命题III.14

同圆内，相等弦的弦心距相等，相等的弦心距对应的弦相等。

设：AB、CD为圆ABDC内的相等弦。

求证：AB、CD到圆心的距离相等。

令：E为圆ABDC的圆心，从E作EF、EG，分别垂直于AB、CD，连接AE、EC（命题III.1、I.12）。

因为：线段EF经过圆心，平分一条未经过圆心的弦AB，并构成直角。所以：AF等于FB。所以：AB是AF的两倍（命题III.3）。

同理可证：CD亦是CG的两倍，而AB等于CD。于是：AF也等于CG。

又因为AE等于EC，那么以AE为边的正方形的面积也等于以EC为边的正方形的面积。

于是：分别以AF、EF为边的正方形的面积之和等于以AE为边的正方形的面积。又，因为在F点的角为直角，于是：分别以EG、GC为边的正方形的面积之和等于以EC为边的正方形的面积。因为在G点的角为直角，所以：分别以AF、FE为边的正方形的面积之和等于分别以CG、GE为边的正方形的面积之和，以AF为边的正方形面积等于以CG为边的正方形的面积，因为：AF等于CG。

所以：余下的以FE为边的正方形的面积等于以EG为边的正方形的面积。

所以：EF等于EG（命题I.47）。

又，当弦心距相等时，这些弦叫作等弦心距的弦，所以：AB、CD的弦心距相等。

另，设：AB、CD有等弦心距，即EF等于EG。

那么：AB也等于CD。

同前理，可以证明AB是AF的两倍，CD是CG的两倍。因为AE等于CE，以AE为边的正方形的面积等于以CE为边的正方形的面积。

分别以EF、FA为边的正方形的面积之和等于以AE为边的正方形的面积，分别以EG、GC为边的正方形的面积之和等于以CE为边的正方形的面积（命题I.47）。

所以：分别以EF、FA为边的正方形的面积之和等于分别以EG、GC为边的正方形的面积之和，其中因为EF等于EG，故以EF为边的正方形的面积等于以EG为边的正方形的面积。

所以：余下的以AF为边的正方形的面积等于以CG为边的正方形的面积。所以：AF等于CG，AB是AF的两倍，CD是CG的两倍。

所以：AB等于CD。

所以：圆内的相等弦，到圆心的距离亦相等；到圆心距离相等的弦彼此相等。

证完

注解

注意：欧几里得证明了两次三角形边角相等的定理。

这一命题用在下一命题中。