2.6　抛物线轨道和双曲线轨道

尽管从轨道力学方法这一角度来看，显然应该着重讨论椭圆轨道及其变化规律，但无论是自然天体的运动，还是人造天体的运动（特别是深空探测器的运动），有些问题亦会涉及抛物线和双曲线轨道，特别是双曲线轨道。因此，从实际应用角度考虑，对这两种轨道作一简单介绍也是有必要的。

2.6.1　抛物线轨道

此时，e＝1，a→∞，故面积积分（2.15）式和轨道积分（2.13）式变为

该抛物线的焦点仍在中心天体上，p是半通径，q是近星距。仍定义f为真近点角，有

那么（2.151）和（2.152）式即可分别写成下列形式：

将式（2.155）代入式（2.154），积分该式即给出

其中τ是最后一个积分常数，与椭圆运动类似，它也是运动天体p过近星点的时刻。因此，抛物线轨道根数由于e＝1只剩下5个，即i，Ω，q，ω，τ。

2.6.2　双曲线轨道

此时e＞1，相应的面积积分（2.15）式和轨道方程（2.13）式变为

其中

这里的p亦称为半通径，p和a的几何意义见图2.4，f是真近点角，ω是近星点角距，而相应的近星距为

活力公式（2.17）在这里变为下列形式：

类似于对椭圆运动的积分方法，由（2.162）式利用（2.157）式消除给出

引进辅助变量E

代入（2.163）式后积分该式即给出双曲线运动的第六个积分：

其中τ为第六个积分常数，亦是过近星点的时刻。虽然这里引进的E与椭圆运动中的偏近点角E意义不同，但上述f，E和M之间的几何关系与椭圆运动中的相应关系类似，即

由轨道方程（2.158）不难看出，1＋ecosf＝0，r→∞，由此可知：

方程（2.165）类似椭圆运动中的Kepler方程，但由于e＞1，不能用一般的迭代法求解，若用简单的牛顿迭代法，亦容易由给定的e，M求出E。若取初值E＝E（0），则改正公式为

一般情况下，迭代过程中（2.169）式的改正部分只要取到ΔE的一次项，即

算例如下：

由e＝1.5，M＝π/4＝0.785398163，求E值。取E（0）＝M，相应的改正过程如下：

E（4）对应的eshE-E＝0.785398163，与M值在9位有效数字上完全相同。当然，还可充分利用计算机的条件，采用更快速的迭代算法，这里只是举一个简单的算例供读者参考。

2.6.3　位置矢量和速度矢量的计算公式

对于上述两种轨道，运动天体的位置矢量的表达式与椭圆轨道相同，即

其中和即近星点方向和半通径方向的单位矢量，它们的表达式与椭圆运动中的形式相同，见（2.39）和（2.40）两式。

关于速度矢量的表达式，两种轨道稍有不同，对于抛物线轨道和双曲线轨道分别为