n足够大时,可以用事件A发生的频率近似地代替A的概率.即

PA)≈fnA

【例1-2-2】 为了估计鱼池中鱼的尾数,先从池中捞出50条鱼标上记号后放回鱼池,经过适当的时间,让其充分混合,再从鱼池中顺次捞出60条鱼(每次取出后都放回),发现有两条标有记号,问鱼池中大约有多少条鱼?

解:设鱼池中共有n条鱼,A=“从池中捉出一条有记号的鱼”,由古典定义,A发生的概率

从池中顺次有放回地捞取60条鱼,可以看成是60次重复试验,随机事件A发生了两次,即

它应与PA)近似相等,于是

从而得

n≈1500

即池中大约有1500条鱼.

二、概率的公理化定义

[定义3] 设E是随机试验,Ω是它的样本空间,对于E的每一个事件A赋予一个实数,记为PA),若PA)满足下列三个条件:

①非负性:对每一个事件A,有PA)≥0;

②完备性:PΩ)=1;

③可列可加性:设A1A2,…,是两两互不相容事件,则有,则称PA)为事件A的概率.

三、概率的性质

由概率的公理化定义,可推出概率的一些重要性质.

①对任一事件A,有0≤PA)≤1;

②必然事件的概率等于1,即PΩ)=1;不可能事件的概率等于零,即P(Ø)=0;

注:不可能事件的概率等于零,但反之不然.

③设AB互不相容,则有PA+B)=PA)+PB).

④对任意两个事件AB,有PA+B)=PA)+PB)-PAB

在性质④中,当AB=Ø时,有PAB)=0,于是得PA+B)=PA)+PB),即性质③是性质④的特殊情况.

对任意三个事件ABC,有

PA+B+C)=PA)+PB)+PC)-PAB)-PBC)-PAC)+PABC

特别地,若A1A2,…,An为完备事件组,则

PA1A2∪…∪An)=PA1)+PA2)+…+PAn)=1

证明 设A的逆事件,则.

则由性质③,有

   从而得   

PA-B)=PA)-PAB

特别的,若BA,则,PA-B)=PA)-PB),且PA)≥PB).

【例1-2-3】 考察甲、乙两个城市6月份的降雨情况,已知甲城出现雨天的概率是0.3,乙城出现雨天的概率是0.4,甲、乙两城至少有一个出现雨天的概率是0.52.试计算甲、乙两城市同时出现雨天的概率.

解:A=“甲城出现雨天”,B=“乙城出现雨天”,则AB表示“甲、乙两城至少有一个出现雨天”,AB表示“甲、乙两城同时出现雨天”.由已知有

PA)=0.3,PB)=0.4,PAB)=0.52

故由加法公式得

PAB)=PA)+PB)-PAB)=0.3+0.4-0.52=0.18

【例1-2-4】 已知PB)=0.4,求:

PAB);

PA-B);

PAB);

解:①因为,且AB是互不相容的,故有

于是   

PA-B)=PA)-PAB)=0.5-0.2=0.3

PAB)=PA)+PB)-PAB)=0.5+0.4-0.2=0.7