8.1　运动微分方程的建立方法

8.1.1　牛顿第二定律示例

如图19-3-3所示，按每个物体的受力分析，用牛顿第二定律写出加速度和力的关系式，经过整理，可得：

将其写成矩阵形式（也可以推广到n个自由度系统）：

　　 （19-3-1） 　　

其中，，，，

　　 （19-3-2） 　　

矩阵M为由惯性参数组成的矩阵，称为质量矩阵或惯性短阵；C为阻尼矩阵；K为由系统的弹性参数组成的矩阵，称为刚度矩阵，其元素也经常被称为刚度影响系数；X为位移坐标列向量。质量矩阵和刚度矩阵都是对称矩阵，对角元素称为主项，非对角元素称为耦合项。质量矩阵的非对角元素不等于零，说明系统存在惯性耦合。见8.1.3。

8.1.2　拉格朗日法

对于简单的系统用牛顿第二定律是比较方便的。对于较复杂的系统则用拉格朗日法较为方便。但是推导结果是一样的。如图19-3-4，列出系统的动能和势能方程式。

　　 系统动能： 　　 　　 （19-3-3）

　　 系统势能： 　　 　　 （19-3-4）

　　 系统的能量耗散函数： 　　 　　 （19-3-5）

广义干扰力：　　F₁（t）＝F₁sinωt；F₂（t）＝F₂sinωt　　（19-3-6）

将上述各项代入拉格朗日方程：

则：i＝1时，

同理，对x₂、求偏导和微分，整理后得：

说明：同一能量不能在各表达式中重复出现。已写入能量表达式中的能量所对应的力或力矩，在拉格朗日方程的力或力矩中不能再出现。例如，偏心质量回转引起的受迫振动，干扰力项已写入系统的势能和能量的耗散函数，则拉格朗日方程的广义干扰力就不该再出现。

8.1.3　用影响系数法建立系统运动方程

如图19-3-5平面硬机翼系统，坐标为y，α；弹簧刚度为K₁，K_α；质量为m，质量的静矩为S＝mδ（尺寸δ为重心与悬挂点水平距见图）。机翼对弯心的转动惯量I＝I₀+mδ²。

略去阻尼和强迫振动，式（19-3-1）可写成：

　　 （19-3-7） 　　

即

　　 （19-3-8） 　　

这里，，，

在结构静力学分析中，广泛采用柔度影响系数的概念。所谓柔度影响系数是指在单位外力作用下系统产生的位移。在系统的广义坐标j上作用单位外力，在广义坐标i上产生位移，用柔度影响系数f_ij来表示，并且f_ij＝f_ji。设F₁和F₂是作用在系统上分别与广义坐标y和α相对应的广义力，那么弯心所产生的位移与翼段绕弯心的转角就分别为：

y＝f₁₁F₁+f₁₂F₂

α＝f₂₁F₁+f₂₂F₂　　（19-3-9）

根据柔度影响系数的力学含义，f₁₂＝f₂₁＝0，f₁₁＝1/K₁，f₂₂＝1/K_α

因此，

代入上面的式子，得：

式（19-3-8）可以写成：或

式中 　　 　　 （19-3-10）

F为柔度影响系数矩阵，即柔度矩阵。D＝FM为系统的动力矩阵。

但是，还是用刚度矩阵来研究无阻尼多自由度系统动态特性为主要形式。