2.3 概率极限状态设计的概念

2.3.1 极限状态的定义与分类

结构的极限状态是指结构或结构的一部分超过某一特定状态就不能满足设计规定的某一功能要求，此特定状态就称为该功能的极限状态。

根据功能要求，通常把钢筋混凝土结构的极限状态分为承载能力极限状态和正常使用极限状态两类。

1.承载能力极限状态

这一极限状态对应于结构或结构构件达到最大承载力或达到不适于继续承载的变形。

出现下列情况之一时，就认为已达到承载能力极限状态：

（1）结构或结构的一部分丧失稳定。

（2）结构形成机动体系丧失承载能力。

（3）结构发生滑移、上浮或倾覆。

（4）构件截面因材料强度不足而破坏。

（5）结构或构件产生过大的塑性变形而不适于继续承载。

满足承载能力极限状态的要求是结构设计的头等任务，因为这关系到结构的安全，所以对承载能力极限状态应有较高的可靠度（安全度）水平。

2.正常使用极限状态

这一极限状态对应于结构或构件达到影响正常使用或耐久性能的某项规定限值。

出现下列情况之一时，就认为已达到正常使用极限状态：

（1）产生过大的变形，影响正常使用或外观。

（2）产生过宽的裂缝，影响正常使用（渗水）或外观；使人们心理上产生不能接受的感觉；对耐久性也有一定的影响。

（3）产生过大的振动，影响正常使用。

结构或构件达到正常使用极限状态时，会影响正常使用功能及耐久性，但还不会造成生命财产的重大损失，所以它的可靠度水平允许比承载能力极限状态的可靠度水平有所降低。

2.3.2 极限状态方程、失效概率和可靠指标

2.3.2.1 极限状态方程

结构的极限状态可用极限状态函数（或称功能函数）Z来描述。设影响结构极限状态的有n个独立变量X_i（i=1，2，…，n），函数Z可表示为：

X_i代表了各种不同性质的荷载、混凝土和钢筋的强度、构件的几何尺寸、配筋数量、施工的误差以及计算模式的不定性等因素。从概率统计理论的观点，这些因素都不是“确定的值”而是随机变量，具有不同的概率特性和变异性。

为叙述简明起见，下面用最简单的例子加以说明，即将影响极限状态的众多因素用荷载效应S和结构抗力R两个变量来代表，则

显然，当Z>0（即R>S）时，结构安全可靠；当Z<0（即R<S）时，结构就失效。当Z=0（即R=S）时，则表示结构正处于极限状态。所以公式Z=0就称为极限状态方程。

2.3.2.2 失效概率

在概率极限状态设计法中，认为结构抗力和荷载效应都不是“定值”，而是随机变量，因此应该用概率论的方法来描述它们。

由于R、S都是随机变量，故Z也是随机变量。

出现Z<0的概率，也就是出现R<S的概率，称为结构的失效概率，用p_f表示。p_f值等于图2-1所示Z的概率密度分布曲线的阴影部分的面积。

图2-1 Z的概率密度分布曲线及β与p_f的关系

从理论上讲，用失效概率p_f来度量结构的可靠度，当然比用一个完全由工程经验判定的安全系数K来得合理，它能比较确切地反映问题的本质。

如果假定结构抗力R和荷载效应S这两个随机变量均服从正态分布，它们的平均值和标准差分别为μ_R、μ_S和σ_R、σ_S，则由概率论可知，功能函数Z也服从正态分布，Z的平均值和标准差分别为μ_Z和σ_Z。

Z的正态分布的概率密度函数为：

则由图2-1可知，失效概率p_f可由下式求得：

由式（2-7）可知，p_f计算是相当复杂的。

2.3.2.3 可靠指标

在图2-1中，随机变量Z的平均值μ_Z可用它的标准差σ_Z来度量，即令

不难看出，β与p_f之间存在着一一对应的关系。β小时，p_f就大；β大时，p_f就小。所以β和p_f一样，也可作为衡量结构可靠度的一个指标，我们把β称为可靠指标。

根据Z=R-S的函数关系，由概率论可得：

将式（2-9）代入式（2-8），可求得可靠指标：

式（2-10）与式（2-7）相比，可见可靠指标β的计算比直接求失效概率p_f来得方便。

由式（2-10）可见，可靠指标β不仅与结构抗力R和荷载效应S的平均值μ_R、μ_S有关，还与它们的标准差σ_R、σ_S有关。R和S的平均值μ_R与μ_S相差愈大，β也愈大，结构就愈可靠，这与传统的采用定值的安全系数在概念上是一致的。当R和S的平均值μ_R、μ_S不变的情况下，它们的标准差σ_R、σ_S愈小，也就是说它们的变异性（离散程度）愈小时，β值就愈大，结构就愈可靠，这是传统的安全系数K所无法反映的。

用概率的观点来研究结构的可靠度，绝对可靠的结构是不存在的，但只要其失效概率很小，小到人们可以接受的程度，就可认为该结构是安全可靠的。

当结构抗力R和荷载效应S均服从正态分布时，失效概率p_f和可靠指标β的对应关系如表2-1所列。

应该知道，式（2-10）只是两个变量的最简单的情况。在实际工程设计中，影响结构可靠度的变量可能不下十几个，它们有的服从正态分布，大部分却是非正态的，在计算中要先转化为“当量正态分布”后再投入运算，因此，可靠指标β就不能用式（2-10）那样的简单公式计算了，它的计算就会变得非常复杂，无法在一般设计工作中直接应用。

有关结构可靠度设计理论的进一步探讨可参阅相关文献^[2]。

2.3.2.4 目标可靠指标与结构安全级别

为使所设计的结构构件既安全可靠又经济合理，必须确定一个大家能接受的结构允许失效概率［p_f］。要求在设计基准期内，结构的失效概率p_f不大于允许失效概率［p_f］。

当采用可靠指标β表示时，则要确定一个“目标可靠指标β_T”，要求在设计基准期内，结构的可靠指标β不小于目标可靠指标β_T。即

目标可靠指标β_T理应根据结构的重要性、破坏后果的严重程度以及社会经济等条件，以优化方法综合分析得出的。但由于大量统计资料尚不完备或根本没有，目前只能采用“校准法”来确定目标可靠指标。

校准法的实质就是认为：由原有的设计规范所设计出来的大量结构构件反映了长期工程实践的经验，其可靠度水平在总体上是可以接受的，所以可以运用前述“概率极限状态理论”（或称为近似概率法）反算出由原有设计规范设计出的各类结构构件在不同材料和不同荷载组合下的一系列可靠指标β_i，再在分析的基础上把这些β_i综合成一个较为合理的目标可靠指标β_T。

承载能力极限状态的目标可靠指标与结构的安全级别、构件的破坏性质有关。结构安全级别要求愈高，目标可靠指标就应愈大。钢筋混凝土受压、受剪等构件，破坏时发生的是突发性的脆性破坏，与受拉、受弯构件破坏前有明显变形或预兆的延性破坏相比，其破坏后果要严重许多，因此脆性破坏的目标可靠指标应高于延性破坏。

根据校准法，我国《建筑结构可靠度设计统一标准》（GB 50068—2001）将建筑物划分为三个安全级别，规定了它们各自的承载能力极限状态的目标可靠指标（表2-2）。

在水利水电工程中，《水利水电工程结构可靠度设计统一标准》（GB 50199—94）也将水工建筑物的安全级别分为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个级别，对于不同安全级别采用与表2-2相同的目标可靠指标。但水工中的Ⅰ级安全级别所对应的建筑物是1级水工建筑物；Ⅱ级安全级别对应的建筑物是2级、3级水工建筑物；Ⅲ级安全级别所对应的建筑物是4级、5级水工建筑物，详细情况可查阅《水利水电工程等级划分及洪水标准》（SL 252—2000）或《水电枢纽工程等级划分及设计安全标准》（DL 5180—2003）。

正常使用极限状态的目标可靠指标显然可以比承载能力极限状态的目标可靠指标来得低，这是因为正常使用极限状态只关系到使用的适用性，而不涉及结构构件的安全性这一根本问题。目前，正常使用极限状态的目标可靠指标研究得还很不成熟，在我国，只笼统地认为可取为1～2。