命题IV.11

在一个圆里，可以作一个内接正五边形。

设：ABCDE为给定的圆。

作：在圆ABCDE内作一个内接正五边形。

令：作等腰三角形FGH，使∠G、∠H分别等于∠F的两倍。在圆ABCDE内作三角形ACD等角于三角形FGH。

于是：∠CAD、∠ACD和∠CDA分别等于∠F、∠G、∠H。

所以：∠ACD、∠CDA也分别等于∠CAD的两倍（命题IV.10、V.2）。

分别作平分线CE、DB平分∠ACD、∠CDA，连接AB、BC、DE和EA（命题I.9）。

因为：∠ACD、∠CDA是∠CAD的两倍，并被CE、DB平分。所以：五个角∠DAC、∠ACE、∠ECD、∠CDB和∠BDA彼此相等。

又，等角所对的弧相等。

所以：五段弧AB、BC、CD、DE和EA彼此相等（命题III.26）。

又，等弧所对的弦相等；所以：五条弦AB、BC、CD、DE和EA彼此相等。

所以：五边形ABCDE是等边的（命题III.29）。

进一步说：它们是等角的。

因为弧AB等于弧DE，令每个加上弧BCD，于是：大弧ABCD等于大弧EDCB。

在弧ABCD上有∠AED，在弧EDCB上有∠BAE，所以：∠BAE也等于∠AED（命题III.27）。

同理，∠ABC、∠BCD和∠CDE也等于∠BAE、∠AED。

所以：五边形ABCDE是等角的。

又已经证明出它是等边的。所以：在一个圆里，可以作一个内接正五边形。

证完