命题IV.12

给定一个圆，可以作它的外切正五边形。

设：ABCDE为定圆。

求作：圆ABCDE的外切正五边形。

令A、B、C、D和E为五边形的五个顶点，那么：圆弧AB、BC、CD、DE和EA彼此相等。过A、B、C、D和E作GH、HK、KL、LM和MG，使之与圆相切，F为圆ABCDE的圆心。连接FB、FK、FC、FL和FD（命题II.16、II.1）。

那么因为：线段KL与圆ABCDE相切于C点，FC是圆心F与切点C的连线。

所以：FC垂直于KL。

所以：C点上的所有角是直角（命题III.18）。

同样理由，B点和D点上的角也为直角。

又因为∠FCK是直角，所以：FK上的正方形面积等于FC、CK上的正方形面积之和（命题I.47）。同样，FK上的正方形面积也等于FB、BK上的正方形面积之和。

所以：FC、CK上的正方形面积之和等于FB、BK上的正方形面积之和。

其中，FC上的正方形面积等于FB上的正方形面积。所以：余下的CK上的正方形面积等于BK上的正方形面积（命题I.47）。所以：BK等于CK。

又，因为FB等于FC，FK是公共边，BF、FK分别等于CF、FK，底BK等于底CK。所以：∠BFK等于∠KFC，∠BKF等于∠FKC。所以：∠BFC是∠KFC的两倍，∠BKC是∠FKC的两倍（命题I.8）。

同样理由，∠CFD也是∠CFL的两倍，∠DLC是∠FLC的两倍。

那么因为弧BC等于弧CD，所以：∠BFC也等于∠CFD（命题III.27）。

又，∠BFC是∠KFC的两倍，∠DFC是∠LFC的两倍。所以：∠KFC也等于∠LFC。又，∠FCK也等于∠FCL，所以：三角形FKC、三角形FLC中，有两对角和一条边对应相等，即FC是它们的公共边。所以：它们的余边相等，余角也相等。

所以：线段KC等于线段CL，∠FKC等于∠FLC（命题I.26）。

又因为KC等于CL，所以：KL是KC的两倍。同理可证，HK是BK的两倍。

而BK等于KC，所以：HK也等于KL。

同理，线段HG、GM和ML也能被证明等于线段HK、KL。

所以：五边形GHKLM是等边的。

以下进一步说明它是等角的。

因为：∠FKC等于∠FLC，∠HKL被证明是∠FKC的两倍，∠KLM是∠FLC的两倍。所以：∠HKL也等于∠KLM。

同理，∠KHG、∠HGM和∠GML也能被证明出等于∠HKL、∠KLM。

所以：五个角∠GHK、∠HKL、∠KLM、∠LMG和∠MGH彼此相等。

所以：五边形GHKLM是等角的。

同时也证明出它是等边的，并作在圆ABCDE上。

所以：给定一个圆，可以作它的外切正五边形。

证完