3.4 单筋矩形截面构件正截面受弯承载力计算

3.4.1 计算简图与基本公式

根据受弯构件适筋破坏特征，在进行受弯构件单筋矩形截面正截面受弯承载力计算时，忽略受拉区混凝土的作用；受压区混凝土的应力图形采用等效矩形应力图形，应力值取为混凝土的轴心抗压强度设计值f_c；受拉钢筋应力达到钢筋的抗拉强度设计值f_y。计算简图如图3-18所示。

图3-18 单筋矩形截面受弯构件正截面承载力计算简图

根据计算简图和截面内力的平衡条件，并满足承载能力极限状态的计算要求，可得两个下列基本公式。

1.按DL/T 5057—2009规范

式中 M^D——弯矩设计值，为式（2-21）（荷载效应基本组合）或式（2-23）（荷载效应偶然组合）计算值与γ₀ψ的乘积；γ₀为结构重要性系数，ψ为设计状况系数，按本教材第2章有关规定取用；

M_u——截面极限弯矩值；

γ_d——结构系数，按表2-6采用；

f_c——混凝土轴心抗压强度设计值，按本教材附录2表1取用；

b——矩形截面宽度；

x——混凝土受压区计算高度；

h ₀——截面有效高度，h₀=h-a，h为截面高度，a为纵向受拉钢筋合力点至截面受拉边缘的距离；

f_y——钢筋抗拉强度设计值，按本教材附录2表3取用；

A_s——受拉区纵向钢筋截面面积。

2.按SL 191—2008规范

式中 M^S——弯矩设计值，按式（2-31）与式（2-32）（荷载效应基本组合）或式（2-33）（荷载效应偶然组合）计算；

K——承载力安全系数，按表2-7采用；

其余符号意义与DL/T 5057—2009规范相同。

由于DL/T 5057—2009规范与SL 191—2008规范的材料强度取值相同，因而式（3-6）与式（3-4）是完全相同的。式（3-5）与式（3-3）的右端项（抗力M_u）也完全相同，只是左端项（γ_dM^D与KM^S）有所差异。

为了保证构件是适筋破坏，应用基本公式时应满足下列两个适用条件：

式中 ξ_b——相对界限受压区计算高度，对于热轧钢筋，按式（3-1）计算或按表3-1取用；

ρ——受拉区纵向钢筋配筋率；

ρ _min——受弯构件纵向受拉钢筋最小配筋率，按本教材附录4表3取用；

α ₁——系数，在DL/T 5057—2009规范中α₁=1.0，在SL 191—2008规范中α₁=0.85。

式（3-7）是为了防止配筋过多而发生超筋破坏。式（3-8）是为了防止配筋过少而发生少筋破坏。如计算出的配筋率ρ小于ρ_min时，则应按ρ_min配筋。

在已知材料强度、截面尺寸等条件下，可联立求解基本公式（3-3）和式（3-4）或式（3-5）和式（3-6），得出受压区计算高度x及受拉钢筋截面面积A_s值，其计算步骤见本章［例3-1］。

但利用基本公式求解时，必须解一元二次联立方程组，比较麻烦，为了计算方便可将基本公式作如下处理。

1.按DL/T 5057—2009规范

将ξ=x/h₀（即x=ξh₀）代入式（3-3）、式（3-4），并令

此时，其适用条件相应为：

式中 α_s——截面抵抗矩系数，按式（3-9）计算；

ξ——相对受压区计算高度；

α ₁——系数，在DL/T 5057—2009规范中α₁=1.0。

设计时应满足M_u≥γ_dM^D，但为经济起见一般取M_u=γ_dM^D。具体计算时，可先由式（3-10）求α_s

再由式（3-9）求解ξ

将ξ代入式（3-11）即可求得钢筋截面面积A_s

2.按SL 191—2008规范

按SL 191—2008规范设计时，同样可作相同的处理，即只需将上述公式中的γ_dM^D用KM^S代替，取系数α₁=0.85即可得到按SL 191—2008规范设计所需的计算公式。

在确定截面有效高度h₀时，a值可由混凝土保护层厚度c和钢筋直径d计算得出。钢筋单层布置时，；钢筋双层布置时，，其中e为两层钢筋间的净距。一般情况下，a值也可取下列近似值。

混凝土保护层厚度c可根据构件性质及构件所处的环境条件类别定出，其值应不小于本教材附录4表1所列数值，表中的环境条件类别具体划分参见附录1。

在基本公式中，是假定受拉钢筋的应力达到f_y，受压混凝土的应力达到f_c的。由前一节可知，这种应力状态只在配筋量适中的构件中才会发生，所以基本公式只适用于适筋构件，而不适用于超筋构件和少筋构件。

3.4.2 截面设计

截面设计时，一般可先根据建筑物使用要求、外荷载（弯矩设计值）大小及所选用的混凝土等级与钢筋种类，凭设计经验或参考类似结构定出构件的截面尺寸b×h，然后计算受拉钢筋截面面积A_s。

在设计中，可有多种不同截面尺寸供选择。显然，截面尺寸定得大，配筋量就可小一些。截面尺寸定得小，配筋量就会大一些。截面尺寸的选择应使计算得出的配筋率ρ处在常用配筋率范围之内，对一般板和梁，其常用配筋率范围是：

板0.4%～0.8%

矩形截面梁 0.6%～1.5%

T形截面梁 0.9%～1.8%（相对于梁肋来说）

应当指出，对于有特殊使用要求的构件，则应灵活处理。例如为了减轻预制构件的自重，可采用比上述常用配筋率略高的数值；对有抗裂要求的构件，其配筋率必将低于上列数值。

正截面抗弯配筋的设计步骤如下。

1.作出板或梁的计算简图

计算简图中应表示支座和荷载的情况，以及板或梁的计算跨度。

图3-19 简支板（梁）

简支板、梁（图3-19）的计算跨度l₀可取下列各相应l₀值中的较小者：

式中 l_n——板或梁的净跨度；

a——板或梁的支承长度；

h——板厚。

2.内力计算

按DL/T 5057—2009规范设计时，可根据板梁的安全级别由表2-3查得γ₀，并由相应的设计状况确定ψ。

对图3-19所示的简支板或梁，可按作用在板或梁上的全部荷载（永久荷载及可变荷载），求出跨中最大弯矩设计值。现浇板的宽度一般都比较大，其计算宽度b可取单位宽度（1.0m）。

3.配筋计算

（1）按DL/T 5057—2009规范设计时，由表2-6查得γ_d；按SL 191—2008规范设计时，可根据板梁的安全级别由表2-7查得K。

（2）按DL/T 5057—2009规范设计时，由式（3-14）计算出α_s；按SL 191—2008规范设计时，则需将式（3-14）中的γ_dM^D改为KM^S。

（3）根据α_s值，由式（3-15）计算出相对受压区计算高度ξ，并检查ξ值是否满足适用条件ξ≤α₁ξ_b。对DL/T 5057—2009规范，α₁=1.0；对SL 191—2008规范，α₁=0.85。如不满足，则应加大截面尺寸、提高混凝土强度等级或采用双筋截面重新计算。ξ_b或0.85ξ_b可直接由表3-1查出。

（4）再由式（3-16）计算出所需要的钢筋截面面积A_s。

（5）计算配筋率ρ，ρ=A_s/（bh₀），并检查是否满足适用条件ρ≥ρ_min。如不满足，则应按最小配筋率ρ_min配筋，即取A_s=ρ_minbh₀。

最好使求得的ρ处在常用配筋率范围内，如不在范围内，可修改截面尺寸，重新计算。经过一、二次计算后，就能够确定出合适的截面尺寸和钢筋数量。

（6）由本教材附录3表1选择合适的钢筋直径及根数。对板，也可由附录3表2选择合适的钢筋直径及间距。实际采用的钢筋截面面积一般应等于或略大于计算需要的钢筋截面面积，如若小于计算所需的面积，则相差不应超过5%。钢筋的直径和间距等应符合3.1节所述有关构造的规定。

4.绘制截面配筋图

配筋图上应表示截面尺寸和配筋情况，注意应按适当比例正规绘制。

3.4.3 承载力复核

有时已知构件截面尺寸、混凝土强度等级、钢筋种类和受拉钢筋的截面面积，需要复核该构件正截面受弯承载力的大小，可按下列步骤进行：

（1）由式（3-11）计算相对受压区计算高度ξ，并检查是否满足适用条件式ξ≤α₁ξ_b。如不满足，表示截面配筋属于超筋，承载力控制于混凝土受压区，则取ξ=α₁ξ_b计算。这里，按DL/T 5057—2009规范校核时，α₁=1.0；按SL 191—2008规范校核时，α₁=0.85。

（2）根据ξ值由式（3-9）计算α_s。

（3）由式 （3-10）计算出截面受弯承载力。

（4）当已知截面承受的弯矩设计值M^D或M^S时，按承载能力极限状态计算要求，应满足（DL/T 5057—2009规范）或（SL191—2008规范）。

【例3-1】 某灌溉渠控制闸（5级水工建筑物）的闸门用螺杆启闭机启闭，如图3-20（a）所示，启闭机支承在两根梁上，试按DL/T 5057—2009规范与SL 191—2008规范计算其中一根矩形梁跨中截面所需的纵向钢筋截面面积。

资料：闸门提升时启门力80.0kN，启闭机及机墩重10.0kN，由两根梁承受，则每根梁承受作用于跨中的集中荷载标准值为Q_k=40.0kN（启门力）和G_k=5.0kN（启闭机及机墩重）。对单孔小闸，启闭机梁承受的人群荷载主要为启闭机操作人员和管理人员，取其标准值为q_k=1.20kN/m。

图3-20 启闭机支承梁、内力计算简图及截面配筋图

取梁宽b=200mm，梁高h=400mm。

采用C25混凝土及HRB400钢筋。

由本教材附录2表1及表3查得材料强度设计值f_c=11.9N/mm²，f_y=360N/mm²；钢筋混凝土重力密度γ=25kN/m³。

解：

1.按DL/T 5057—2009规范计算

（1）分项系数

由表2-3，5级水工建筑物的结构安全级别为Ⅲ级，结构重要性系数γ₀=0.9。正常使用期为持久状况，设计状况系数ψ=1.0。

由表2-4和表2-5查得荷载分项系数为：梁自重、启闭机及机墩重等永久荷载，γ_G=1.05；人群荷载，γ_Q1=1.20（一般可变荷载）；启门力，γ_Q2=1.10 （采用制造厂家提供的最大启门力，属于可控制的可变荷载）。

由表2-6查得结构系数γ_d=1.20。

（2）荷载

梁自重 标准值g_k=bhγ=0.2×0.4×25=2.0（kN/m）

设计值g=γ_Gg_k=1.05×2.0=2.10（kN/m）

启闭机及机墩重 标准值G_k=5.0kN

设计值G=γ_GG_K=1.05×5.0=5.25（kN）

启门力 标准值Q_k=40.0kN

设计值Q=γ_Q2Q_k=1.10×40.0=44.0（kN）

人群荷载 标准值q_k=1.20kN/m

设计值q=γ_Q1q_k=1.20×1.20=1.44（kN/m）

（3）内力计算

启闭机梁两端搁置在墩子上，可按简支梁计算。计算简图如图3-20（b）所示。

梁的计算跨度l₀可取下列两者中的较小者：

l ₀=l_n+a=3.6+0.4=4.0(m)

l ₀=1.05l_n=1.05×3.6=3.78(m)

取计算跨度 l₀=3.78m

由式（2-36），求简支梁跨中弯矩设计值为

（4）配筋计算

该启闭机梁处于露天（二类环境条件），由附录4表1查得混凝土保护层最小厚度c=35mm，估计钢筋直径d=20mm，排成一层，所以得

则截面有效高度h₀=h-a=400-45=355（mm）。

γ_dM^D=1.20×47.58=57.10(kN·m)

将各已知数值代入基本设计公式（3-3）和式（3-4），可得

由式（a）、式（b）联立求解，可得

x=76mm<ξ_bh₀=184mm

A_s=502mm²

上述解一元二次方程的计算比较麻烦，下面再利用系数α_s进行计算。

按式（3-14）求得

按式（3-15）求得

（查表3-1），满足要求。

按式（3-16）求得

与解联立方程式计算结果相同。

（查附录4表3），满足要求。

可以看出，对设计截面，利用系数α_s计算比解方程式运算简便，因此截面设计一般都采用系数α_s进行计算。

查附录3表1，选用（实际A_s=556mm²）。钢筋配置如图3-20（c）所示。

选用钢筋排成一层，需要的宽度为2×35 （侧保护层厚度）+（2×16+14）（钢筋直径）+2×25（钢筋净距）=166mm，小于梁宽200mm，所以可排成一层。

2.按SL 191—2008规范计算

（1）内力计算

荷载标准值同按DL/T 5057—2009规范计算：g_k=2.0kN/m；q_k=1.20kN/m；G_k=5.0kN；Q_k=40.0kN。

由式（2-38），可求得跨中弯矩设计值

（2）配筋计算

由表2-7，查得5级水工建筑物基本组合时的安全系数K=1.15。

由式（3-14）（式中γ_d用K代替，M^D用M^S代替）得

按式（3-15）求得

，满足要求。

查附录3表1，选用（实际A_s=556mm²）。钢筋配置仍如图3-20 （c）所示。

【讨论】

（1）从上面的计算可见，对5级水工建筑物（Ⅲ级安全级别）按SL 191—2008规范得出的钢筋用量比按DL/T 5057—2009规范得出的多7.4%。

若将该灌溉渠控制闸提高到3级建筑物（Ⅱ级安全级别），则按DL/T 5057—2009规范与SL 191—2008规范得到的钢筋用量皆为563mm²。若将该灌溉渠控制闸提高到1级建筑物（Ⅰ级安全级别），则按DL/T 5057—2009规范与SL 191—2008规范得到的钢筋用量分别为631mm²和648mm²。

可见，对4、5级建筑物，SL 191—2008规范得出的钢筋用量较DL/T 5057—2009规范提高较多，这是因为在SL 191—2008规范中，安全系数中所包含的结构重要性系数γ₀，对4、5级建筑物（Ⅲ级安全级别）已从DL/T 5057—2009规范所取的0.9提高到0.95。对1～3级建筑物，两本规范得出的钢筋用量相差很小或相等。这是因为对1～3级建筑物，两本规范γ₀取值相同，其钢筋用量的稍微差异仅是由于安全系数列表取整所引起的。

（2）如将本例混凝土强度等级改用C30，仍采用HRB400钢筋，按DL/T 5057—2009规范计算，钢筋截面面积A_s=488mm²。与前面计算结果相比较，混凝土强度等级由C25提高到C30，f_c值提高了20.17%，但钢筋用量仅减少2.40%。可见，在配筋适量的受弯构件中，承载力主要决定于受拉钢筋用量及钢筋强度，而混凝土强度等级对正截面受弯承载力的影响并不敏感。但对混凝土率先受压破坏的超筋梁来说，混凝土强度等级大小对正截面受弯承载力M_u的影响就很大了。

【例3-2】 图3-21（a）所示的某重力坝坝顶的人行道，横向由两块预制实心板铺设在坝体伸出的悬臂梁上而成，试按DL/T 5057—2009规范配置该人行道板的钢筋。

图3-21 坝顶人行道板的配筋图

1—预制板；2—坝体；3—悬臂梁

资料：每块板的标志长度（悬臂梁中距）为3.0m，标志宽度为0.75m；在正常使用期，板上人群荷载标准值为3.0kN/m²。采用C25混凝土与HPB300钢筋。由附录2表1和表3查得f_c=11.9N/mm²，f_y=270N/mm²。该人行道的结构安全级别定为Ⅲ级。

解：

1.分项系数

由表2-3，Ⅲ级结构安全级别，结构重要性系数γ₀=0.9。正常使用期为持久状况，设计状况系数ψ=1.0。

由表2-4和表2-5查得荷载分项系数为：板自重γ_G=1.05（永久荷载）；人群荷载，γ_Q1=1.20（一般可变荷载）。

由表2-6查得结构系数γ_d=1.20。

2.荷载标准值

参考类似结构，估计板的厚度h=100mm。

在正常使用时板承受的荷载标准值为：

均布永久荷载（板自重）：g_k=0.10×0.75×25=1.88（kN/m）

均布可变荷载（人群荷载）：q_k=3.0×0.75=2.25（kN/m）

3.内力计算

板的两端搁置在坝体挑出的悬臂梁上，所以板是简支的。板的计算跨度为：

l ₀=l_n+a=2.70+0.15=2.85(m)

l ₀=l_n+h=2.70+0.10=2.80(m)

l ₀=1.1l_n=1.1×2.70=2.97(m)

因此取计算跨度 l₀=2.80m

由式（2-36），可求得跨中最大弯矩设计值：

4.配筋计算

由附录4表1，取混凝土保护层厚度c=25mm （二类环境条件），初估钢筋直径d=10mm，则（mm），h₀=h-a=100-30=70 （mm），板计算宽度采用一块预制板宽b=750mm。

由式（3-14）得

由式（3-15）得

（查表3-1）

由式（3-16）得

查附录3表1，选用（A_s=302mm²）。

在受力钢筋的内侧应布置与受力钢筋相垂直的分布钢筋，其直径和间距可按3.1节所述的构造要求来确定。分布钢筋选用（＠250表示每两根钢筋中心间的距离为250mm）。

5.绘制施工图

为了便于板的安装铺设和接头填缝，板的构造长度比标志长度减小20mm；构造宽度比标志宽度减小10mm。预制板的施工图如图3-21（b）所示。

【例3-3】 某抽水站泵房内一矩形截面简支梁（Ⅱ级安全级别），截面尺寸为250mm×500mm。混凝土强度等级选用C25，采用HRB400钢筋。按DL/T 5057—2009规范得到的跨中截面弯矩设计值M^D=195.0kN·m，试按DL/T 5057—2009规范计算该截面所需的钢筋截面面积。

解：由附录2表1和表3查得f_c=11.9N/mm²，f_y=360N/mm²；由表2-6查得结构系数γ_d=1.20。

一类环境条件，保护层厚度c=30mm；估计需配置双层钢筋，由式（3-17b）取a=65mm，h₀=h-a=500-65=435（mm）。

说明截面属于超筋破坏情况，所以将混凝土强度等级改用C30进行设计，f_c=14.3N/mm²。

查附录3表1选用（A_s=2029mm²），钢筋布置符合构造要求，见图3-22。

图3-22 截面配筋图

此题也可不提高混凝土强度等级，而将截面尺寸改为250mm×600mm，读者可自行计算。

【例3-4】 某现浇简支板（Ⅱ级安全级别），板厚h=120mm，计算跨度l₀=3.10m。采用C25混凝土及配有钢筋。施工期承受的施工荷载标准值为3.0kN/m²。试验算此简支板在施工期是否安全？

解：由附录2表1和表3查得f_c=11.9N/mm²，f_y=300N/mm²；取板宽b=1000mm计算，由附录3表2查得A_s=359mm²（）。

1.荷载标准值

在施工期板承受的荷载标准值为：

均布永久荷载（板自重）：g_k=0.12×1.0×25=3.0（kN/m）

均布可变荷载（施工荷载）： q_k=3.0×1.0=3.0（kN/m）

2.按DL/T 5057—2009规范计算

由表2-3，Ⅱ级安全级别的结构重要性系数γ₀=1.0。施工期为短暂状况，设计状况系数ψ=0.95。由表2-4及表2-5查得荷载分项系数为：板自重γ_G=1.05，施工荷载γ_Q1=1.20。由表2-6查得结构系数γ_d=1.20。

二类环境条件，保护层厚度c=25mm，单层钢筋，（mm），h₀=h-a=120-29=91（mm）。

（1）内力计算

永久荷载设计值（板自重）： g=γ_Gg_k=1.05×3.0=3.15（kN/m）

可变荷载设计值（施工荷载）： q=γ_Q1q_k=1.20×3.0=3.60（kN/m）

由式（2-36）得跨中最大弯矩设计值：

（2）正截面受弯承载力M_u计算

由式（3-11）得

由式（3-9）得

由式（3-10）得

（3）实际能承受的弯矩设计值计算

3.按SL 191—2008规范计算

（1）内力计算

由式（2-38）得跨中最大弯矩设计值：

（2）正截面受弯承载力M_u计算

ξ、α_s及M_u计算过程及结果同按DL/T 5057—2009规范计算，只是用ξ≤0.85ξ_b判别构件是否超筋。

（3）实际能承受的弯矩设计值计算

由表2-7，查得Ⅱ级安全级别、基本组合时的安全系数K=1.20。

，故稍欠安全 （差5%）。

可见，两本规范得出的结论不同。这是因为对Ⅱ级安全级别的结构，虽然DL/T 5057—2009规范的重要性系数γ₀与SL 191—2008规范的安全系数中所包含的结构重要性系数γ₀是相等的，但对设计状况系数ψ的规定却不同。DL/T 5057—2009规范保留了《水工混凝土结构设计规范》（DL/T 5057—1996）的规定，认为短暂状况的可靠度要求可低于持久状况，取短暂状况的设计状况系数ψ=0.95。而SL 191—2008规范考虑到施工期（短暂设计状况）失事的概率反而高，安全度不宜降低，对持久状况和短暂状况的设计状况系数ψ均取为1.0。即对施工期，SL 191—2008规范所要求的可靠度大于DL/T 5057—2009规范。