8.2　求解方法

8.2.1　求解方法

主要是推求多自由度无阻尼系统的各阶固有频率和振型。由特征方程式

｜［A］－λ［I］｜＝0　　（19-3-11）

式中　［I］为单位矩阵；

［A］为动力矩阵：　　［A］＝［M］－1［K］　　（19-3-12）

而　　λ＝ω2

可求得n个特征根λ，即可知系统的n个固有频率ω，ω1为系统第一阶固有频率：

ω1<ω2<ω3…<ωn

从　　［［A］－λ［I］］｛x｝＝0

中可求得n个振型：

设都作简谐运动，特解为：　　X＝aфsin（ωt+θ）　　（19-3-13）

式中，，为各阶振幅的比值；θ为振动的初始角；α为一参数。

把任意个特征值λj代入方程：　　（K－λ0）ф＝0　　（19-3-14）

就可以得到与之对应的特征向量фj。特征向量фj表达了各个坐标在以频率ωj作简谐振动时各个坐标幅值的相对大小，称之为系统的第j阶固有模态或固有振型，或简称为第j阶模态或振型。再把它代入式（19-3-13），得到

xj＝ajфjsin（ωjt+θj）　　（19-3-15）

就是多自由度系统以ωj为固有频率，以фj为模态的第j阶主振动。系统的响应就是各阶主模态振动的叠加，即

　　 （19-3-16） 　　

式中，aj，θj由初始条件确定。

8.2.2　实际方法及现代方法简介

从上面计算可以看出，随着自由度数目的增多，计算变得复杂，所以人们想了各种办法来近似地求得其数值结果。设计者主要关心的是振动的频率和最大的振幅。

表19-3-11列举了一些求解的办法及现代的还在发展的方法。

表19-3-11

注：在动态激振力作用下结构刚度是激励频率的函数。如果结构动刚度特性在某频率附近较差，可以通过进一步的模态分析和受迫模态振型分析等得到结构在该频率下的整体动态响应特性，确定刚度薄弱的区域以便进行改进。模态分析也是要应用振动理论、有限元法、边界元法、模态频响分析、曲线分析与振动型的动画显示方法、优化设计、模态修改技术等部分的理论与方法。可以让设计者在屏幕上看到机架在某些振动激励下的振动状态。可以画出各阶的振型图。对于汽车车架来说，这是很值得分析的，因为汽车车架不但要“结实”（强度、刚度足够）、重量轻，还要舒适。

8.2.3　冲击载荷示例

若冲击载荷可用简单解析式表达，则响应也能用解析式表达。以所示的半止弦波脉冲（图19-3-6）为例，此时响应可分为两个阶段：载荷作用期间为第一阶段，随后发生的自由振动为第二阶段。在两阶段内的响应分别为：

　　 （19-3-17） 　　

　　 （19-3-18） 　　

图19-3-6

式中，λ＝ω／ωn；；；y（t1）和分别为第一阶段结束时的位移和速度；ωn—固有角频率。

工程上最感兴趣的通常是冲击载荷引起结构的最大响应。

1）当λ<1（即ω<ωn）时，最大响应出现在第一阶段，出现时刻为

t＝2π/（ωn+ω）　　（19-3-19）

显见，当ω＝ωn时，t＝t1，将上式代入式（19-3-17）得到最大响应值。

2）当λ>1时，（即ω>ωn）时，最大响应出现在第二阶段，首次出现时刻为：

　　 （19-3-20） 　　

由代入式（19-3-17）得：

最大响应值即自由振动的幅值为：

　　 （19-3-21） 　　

　　 动刚度为： 　　

动力放大系数为：

　　 （19-3-22） 　　

8.2.4　关于动刚度

在“机架设计”篇中，对于动载荷，是乘以不同的动载系数来考虑的。如果机架上有较大的动载荷，或有振动载荷受到轻微的碰撞，计算方法是用工程力学的理论和方法，求得其动载荷，加于静载荷之上来进行强度和允许挠度的校核。其许用应力则按动载荷所占比例选择不同的许用应力。所以机架的刚度是力与挠度的比值（N/cm），称静刚度。静柔度则是静刚度的倒数，即单位力所产生的位移或变形。设备或机架的动柔度和动刚度，按“GB/T 2298—2010机械振动、冲击与状态监测词汇”，动柔度的定义是：以频率为自变量的位移的频谱或频谱密度与力的频谱或频谱密度之比。动刚度的定义是：机械系统中，某点的力与该点或另一点位移的复数比。根据线性平移单自由度系统的振动方程式：

当激振力F与振动位移方向不一致或不在同一点时（机械设备往往如此），用复平面来表示：

F＝F0eiωt；x＝Aei（ωt－φ）　　（19-3-23）

式中　φ——位移滞后于激振力的相位角；

A——位移振幅；

F0——激振力幅。

动刚度为：

　　 （19-3-24） 　　

当相位角一致时，或

动力放大系数β，即刚度减少倍数，为：

β＝k／kd或kd＝k／β

对照表19-3-2第6栏，栏中振幅用B表示，可知受迫振动稳态时动刚度kd与静刚度k的关系。

对表19-3-2第6栏第1列简谐作用力作用下的振动位移，放大系数为：

　　 （19-3-25） 　　

即 　　 　　 （19-3-26）

说明动刚度不仅和结构的静刚度有关，还和激振力的频率与结构的固有频率比及阻尼比有关。其他形式的激振力仿此。

对照上面的图表分析，对于大多数机架的计算，特别是非标准机架，在未采用现代新的方法之前，根据振动的理论，当机架上有振动的设备时：

1）如果设备的动作用力的振动频率远小于机架的振动频率，将动载荷加于静载荷之上来进行计算，即认为动刚度和静刚度基本相同；

2）如果设备的振动频率比机架的低阶振动频率大很多，结构则不容易变形，即结构的动刚度相对较大，则基本上可以不考虑动载荷，仅采用动力系数kd的办法来计算就可以了；

3）如果设备振动的动作用力的频率和机架的振动频率相近，则机架就可能发生共振。此时变形大，动刚度就较小。就要大大地增加结构的刚度。

本方法的主要缺点就在于很难确定机架哪一位置可能发生较剧烈的振动。以往的方法是设计者根据经验分析机架的薄弱环节而加强之。例如节点的加固，加肋等。

上一章目录下一章