命题III.12

两圆外切，连心线过切点。

设：两圆ABC、圆ADE外切于点A上，F为圆ABC的圆心，G为圆ADE的圆心（命题III.1）。

求证：直线FG必定经过切点A。

假设不是，如果可能，让它穿过如FCDG，连接AF、AG。

那么，因为F点为圆ABC的圆心，所以：FA等于FC。

又，因为G点是圆ADE的圆心，所以：GA等于GD。

而FA也已经证明出等于FC，于是：FA加AG等于FC加GD。

所以：FG大于FA加AG，但它也小于FA加AG，这是不可能的（I.20）。

所以：从F点引直线至G不能不经过切点A。

所以：如果两圆外切，那么连接两圆心的直线必定过切点。

证完

注解

显然，这一命题是后人加在欧几里得《原本》上的，有可能是海伦所加，也有可能是后来的其他编著者或评论者所加。

这一命题没有在《原本》中的其他地方被利用。