1.3 平面汇交力系

凡各力的作用线均在同一平面内的力系称为平面力系。若各力的作用线全部汇交于一点，则称为平面汇交力系。

1.3.1 平面汇交力系的合成

1.力在坐标轴上的投影

如图1.17所示，已知F作用于刚体平面内的A点，方向由A点指向B点，且与水平线的夹角为a。选定坐标系xOy，过F的两端点A、B向坐标轴x、y作垂线，垂足a、b的连线就称为F在x轴上的投影，即Fx=ab。力在坐标轴上的投影是代数量，正负规定为：从a到b的指向与坐标轴的正向相同为正，相反为负。

若已知F的大小及F与x轴的夹角a，则力在x、y轴的投影可由下式计算：

（1-1）

注意：（1）当力与轴平行时，力在轴上的投影绝对值等于力的大小。

（2）当力与轴垂直时，力在轴上的投影为零。

当力F沿坐标轴分解为两分力、时，这两个分力的大小分别等于力F在两轴上的投影的绝对值，但当两轴不相互垂直时，分力、与投影Fx、Fy值不等。

必须指出，分力是矢量，而投影是代数量。

2.合力投影定理

图1.18表示平面汇交力系的各力矢、、、组成的力多边形，为合力。将力多边形中各力矢投影到x轴上，由图可见：

按投影定义，上式左端为合力的投影，右端为四个分力的投影的代数和，即

同理：

上式可推广到n个力组成的力系，即

（1-2）

式（1-2）表明：合力在某一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。这就是合力投影定理。

3.平面汇交力系合成的解析法

若物体受到平面汇交力系，，…，作用，选定坐标系xOy，求出各力在x、y轴上的投影，则：

合力大小和方向分别为：

（1-3）

式中，a表示FR与x轴所夹锐角。

1.3.2 平面汇交力系平衡方程及其应用

平面汇交力系平衡的必要和充分条件是力系的合力为零，即

（1-4）

上式称为平面汇交力系平衡方程。因只有2个独立的方程，所以对于平面汇交力系，只能求解2个未知量。

例1.3　将图1.19所示重为G=5000N的球体放在V形槽内，试求槽面对球的约束反力。

解：（1）以球体为研究对象，作用在它上面有重力及光滑槽面的约束反力、，其受力图如图1.19（b）所示。

（2）选坐标轴，如图1.19（b）所示。

（3）列平衡方程：

解方程得：

解题时可将坐标轴选取与未知力垂直（仅需一轴与一个未知力垂直）的方向，这样可列一个方程式解出一个未知力，避免求解联立方程，使计算简便。