命题III.36

如果圆外的一点向圆引两条直线，一条与圆相切，一条穿过圆，那么被圆截得的线段与该点到凸圆之间的线段为边构成的矩形的面积等于以该点向圆引的切线所构成的正方形的面积。

设：D为圆ABC外的一点，从D点向圆ABC引两条线段DCA、DB，使DCA穿过圆，DB与圆相切。

求证：AD、DC构成的矩形的面积等于以DB为边的正方形的面积。

DCA要么穿过圆心，要么不穿过圆心。

先令其穿过圆心，假定F为圆ABC的圆心，连接FB，于是：∠FBD为直角（命题III.18）。

又，因为AC在F点被平分，CD是其加线，所以：AD、DC构成的矩形的面积加以FC为边的正方形的面积等于以FD为边的正方形的面积（命题II.6）。

又，因为FC等于FB，所以：AD、DC构成的矩形的面积加以FB为边的正方形的面积等于以FD为边的正方形的面积。

又，分别以FB、BD为边的正方形的面积之和等于以FD为边的正方形的面积。

所以：AD、DC构成的矩形的面积加以FB为边的正方形的面积等于分别以FB、BD为边的正方形的面积之和（命题I.47）。

令：以上每个减去以FB为边的正方形的面积；于是：余下的AD、DC构成的矩形的面积等于以切线DB为边的正方形的面积。

再令：DCA不穿过圆ABC的圆心，设圆心为E，从E点作EF垂直于AC，连接EB、EC、ED（命题III.1）。

于是：∠EBD是直角（命题III.18）。

又因为：线段EF穿过圆心，与另一条不过圆心的线段AC形成直角，那么也平分该线。所以：AF等于FC（命题III.3）。

因为线段AC在F点被平分，CD是其增加线。所以：AD、DC构成的矩形的面积加上以FC为边的正方形的面积就等于以FD为边的正方形的面积（命题II.6）。

令：以上每个加上以FE为边的正方形的面积。

于是：AD、DC构成的矩形的面积加上以CF、FE为边的正方形的面积等于以FD与FE为边的正方形的面积之和。

又，以EC为边的正方形的面积等于分别以CF、FE构成的正方形的面积之和，因为∠EFC是直角，且以ED为边的正方形的面积等于分别以DF、FE为边的正方形的面积之和。

所以：AD、DC构成的矩形的面积加上以EC为边的正方形的面积等于以ED为边的正方形的面积（命题I.47）。

又，EC等于EB。所以：AD、DC构成的矩形的面积加上以EB为边的正方形的面积等于以ED为边的正方形的面积。

又，分别以EB、BD为边的正方形的面积之和等于以ED为边的正方形的面积，因为∠EBD是直角。所以：AD、DC构成的矩形的面积加上以EB为边的正方形的面积，等于分别以EB、BD为边的正方形的面积之和（命题I.47）。

令：以上每个减去以EB为边的正方形的面积。

于是：余下的AD、DC构成的矩形等于以DB为边的正方形的面积。

所以：如果圆外的一点向圆引两条直线，一条与圆相切，一条穿过圆，那么被圆截得的线段与该点到凸圆之间的线段为边构成的矩形的面积等于以该点向圆引的切线所构成的正方形的面积。

证完