命题III.22

圆内接四边形对角互补。

设：ABCD为圆，作圆内接四边形ABCD。

求证：对角之和为180°。

令：连接AC、BD。

因为在任何三角形中，三个内角的和等于180°，所以：三角形ABC中的∠CAB、∠ABC和∠BCA之和为180°（命题I.32）。

又，因为∠CAB与∠BDC有共同的弧BADC，所以：∠CAB等于∠BDC；∠ACB与∠ADB有共同的弧ADCB，所以：∠ACB等于∠ADB。

所以：大角∠ADC等于∠BAC与∠ACB之和（命题III.21）。

令：∠ABC与每个角相加。于是：∠ABC、∠BAC、∠ACB之和等于∠ABC、∠ADC之和；

又，∠ABC、∠BAC、∠ACB之和等于180°。所以：∠ABC、∠ADC之和等于180°。

同样可以证明∠BAD、∠DCB之和也等于180°。

所以：圆内接四边形的对角互补。

证完

注解

这一命题应用在命题III.32中。