第5章　生产者行为理论（I）

5.1　复习笔记

一、生产技术与生产函数

1．企业及其生产技术

生产活动的主体是企业，也称厂商，是指可以对生产和销售做出统一决策，且努力将若干种投入转化为产出的经济单位。投入与产出间的数量关系反映了企业在一定时期内的技术关系或状况。注意，这里所讲的技术不是指企业生产过程中的技术细节，而是指企业将投入转化为产出的能力。

2．生产集

在完全竞争的假定下，企业产出的多少归根到底取决于企业的技术能力，即将投入品转化为产出品的能力，这种能力可以用生产集来描述。生产集是指一定技术条件下企业的投入与产出之间的各种组合的集合，如图5-1阴影部分所示。

图5-1　生产集

3．生产函数

生产函数的一般可表述为：

该生产函数说明：

（1）对于任一给定的生产要素投入量，现有的生产技术给出了一个最大的产出量；

（2）对于任一给定的产出量Q，每一投入组合的使用量为最小。

为简化分析，对于投入一般只考虑劳动（L）和资本（K）两个要素，因此，简化后的生产函数可表示为：

4．常见的生产函数的形式

（1）线性生产函数

线性生产函数或称完全替代技术的生产函数，其表达式为：

其中，a和b均为大于零的常数。该生产函数的经济含义是，按这种生产函数安排生产时，企业只会使用两种要素中较便宜的一种，而不会同时使用两种投入要素，即两种要素之间可以完全替代。

（2）固定投入比例生产函数

固定投入比例生产函数，或者称为完全互补技术的生产函数，其表达式为：

其中，a和b分别为大于零的常数，它们常被看做劳动和资本的技术系数，分别表示了生产一单位产量所需要的固定的劳动投入量和资本投入量。该生产函数的经济含义是要使生产有效率地进行必使生产按照L和K之间的固定比例，即进行，当一种投入固定时，另一种投入增加得再多，也不能增加产量。因而这两种投入要素具有完全互补性。

（3）柯布—道格拉斯生产函数

其表达式为：

其中A、和均为大于零的常数。且、，。柯布—道格拉斯生产函数常被人们称为性状良好的生产函数。和分别表示劳动所得和资本所得在总产量中所占的份额；A用来表示技术进步因素。

（4）常数替代弹性生产函数

常数替代弹性生产函数又简称为CES生产函数，其表达式为：

其中：A为规模参数（或称效率参数），可代表技术状况，；为分配参数或产出弹性，代表该生产要素在所生产的产量中的贡献份额，；为替代参数，。

5．短期和长期生产函数

（1）短期生产函数

短期生产函数指至少有一个生产要素（一般为资本K）无法随产量的变化而进行调整（或变动）的生产函数，其表达式为：

（2）长期生产函数

长期生产函数指所有生产要素皆会随着产出量的变动而进行调整的生产函数，其表达式为：

一般来说，长期和短期只是一个相对的时间概念。比如由于要研究的企业的性质不同，长期的含义会有所不同。

二、对生产函数的假定与规模报酬

1．对生产函数的若干假定

（1）三个假定

①，即生产函数中所有的生产要素投入量不得为负数。

②，即与一定投入要素相对应的产出量不得小于零。

③生产函数是个单调连续且存在着一阶和二阶偏导的函数。

（2）两条公理

①公理1：生产函数的一阶偏导数在其经济区域内不小于零。经济学上，对生产函数中的某一生产要素的一阶偏导数被称为这种生产要素的边际产量，记为MP，即：，，……，。

上列式子说明，如果，便处于经济区域，如果，便处于经济区域和非经济区域的边界，如果，便处于非经济区域。

②公理2：在相应的经济区域内，生产函数的二阶偏导矩阵，或称海赛矩阵为一负定矩阵，即生产函数

在其经济区域为一严格凹函数，海赛矩阵的主对角元素小于零，即：

上式是边际报酬递减规律的数学表达式。即当固定其他生产要素投入量不变，而仅仅增加的投入量时，随着数量的增加，必将最后达到这一经济区域的边界。

2．生产函数与规模报酬

规模报酬是指生产中所有的投入要素以相同的比例变动时，所引起的产出量的变动比例。通常，规模报酬有如下三种类型，假定某厂商的生产函数为，则：

（1）如果所有投入要素增加倍，产出增加大于倍。即：

则该生产函数属于规模报酬递增。

（2）如果所有投入要素增加倍，产出亦增加倍，即：

则该生产函数属于规模报酬不变。

（3）如果所有投入要素增加倍，而产出增加少于倍，即：

则该生产函数属于规模报酬递减。

对于C-D生产函数，

时，为规模报酬递增（因为产出的增加大于倍）；时，为规模报酬不变（因为产出的增加等于倍）；时，为规模报酬递减（因为产出的增加小于倍）。CES为规模报酬不变的生产函数。

三、短期分析——具有一种可变生产要素的生产函数

1．总产量、平均产量和边际产量及其相互关系

（1）定义

①总产量

总产量（TP）是指短期内在某特定生产规模下，利用一定数量的某种生产要素（如劳动L）所生产产品的全部数量，其表达式为：

②平均产量

平均产量（AP）是指总产量除以某要素投入量之商，即平均每一单位可变要素的产量，其计算公式如下：

③边际产量

边际产量（MP）是指增加一单位可变要素的投入所引起的产出增量，其计算公式如下：

或

（2）总产量曲线的几何图形描述

刚开始生产时，随着劳动投入量的逐步增加，相应的产量增加的速度会特别地快，总产量呈向上凹的形状，如图5-2中劳动量从O增至阶段。当劳动投入量增加到某一数量之后，产量增加的速度会下降，如图5-2中的至时的部分，其图形必会向下凹，此时TP线上的各点的斜率有递减的趋势，与对应的A点即为拐点。等到劳动投入量超过某饱和点（如C点）时，此时劳动投入越多，产量就会越少，如图5-2中以后的部分。

图5-2　劳动总产量曲线

另外，总产量曲线与横轴之间的部分就是生产集。生产集的上边界点的集合，即总产量线，是在现有的技术条件下有一定的投入所能带来的最大产量的集合。

（3）平均产量曲线与边际产量曲线及其相互关系

①边际产量曲线

从图5-3（a）中，可看出在线上任一点的切线斜率，即为。在以前，也递增，在处取得最大值，然后开始下降，直到劳动投入为时，边际产量减为零，与横轴相交。当劳动量达到以后，乃呈现负的状况。

②平均产量曲线

由于平均产量，因此，连接总产量曲线上任何一点和坐标原点的线段的斜率就表示该点的平均产量。如图5-3所示，曲线上在之前的各点与原点连线的斜率（即）随着L的增大而变大，这在图5-3（b）上表现为处于上升阶段；到了，达到最高点；在之后，上各点与原点连线的斜率变小，相应地，处于下降阶段。

图5-3　TP_L与AP_L、MP_L之间的关系

③平均产量与边际产量的关系

a．当时，则递增；

b．当时，则递减；

c．当达到最高点时，则。

2．边际报酬递减规律

（1）边际报酬递减规律的含义

在其他条件不变的情况下，生产者利用一种生产要素生产一种产品时，当要素投入不断增加时，产品的边际产量最初可能有短暂的增加，其后即不断减少，直到出现负数。这种边际产量持续下降的现象即为“边际报酬递减规律”。

（2）边际报酬递减规律发生作用的条件

①生产技术水平既定不变；

②除一种投入要素可变外，其他投入要素均固定不变；

③可变的生产要素投入量必须超过一定点。

3．生产的三个阶段及生产的合理区域

在图5-4中，以AP曲线的最高点及MP＝0为界，将要素投入量L的范围划分为三个阶段：

图5-4　生产的三个阶段及生产的合理区域

（1）第I阶段

，此时，，即呈递增的阶段。这表示生产要素的生产力尚能不断提高，因此生产不应停留在此阶段内，应该继续投入要素，以争取更高的生产力，这样可使产品的单位成本降低。阶段I可称为生产力尚未充分发挥的阶段。

（2）第III阶段

，此时，时，呈递减的阶段。这表示生产要素投入过多，非但不能增加生产，反而使总产量减少，使生产者蒙受双重损失，一是资源的浪费，另一是总产量的减少。阶段III可称为生产不经济的阶段。

（3）第II阶段

，此时，，即呈递减的阶段。虽开始下降，但仍相当高；同时，继续投入，仍有额外的产出。阶段II可称生产的有效率阶段，亦可称为生产的合理区域。

综上所述，阶段II为生产的合理区域。至于厂商在实际生产中选取阶段II中的哪一点，要看生产要素的价格，如果相对于资本的价格而言，劳动的价格较高，则劳动的投入量靠近点对于生产者较有利；若相对于资本的价格而言，劳动的价格较低，则劳动的投入量靠近点对于生产者较有利。

4．短期内生产企业的最优决策

企业进行生产的目的就是追求利润最大化，因此，短期内的最优决策或最优的劳动投入量就是指使企业利润最大的劳动投入量。

假设企业利润等于企业总收益减去总成本。设劳动的价格为w，资本的价格为r，生产产品的价格为P，短期内资本投入量固定为一常数量。则：

为使最大，要求上L的一阶导数等于零，求导整理后得：。所以，在短期，决定劳动最优投入量的必要条件是，即劳动的边际产量价值与劳动的价格相等。

四、长期分析——等产量曲线

在长期内，所有要素皆可以变动，即不仅L可以变动，K也可以变动，因此，长期生产函数可表示为：

对这类生产函数可以用等产量曲线来描述。

1．等产量曲线及其特征

（1）等产量曲线

等产量曲线：在技术不变条件下，生产同一产量所必须使用的两种投入要素的各种不同组合的轨迹。如图5-5所示，、、均为等产量曲线。

对于任一生产函数来说，其等产量曲线并不唯一。将出自同一个生产函数但取不等的产量参数所得到的若干条等产量曲线称为等产量曲线簇。图5-5给出了三条等产量曲线、、，且。

图5-5　等产量曲线簇

（2）“行为良好”的等产量曲线的特征：

①在生产有效率的阶段，等产量曲线的斜率为负，即；

②等产量曲线凸向原点；

③任两条等产量曲线不可相交；

④任一点必有一条等产量曲线通过；

⑤越往右上方的等产量曲线，其产量会越大。

（3）行为“不良好”的生产函数的等产量曲线

①固定投入比例生产函数：

这类生产函数的等产量曲线是直角形的，或称“L”形，如图5-6（a）所示。这种生产函数不允许生产要素的替代，因此称为“固定比例的生产技术”。

②线性生产函数：

这类生产函数的等产量曲线为一条直线，其斜率，如图5-6（b）所示。

图5-6　行为“不良好”的生产函数

2．边际技术替代率及其递减规律

（1）边际技术替代率

边际技术替代率是指，在技术不变的条件下，为维持相同的产量，在放弃一单位的劳动后，所必须弥补的资本数量。其代数表达式为：

或

边际技术替代率的几何意义是等产量曲线上任一点的边际技术替代率等于该点切线斜率的负值。之所以取斜率的负值是为了保证边际技术替代率是一个正值，如图5-7所示。

图5-7　边际技术替代率及其递减规律

（2）边际技术替代率递减规律

边际技术替代率递减规律是指在维持产量不变的前提下，当一种生产要素的投入量不断增加时，每一单位的这种要素所能替代的另一种生产要素的数量呈递减的趋势。

从图5-7中，可以清楚地看出，在同一条等产量曲线上，当要素L连续不断地增加时，另一个要素K却在逐渐递减，相应的斜率也在逐步变小。之所以存在边际技术替代率递减规律，是因为边际报酬递减法则的作用。

（3）边际技术替代率与边际产量的关系

对进行全微分可得：

所以，

即：两种投入要素之间的边际技术替代率等于投入要素的边际产量的比值。边际技术替代率之所以递减，是因为随着一种投入L对另一种投入K的替代不断增加，L的边际产量趋于下降，而K的边际产量趋于增加。

3．生产的经济区域——脊线分析

在图5-8中，可在等产量曲线上，找出斜率为零的一点D，亦即为零：

在点D时，劳动会使产量最大；沿线由点D向右移，此时劳动L的投入增加了，但总产量却下降了，亦即此时；类似地，可在不同的等产量曲线上，找出其斜率为零的点出来并连接，即可得出一条曲线OT，称为脊线或等斜线。

同理，可在等产量曲线上找出一点B，点B的斜率为，亦即，。

在点B时，劳动所用的资本K会使产量最大（因为此时）；沿着线由点B向上移动，此时资本投入增加了，但总产量却下降了，亦即此时；类似，可在不同的等产量曲线上，找出其斜率为无穷大的点并连接连接，亦可得到一条OS的等斜线。凡处于等斜线OS上方的L与K组合，皆为资本生产的第III阶段。

凡介于等斜线OT与等斜线OS之间者属于生产的第II阶段，是生产的经济区域。

图5-8　等产量曲线与生产的三个阶段：I、II、III

五、投入要素的最佳组合

1．等成本线

等成本线是指在某一特定的时期，在既定的要素价格条件下，厂商花费同样的总成本所能够购买的两种要素使用量的所有可能的组合的轨迹。

如图5-9所示，若以w，r分别表示要素L与K的价格，而以L与K分别表示使用要素的数量，表示总成本，则在要素价格不变下，等成本线可写成：

从上式可看出，等成本线为一条直线，其斜率等于要素的相对价格比（w/r），该等成本线与需求的预算线非常类似。在要素价格比固定下，等成本线为一直线，其斜率等于其要素的相对价格比（负号）。

图5-9　等成本线

2．最优要素组合

（1）要素最佳组合的条件

在其他条件不变（如技术）之下，花最后一元钱在各种不同生产要素上，其所能增加的产量皆相同。即：

此时等产量线的斜率为等于等成本线的斜率的绝对值为，即：

如图5-10所示，厂商应使用的生产要素的最佳组合为A点所代表的生产要素组合。

图5-10　要素的最佳组合

（2）成本约束下产量最大化模型

假设某厂商在目前的成本约束下追求产量最大化，则该厂商的生产要素的最优组合问题要由下面这个条件极值问题来求解。

通过构造拉格朗日函数，求一阶偏导，并求解得：

所以：

这就是厂商进行最优决策，获取最优要素组合的条件，而且这与前面利用图形分析得到的结论完全一致。

（2）产量约束下成本最小化模型

如果厂商在目前的产量约束下追求成本最小化，则该厂商的生产要素的最优组合问题要由下面这个条件极值问题来求解。

通过构造拉格朗日函数，求一阶偏导，并求解得：

还可以得到：

从上述可以看出，产量约束下的成本最小化的一阶条件与成本约束下产量最大化的一阶条件基本相似。只是前者的拉氏乘子是后者拉氏乘子的倒数．

（3）利润最大化模型

由总产量与价格的乘积得到的总收益与总成本之间的差额即为该厂商的利润，即：

为求最大化，令对于L和K的偏导数为零，分别对L和K求偏导并整理可得：

六、扩展线

1．扩展线

在长期，在要素价格和技术水平不变的条件下，厂商如果扩大生产规模，或其生产成本发生变化，则所选择的最优的生产要素组合所形成的轨迹，即为扩展线，如图5-11所示。

图5-11　扩展线

在图5-11中，当生产者所能使用的总成本为时，其使用最佳要素组合在点A；在长期，若生产者欲扩大其规模，而使其可使用的总成本增加至线时，其最佳的要素组合为点B，如此类推，可得点A、点B、点C……再将这些最佳组合的点连接起来，即形成扩展线。扩展线也是边际技术替代率不变的轨迹。

等斜线是一组等产量曲线上边际技术替代率相等各点的轨迹。生产扩展线也是一条等斜线，但并不是所有的等斜线都是扩展线。

2．根据扩展线划分要素类型

（1）正常要素

在要素价格不变及技术水平不变之下，在长期，厂商欲扩大生产时，其所使用的要素亦随之增加，则此类要素为正常要素。如图5-12（a）所示。

（2）低档要素

在要素价格不变及技术水平不变之下，在长期，厂商欲扩大生产时，其所使用的要素反而减少，则此种要素称为低档要素。如图5-12（b）所示。

（3）中性要素

在要素价格不变及技术水平不变之下，在长期里，厂商欲扩大生产时，其所使用的要素保持不变，则此种要素称为中性要素。如图5-12（c）所示。

图5-12　扩展线和要素的类别

3．过原点的直线型扩展线

在规模报酬固定的假设下，如图5-13所示，可从原点任做一射线OE与等产量曲线相交于A、B、C等点，且点A、点B及点C等点的等产量曲线的斜率（MRTS）相等，所以，其扩展线必为通过原点的直线。

图5-13　通过原点的扩展线

七、生产弹性

1．产出弹性

产出弹性是指在技术水平和生产要素价格不变的条件下，若保持其他投入要素使用量不变，单独变动一种投入要素使用量的变化百分率所引起的产量变化的百分率，它反映了产量的相对变化对于该种投入要素的相对变化的敏感性。

设生产函数为，则劳动L和资本K的产出弹性分别为：

从上两式可知，劳动或资本的产出弹性可以分别用其边际产量与平均产量之比来表示。

2．生产力弹性

生产力弹性是指在技术水平和生产要素价格不变的条件下，所有投入要素使用量都按同一比例变化的百分率所引起的产量变化的百分率。设为生产力弹性，所有要素变化的百分率为，即

则：

公理：生产力弹性等于所有各个投入要素的产出弹性之和，即：

设只有L，K两种投入要素，其生产函数为，则：

3．替代弹性

（1）替代弹性的含义

替代弹性是指要素使用比例的变动百分率与边际技术替代率变动的百分率之比。它被用来测度在技术水平不变的条件下，生产要素的投入比率对于生产要素边际技术替代率（或生产要素价格比率）变动反应的敏感性程度。替代弹性的表达式为：

又因为当生产者实现最优要素组合时，有

所以，

在一般正常情况下，替代弹性为正（σ＞0），其值却不一定为常数。但是，存在某些特殊的生产函数，其替代弹性为常数。

（2）某些特殊生产函数的替代弹性

①当生产函数为Q＝f（L，K）＝aL＋bK时，σ＝∞

当生产函数为Q＝f（L，K）＝aL＋bK时，其等产量曲线为一直线，如图5-14所示，此时其MRTS为常数，故σ＝∞。

图5-14　Q＝f（L，K）＝aL＋bK，σ＝∞

②当生产函数为Q＝min{aK，bL}时，σ＝0

当生产函数为Q＝min{aK，bL}，a，b＞0时，图形如图5-15所示，因为为常数，其微分为零，故替代弹性σ＝0。

图5-15　Q＝min{aK，bL}，σ＝0

③当生产函数为C-D函数时，σ＝1

当生产函数为C-D函数时，

所以：

八、线性生产函数的特征

1．线性生产函数及其特性

（1）规模报酬与生产函数的齐次性

如果一个生产函数满足如下等式：

（其中为大于1的常数）则该生产函数为n阶齐次生产函数。

对于n阶齐次生产函数来说，如果两种生产要素L和K的投入量随增加，产量相应地增加倍，则当n＝1时，被称为规模报酬不变的生产函数（亦称为一次齐次生产函数或线性齐次生产函数）；当n＞1时，被称为递增规模报酬的生产函数；当n＜1时，被称为递减规模报酬的生产函数。

（2）线性齐次生产函数的主要性质

①线性齐次生产函数的首要特征是规模报酬不变。

②作为线性齐次生产函数，其投入要素的边际产量和平均产量都取决于投入要素的比例，而与投入的绝对数量无关。

③线性齐次生产函数的亦决定于K/L的大小。

④满足欧拉定理。欧拉定理是指在规模报酬不变下，总产出量为投入要素贡献的总和，即：

⑤若等产量曲线向原点凸，则劳动与资本的边际产量一定递减趋势。

⑥如果为一阶齐次生产函数，那么，和均为零阶齐次函数。

⑦线性齐次生产函数的脊线、等斜线与扩展线均为出自原点的直线。如图5-16所示。

图5-16　线性齐次生产函数的脊线、等斜线和扩展线

2．应用：CES生产函数及其特性

CES是“替代弹性不变”的英文缩写。CES生产函数的一般形式为：

其中：A为规模参数（或称效率参数），可代表技术状况，A＞0；为分配参数或产出弹性，代表该生产要素在所生产的产量中的贡献份额，；为替代参数，。

（1）CES生产函数为线性齐次函数，具有规模报酬不变的性质。

（2）当，时，从CES生产函数中产生的等产量曲线总是斜率为负且严格凸向原点。

（3）生产函数的要素替代弹性为

与K和L无关。

①时，，CES生产函数可以简化为：

称“完全替代的生产函数”。

②时，，CES生产函数为固定投入比例生产函数：

③时，，CES生产函数变成具有单一替代弹性的C-D生产函数。

因此，线性生产函数、C-D生产函数和固定投入比例生产函数都是CES生产函数的特例，它们相应的等产量曲线如图5-17所示。

图5-17　CES生产函数的等产量曲线