命题III.37

如果圆外的一点向圆引两条线段，一条与圆周相交，一条落在圆上，如果截圆的线段的全部与该点到凸弧之间圆外的线段构成矩形面积等于以落在圆上的线段为边的正方形的面积，那么落在圆上的直线为圆的切线。

设：D为圆ABC外的一点，从D点向圆引两条线段DCA、DB，使DCA穿过圆，DB与圆周的一点相交，使AD、DC构成的矩形的面积等于以DB为边的正方形的面积。

求证：DB是圆ABC的切线。

令：作DE与圆ABC相切，以F为圆心，连接FE、FB和FD（命题III.17、III.1）。

于是：∠FED是直角（命题III.18）。

因为：DE与圆ABC相切，DCA过圆。那么：AD、DC构成的矩形面积等于以DE为边的正方形面积（命题III.36）。

又，AD、DC构成的矩形的面积也等于以DB为边的正方形的面积。所以：以DE为边的正方形的面积等于以DB为边的正方形的面积。所以：DE等于DB。

又，FE等于FB，所以：DE、EF分别等于DB、BF，而FD为三角形共用的底。所以：∠DEF等于∠DBF（命题I.8）。

又，∠DEF是直角，所以：∠DBF也为直角。

又，FB为半径，与圆的半径形成直角的线段，在其尾点与圆相切，所以，DB是圆的切线（命题III.16推论）。

同样，圆心在AC上也可以证明出来。

所以：如果圆外的一点向圆引两条线段，一条与圆周相交，一条落在圆上，如果截圆的线段的全部与该点到凸弧之间圆外的线段构成矩形面积等于以落在圆上的线段为边的正方形的面积，那么落在圆上的直线为圆的切线。

证完

注解

这一命题应用在命题IV.10中。