命题III.13

两圆相切，只有一个切点。

假设：两圆相切不止一个切点，设圆ABDC与圆EBFD首先内切于两个点。令切点为D、B点，连接圆ABDC的圆心G和圆EBFD的圆心H（命题III.1）。

那么：连接G、H点的直线经过B、D点（命题III.11）；且假定为BGHD。

那么因为：点G是圆ABDC的圆心，而BG等于GD。于是BG大于HD，于是，BH就比HD大得多；

又因为：H点是圆EBFD的圆心，BH等于HD，但同时又被证明BH比HD大得多，这是不可能的。

所以：内切圆不能有两个以上的切点。

要进一步说：这一命题也适合于外切圆。

假设两圆外切不止一个切点，设圆ACK与圆ADC相切有一个以上的切点，设为A、C点，连接AC，那么因为无论是圆ADC还是圆ACK，A、C为任意的两点，连接该两点的直线必然落在每个圆的内部，但是它应该落在圆ADC之内又落在圆ACK之外，这是荒谬的（命题III.2、定义III.3）。

所以：一个圆与另一个圆相外切不能有一个以上的点。同样，已证明两圆内切，也不能有一个以上的点。

所以：一个圆与另一个圆相切，无论内切还是外切，不能有一个以上切点。

证完

注解

这是第二个不可能图形。有三条曲线连接A和C。并没有假定两个圆相交，而只是相切于两个点A和C，线段AC应在两个圆内而不是一个圆内。

这一命题的证明也有逻辑裂缝，如上两个命题的证明过程一样。

本命题再未在《原本》中的其他地方被利用。