任务四　平面力系的平衡

一、平面一般力系的平衡条件、平衡方程及其应用

由上任务可知,平面一般力系向一点简化的结果之一是：主矢和主矩同时等于零。主矢＝0,表明作用于简化中心O的平面汇交力系为平衡力系；主矩mO＝0,表明附加力偶系也是平衡力系,所以原力系必为平衡力系。因此,与mO同时等于零,是力系平衡的充分条件。

反过来,如果物体处于平衡状态,平面任意力系的主矢、主矩必同时等于零。因为如果≠0或mO≠0,则平面任意力系就可合成为一个合力或合力偶,于是刚体就不能保持平衡。所以,＝0和mO＝0又是平面任意力系平衡的必要条件。

因此,平面一般力系平衡的必要和充分条件是：力系的主矢和力系对任一点的主矩都等于零,即

由于

于是平面一般力系的平衡方程为

式(2-7)为平面一般力系平衡方程的基本形式。它表明：平面一般力系平衡的必要与充分条件是：力系所有各力在两个任选的坐标轴上投影的代数和等于零,以及力系的各力对其作用平面内任一点力矩的代数和也等于零。

平面力系的平衡方程除式(2-7)的基本形式外,还有二力矩式方程和三力矩式方程。若将式(2-7)中两个投影方程中的某一个用力矩式方程代替,则可得到二力矩式平衡方程：

附加条件：A、B连线不能垂直于投影轴。否则,式(2-8)就只是平面任意力系平衡的必要条件,而不是充分条件。

若将式(2-7)中的两个投影方程都用力矩式方程代替,则可得三力矩式平衡方程：

附加条件：A、B、C三点不共线。否则,式(2-9)只是平面任意力系平衡的必要条件,而不是充分条件。

上述三组平衡方程中,投影轴和矩心都是可以任意选取的,所以可写出无数个平衡方程,但只要满足其中一组,其余方程就都自动满足,故独立的平衡方程只有三个,最多可求解三个未知量。

【例2-4】　梁AB上受力如图2-13所示,已知荷载集度q＝100N/m,力偶矩m＝500N·m。求活动铰支D和固定铰支A的反力。

解：(1)取梁AB为研究对象,其受力如图2-13(b)所示。

(2)列平衡方程,求解得

计算得：FAx＝0,FD＝475N,FAy＝-175N。

(3)校核：对D点求合力偶矩,得

可见,计算无误。

二、几种平面特殊力系的平衡方程

平面汇交力系、平面平行力系和平面力偶系可以看作平面力系的特殊情况。它们的平衡方程均可由式(2-7)导出。

(一)平面汇交力系

若取汇交点为矩心,则式(2-7)中的力矩式方程自动满足,故其平衡方程为

由于只有两个方程,所以最多可以求解两个未知量。

【例2-5】　支架由杆AB、AC构成,A、B、C三处都是铰链,在A点悬挂重量为FG＝20kN的重物,如图2-14(a)所示,求杆AB、AC所受的力。杆的自重不计。

解：(1)取A铰为研究对象。

(2)画A铰受力图。如图2-14(b)所示,因杆AB、AC都是二力直杆,它们对铰A的约束反作用力都沿着各自的轴线方向,并设为拉力。

(3)建立坐标系。如图2-14(b)所示,将坐标轴分别和两未知力垂直,使运算简化。

计算结果FAB为正,表示该力实际指向与受力图中假设的指向一致,表明AB杆件受拉；FAC为负,表示该力实际指向与受力图中假设的指向相反,说明杆件AC受压。

(二)平面平行力系

对于如图2-15所示的平面平行力系F1,F2,…,Fn,取Ox轴与各力垂直,则式(2-7)中∑Fx＝0恒满足,于是独立的平衡方程就只有两个,即

当荷载连续地作用在整个构件或构件的一部分上时,称为分布荷载,如水压力、土压力和构件的自重等。如果荷载是分布在一个狭长范围内,则可以把它简化为沿狭长面的中心线分布的荷载,称为线荷载。例如,梁的自重就可以简化为沿梁的轴线分布的线荷载。

当各点线荷载的大小都相同时,称为均布线荷载；当线荷载各点大小不相同时,称为非均布线荷载。

各点荷载的大小用荷载集度q表示,某点的荷载集度表示线荷载在该点的密集程度。其常用单位为N/m或kN/m。

可以证明：按任一平面曲线分布的线荷载,其合力的大小等于分布荷载图的面积,作用线通过荷载图形的形心,合力的指向与分布力的指向相同。

【例2-6】　如图2-16(a)所示水平梁受荷载F＝20kN、q＝10kN/m作用,梁的自重不计,试求AB处的支座反力。

解：(1)选取研究对象。取梁AB为研究对象。

(2)画受力图。梁上作用的荷载F、q和支座反力FB相互平行,故支座反力FA必与各力平行,才能保证力系为平衡力系。这样荷载和支座反力组成平面平行力系,如图2-16(b)所示。

(3)列平衡方程并求解。建立坐标系,如图2-16(b)所示,由

【例2-7】　塔式起重机简图如图2-17所示。已知机架重量FG1＝500kN,重心C至右轨B的距离e＝1.5m；起吊重量FG2＝250kN,其作用线至右轨B的最远距离L＝10m；两轨间距b＝3m。为使起重机在空载和满载时都不致倾倒,试确定平衡锤的重量FG3(其重心至左轨A的距离a＝6m)。

解：为了保证起重机不倾倒,须使作用在起重机上的主动力FG1、FG2、FG3和约束力FA、FB所组成的平面平行力系在满载和空载时都满足平衡条件,因此平衡锤的重量应有一定的范围。

(1)满载时,若平衡锤重量太小,起重机可能绕B点向右倾倒。开始倾倒的瞬间,左轮与轨道A脱离接触,这种情形称为临界状态。这时,FA＝0,满足临界状态平衡条件的平衡锤重为所必需的最小平衡锤重FG3min,于是由

得

(2)空载时,FG2＝0,若平衡锤太重,起重机可能绕A点向左倾倒。在临界状态下,FB＝0,满足临界状态平衡条件的平衡锤重将是所允许的最大平衡锤重FG3max,于是由

综上所述,为保证起重机在空载和满载时都不倾倒,平衡锤的重量应满足

(三)平面力偶系

由平面力偶系的合成结果只有一个合力偶可知,若力偶系平衡,其合力偶矩必等于零；反之,若合力偶矩等于零,则原力偶系必定平衡。平面力偶系平衡的必要和充分条件是：力偶系中所有各力偶的力偶矩的代数和等于零,即

【例2-8】　如图2-18(a)所示,梁AB上作用有两个力偶,它们的力偶矩分别为m1＝15kN·m,m2＝24kN·m,l＝6m。若梁重不计,试求支座A、B的约束反力。

解：由支座B的性质知,FB的作用线通过铰心B且与支承面垂直。支座A的反力FA作用线通过铰心A但方位不能确定。梁上只有两个外力偶的作用,而力偶只能与力偶平衡,因此FA与FB必组成一个力偶。因而,FA的作用线必与FB的作用线平行,并且大小相等、方向相反。梁AB的受力图如图2-18(b)所示,图中FA与FB的指向是假设的。由平衡方程