2.2　考博常考难题详解

1判断下列说法是否正确，并说明理由。

（1）生产函数为y＝F（L）的情形下，平均产出最大点就是平均成本最小点，由于平均成本最低，这一点应该是企业最优的劳动用工点L^*。

（2）如果边际产出曲线下降，则平均产出曲线必定下降。

（3）如要素的边际生产率MP_K与MP_L递减，则生产的规模报酬必定递减。

（4）在生产函数为y＝F（K，L）的情形下，等产量线凸向原点意味着要素边际生产率递减。

答：（1）前半句是正确的，后半句错误，理由如下：

工厂的平均成本为

可见平均产出最大时，平均成本最小。此外，企业的目标是利润最大化，即：

其一阶条件是：∂π/∂L＝P×MP_L－w＝0，即P×MP_L＝w。

可见劳动的边际产出价值等于边际成本是决定劳动最优投入量的必要条件。但是当平均成本最小时，有AC′（L）＝0，[wf（L）－wLf′（L）]/f²（L）＝0，从而有f′（L）＝f（L）/L，可见边际产出等于平均产出是平均成本最小的必要条件。所以，平均成本最低所需要的劳动量不一定就是厂商的最优劳动雇佣数量。

（2）此说法不正确。理由如下：

如图2-20所示，边际产出曲线开始下降后有一阶段，MP仍大于AP，此时AP仍为上升，即处于生产三阶段中的第一阶段，当MP＝AP后AP才开始下降。

图2-20　边际产出下降平均产出未必下降

（3）此说法不正确，理由如下：

边际生产率递减是在生产某种产品时固定其他生产要素不变，增加其中一种要素到一定程度以后出现的，是由要素比例被破坏造成的。而规模报酬是指所有的投入要素都按照同一比例变动时，产量变动的情况，反映的是技术特征，两者没有必然的联系。举反例说明：生产函数F（K，L）＝AK^αL^1－α是满足边际生产率递减的，但却是规模报酬不变的。

（4）此说法不正确。理由如下：

等产量曲线凸向原点是指要素的边际技术替代率递减，即增加一种投入数量并相应减少另一种投入数量以使产出量保持不变时，边际产出的比率的变化；而边际产品递减的假定涉及到当增加一种投入的数量时令其他投入不变，边际产品会怎样变化。可以举一反例说明：y＝K²L²，其等产量曲线为凸向原点的，但其要素的边际生产率递增。

2欧拉定理意味着规模报酬不变的生产函数q＝f（K，L），有：q＝f_KK＋f_LL。

（1）运用这一结论，证明对于这种生产函数，如果MP_L＞AP_L，则MP_K必为负数。这意味着生产应在何处进行呢？一个企业能够在AP_L递增的点进行生产吗？

（2）再次运用欧拉定理证明，对于只有两种投入（K与L）的一个规模报酬不变的生产函数，f_KL必定为正。解释这一结论。

证明：（1）由MP_L＞AP_L＝f（K，L）/L可知：MP_L·L＞f（K，L）①

而欧拉定理表明：MP_K·K＋[MP_L·L－f（K，L）]＝0②

结合①②两式，可知MP_K·K＜0，即MP_K＜0。

这意味着企业应该在MP_L＜AP_L，即劳动力的平均产出递减的产量处生产。

一个企业不能够在AP_L递增的点进行生产。

（2）对于规模报酬不变的生产函数f（K，L）而言，由欧拉定理得，下式恒成立：

f（K，L）＝f_KK＋f_LL③

从③式中解得：f_K＝[f（K，L）－Lf_L]/K④

④式两边关于L求导得：f_KL＝（f_L－f_LL·L－f_L）/K＝－L·f_LL/K。

如果边际产出递减的假设成立，那么f_LL＜0，则有f_KL＞0。

f_KL＞0说明，在规模报酬不变和边际产出递减的假设条件下，任何一种要素的边际产出都会随着另一种要素投入的增加而增加。

3一个企业的生产函数为y＝KL^1/2/1000，其中，资本K用机器小时来衡量，劳动力L用工作小时来衡量，y是年产量。小时工资w_L＝10，租赁机器的每小时成本w_K＝20。

（1）证明这个技术是规模收益递增的。

（2）求资本和劳动力的边际产量。

（3）假设这个企业在2007年底签署了一个机器租赁协议，协议规定这个企业将在2008年全年租用K＝1000个机器小时，求这个企业2008年的短期成本函数。

（4）根据上面的假设，求这个企业的短期边际成本函数和短期平均成本函数。何时这两条曲线相交？

答：（1）令t＞1，则y（tK，tL）＝（tK）（tL）^1/2/1000＝t^3/2（KL^1/2/1000）＞ty。

所以这个技术是规模收益递增的。

（2）MP_K＝∂y/∂K＝L^1/2/1000，MP_L＝∂y/∂L＝KL^－1/2/2000。

（3）企业的固定成本为FC＝w_KK＝20000，从而生产函数变为y＝L^1/2，即L＝y²，所以短期成本函数为C＝FC＋VC＝20000＋w_LL＝20000＋10y²。

（4）MC＝dC/dy＝20y，AC＝C/y＝20000/y＋10y。

边际成本曲线和平均成本曲线相交于平均成本曲线的最低点。

4IBM公司是世界上主要的计算机生产商。根据该公司的内部备忘录，IBM公司生产不同数量的双鱼座牌（370/168）计算机的长期总成本如图2-21所示。与产量相应的总成本函数为C＝28303800＋460900Q，式中，C为总成本（以美元计），Q为产量。

（1）如果整个市场对这种计算机的需求量为1000台，并且所有计算机厂家有相同的长期总成本函数，那么，一个拥有50%市场份额的企业与一个拥有20%市场份额的企业相比，其成本优势有多大？

（2）生产这样一台计算机的长期边际成本是多少？边际成本取决于产量吗？

（3）是否存在规模经济？

图2-21　双鱼座牌计算机的长期总成本曲线

答：（1）如果Q等于500，平均成本就等于（28303800＋460900×500）÷500＝517507（美元）。如果Q为200，平均成本就等于（28303800＋460900×200）÷200＝602419（美元）。所以拥有50%市场份额的企业比拥有20%市场份额的企业的平均成本低（602419－517507）/517507≈16%。

（2）长期边际成本为460900美元。在数据资料所包括的产量范围内（据图2-21大约为200～700单位），边际成本不变。

（3）存在规模经济。因为长期平均成本等于460900＋28303800/Q，长期平均成本随着产量Q的增加而减少。

5市场有两个行业，服装行业和钢铁行业，服装行业的生产函数为y_c＝l_c，钢铁行业生产函数为y_s＝24l_s^0.5－2l_s，l_c与l_s分别是服装与钢铁行业的劳动人数。市场总人数为25，而且所有人都会进入某个行业，假设服装行业与钢铁行业都是完全竞争行业，产品价格都是1。

（1）假定劳动市场完全竞争，求l_c和l_s以及均衡工资。

（2）假定钢铁工人组成一个强大的工会，拥有垄断权力向钢铁行业提供劳动，工会的目标是使本行业工人总收入最大化，求l_c和l_s以及钢铁行业和服装行业的工资。

（3）假定两个行业的工人共同组成一个强大的工会，可以垄断的向两个行业提供劳动，工会的目标是使所有工人总收入最大化，求l_c和l_s以及两个行业的工资。

解：（1）因为劳动市场完全竞争均衡，故设服装行业和钢铁行业的工资为w_c＝w_s＝w，服装行业的生产函数为y_c＝l_c，所以服装行业工人的边际产量MP＝1，因为产品价格为1，所以服装行业工人的边际产品价值VMP＝P·MP＝1，又因为劳动市场完全竞争，所以有VMP＝w_c＝w_s＝w＝1。

对于钢铁行业，工人的边际产量MP＝12l_s^－0.5－2，边际产品价值VMP＝P·MP＝12l_s^－0.5－2＝1，所以得l_s^－0.5＝1/4，因此l_s＝16；因为l_s＋l_c＝25，所以l_c＝9。

（2）此时服装行业因为没有发生变化，所以VMP＝w_c＝1，但是钢铁行业发生了变化，产品市场依然是完全竞争市场而劳动市场不再是完全竞争市场，钢铁行业利润函数为π_s＝p_sy_s－l_sw_s＝24l_s^0.5－2l_s－l_sw_s，假如给定了钢铁行业工人的工资，则根据利润最大化的一阶条件，有：∂π_s/∂l_s＝12l_s^－0.5－2－w_s＝0⇒w_s＝12l_s^－0.5－2。

可以把上式看成是钢铁行业对工人工资的一个反应函数。

此时工会的目标是最大化收入函数R_s＝l_sw_s，把反应函数w_s＝12l_s^－0.5－2代入该目标函数，得：

R_s＝l_s（12l_s^－0.5－2）＝12l_s^0.5－2l_s

则根据收入最大化的一阶条件，有：dR_s/dl_s＝6l_s^－0.5－2＝0⇒l_s＝9。

因为l_s＋l_c＝25，所以l_c＝16。

此时钢铁行业的工人工资为w_s＝12l_s^－0.5－2＝2。

（3）此时工会的目标函数是π＝l_cw_c＋l_sw_s，服装行业利润函数为π_c＝p_cy_c－l_cw_c＝l_c－l_cw_c，利用利润最大化可求得w_c＝1，钢铁行业利润函数为：π_s＝p_sy_s－l_sw_s＝24l_s^0.5－2l_s－l_sw_s，利用利润最大化可求得w_s＝12l_s^－0.5－2。

因为l_s＋l_c＝25，于是工会的目标函数变为：

π＝l_cw_c＋l_sw_s＝25－l_s＋l_s（12l_s^－0.5－2）＝12l_s^0.5－3l_s＋25

根据一阶条件得l_s＝4。

因为l_s＋l_c＝25，所以l_c＝21。

此时钢铁行业的工人工资为w_s＝12l_s^－0.5－2＝4。

6给定CES生产函数Q＝（K^ρ＋L^ρ）^1/ρ，Q为产出，K、L分别为资本和劳动的投入量。

（1）证明该企业规模报酬不变；

（2）资本和劳动的边际产量为多少？

（3）劳动对资本的边际技术替代率是多少？

（4）证明资本和劳动的产出弹性之和等于1。

（5）把这个企业分为两个相同的企业，分立之后的产出之和与原企业的产出有什么变化？详细写出演算过程。

解：（1）企业的生产函数为Q＝（K^ρ＋L^ρ）^1/ρ，可令Q＝f（K，L）＝（K^ρ＋L^ρ）^1/ρ，因为

f（tK，tL）＝[（tK）^ρ＋（tL）^ρ]^1/ρ＝t（K^ρ＋L^ρ）^1/ρ＝tf（K，L）

所以，该企业规模报酬不变。

（2）资本的边际产量MP_K＝∂Q/∂K＝K^ρ－1（K^ρ＋L^ρ）^{（1－ρ）/ρ}；

劳动的边际产量MP_L＝∂Q/∂L＝L^ρ－1（K^ρ＋L^ρ）^{（1－ρ）/ρ}。

（3）劳动对资本的边际技术替代率为：MRTS_L，K＝MP_L/MP_K＝（L/K）^ρ－1。

（4）劳动的产出弹性为：

资本的产出弹性为：

所以，E_L＋E_K＝（L^ρ＋K^ρ）/（K^ρ＋L^ρ）＝1。

（5）若把该企业分为两个相同的企业，设两个企业的产出为q，则：

q＝[（K/2）^ρ＋（L/2）^ρ]^1/ρ＝（K^ρ＋L^ρ）^1/ρ/2＝Q/2

即：2q＝Q。

所以，当CES生产函数表现为规模报酬不变时，分立后的两企业产出之和等于原企业的产出。

7假定厂商生产函数为柯布-道格拉斯生产函数，有q＝K^αL^β（其中α、β＞0）。资本和劳动的价格分别为v与w。

（1）证明成本最小化要求vK/α＝wL/β，该厂商的扩展线的形状是什么？

（2）假定成本最小化，证明总成本可以表示为下述的关于q、v与w的函数：

这里，B是依赖于α与β的常量。

（3）证明如果α＋β＝1，则TC与q成比例。

证明：（1）厂商的成本最小化问题为：

建立拉格朗日辅助函数：ψ（v，w，λ）＝vK＋wL－λ（q－K^αL^β）。

成本最小化的一阶条件为：

∂ψ/∂K＝v＋λ（αq/K）＝0①

∂ψ/∂L＝w＋λ（βq/L）＝0②

∂ψ/∂λ＝－（q－K^αL^β）＝0③

从①式和②式中消去λ就得到：vK/α＝wL/β④

生产扩展线是指在技术水平和投入要素价格不变的条件下，由投入总成本的变化而引起的最优要素比例变动的轨迹。在本题中，由于最优的要素组合满足④式，从而得到K＝L·αw/（βv），这说明生产扩展线是一条经过原点的射线。

（2）从④式中解出K关于L的表达式后，代入③式中，就可以解出K的表达式：

　⑤

把⑤式代入④式中，就有：

　⑥

把⑤⑥两式代入目标函数式中，就得到总成本函数：

其中，

（3）如果α＋β＝1，那么总成本的表达式就变为TC＝Bv^αw^βq，即TC和q成比例。