1.11　环流尺度的环流（Munk解）

Stommel解不是很实际，其包含的底部摩擦使控制方程的阶有所增加，并去除了Sverdrup关系（只有在远离边界的地方才有效的非粘性解，它没有提供朝赤道方向流动水团向极地的返回）中的简并；从而使β效应能够产生一个西边界流。但由于深海中的底部摩擦通常被忽略，因此它不会很有效。同时，Stommel解与宽阔的东边界流相适应，东边界流是中纬度风驱动的涡流尺度环流的一部分。在数学上，这种情况的产生是因为最终的调和方程只允许满足无向边界的正常流条件；方程的阶不够高，因此它不足以适应边界附近具有零滑动的边界层的无滑动条件，这种缺陷可以通过引入水平摩擦项进行去除，该摩擦项使方程的阶增大并使它变为双调和的，因此它对无正常流条件和无滑动条件都能适应（Munk，1950），Walter Munk将“环流”一词引入海洋学术语中，并一直沿用下来。控制方程变为

然后可以如前面一样将其在垂直方向进行求积分，然后得到

这是一个双调和方程，它要求满足两个边界条件，即ψ=0和ψ/n=0，对应于朝封闭边界的零正常流以及边界处的无滑动。可以通过渐进匹配解法求解，将Sverdrup流与内部快速而狭窄的西边流和宽阔的向南的东边界流合并在一起。芒克解更接近实际，至少在平底线性海洋的情况下是这样。

在芒克解中，边界层厚度和西边界流的宽度可以通过对拉普拉斯中最大项和β项进行平衡（与前文一样，风应力分布在这种宽度下基本可以忽略不计）而得到：AM4ψ/x4～βψ/x，得到AM/δ4～β/δ，从而δ～（AM/β）1/3。可以将式（1.11.2）转换为两个耦合的调和方程构成的方程组，以进行迭代求取（第2章）

然而，获得芒克问题的解析解是很有益的，可以通过使用渐进匹配扩展方法得到，这种方法是流体力学中边界层流的常用方法。对于简单的风应力分布（纬向风应力的变化仅限于经线方向），则式（1.11.2）变为

再次忽略摩擦项，从而得到Sverdrup解：（ψ/x）=χ（y），将其与x=W东边界处ψ=0求积分得到

当然，该解不满足流所要求的任何其他边界条件，需要引入（1.11.4）保留粘性项的完整方程，以满足无滑动流条件和无正常流条件。该问题与流体力学中经典的边界层问题类似，其解也是相似的——都利用渐进匹配扩展方法。例如，正式的方法和数学运算在Dyke（1964），Cole（1968）以及Nayfeh（1973）有描述，不过在此只描述非正式的方法便足够。为此，首先使用空间变量的外长度尺度W和ψ的χ（y）进行标准化，得到

其中x0=x/W是外部变量，与黏性项相乘的较小参数ε=AM/（βW3）。注意，与前文中一样，流函数是通过χ（y）进行标准化的。从边界层理论来看，即使大部分流中的摩擦项很小，但是在近边界处不能忽略，它在解中没有产生非物理简并。渐进匹配扩展方法允许对仍保留解的特性的较小参数进行一个合适的摄动展开，Ludwig Prandtl本人用一个具有较小质量的阻尼质量弹簧系的实例对该方法进行了描述（Schlichting，1978），这类问题的特有性质是，一个较小的参数与最高阶导数项相乘，因而即使参数极其微小，在该域的某些情况下却不能将其忽略。对该域中的梯度进行调整从而使得该项可以与该域的其他项相比拟，虽然在其他地方可将其忽略掉。

通过求小参数ε1/3的摄动级数扩展对外部解进行求取

如何使用几次幂呢？在此问题中，该参数只不过是边界层厚度δ与长度尺度W的比值，这两个数都用之前估计得到的值，最后该参数的值减小到ε1/3，也可以对下文中控制内部解的式（1.11.9）的项进行研究，从而正式地将其推断出来。外部解必须满足外部边界条件，即x0=1时，ψ0=0，在此，零阶项是满足该条件的，即ε的极限趋于0。从而得出式（1.11.6）的无量纲形式，即

可以证明，对O（ε）来说该解是确实可行的，该外部解的内极限（x0→0）是-1到O（ε1/3）。注意，它不可能满足内部边界条件，即无正常流条件和x0=0时的零滑动条件，为了满足这两个条件，需要在外部解和内部边界条件之间插入一个边界层。现在可以对式（1.11.6）进行重标以使最高阶导数项成为一阶后能够得到保留，这是通过定义一个内部变量实现的，即xi=x0ε-1/3，选择的标定参数要能够使式（1.11.6）左侧圆括号中的第一项（它是外部参数x0中的最高阶导数）的阶与不包含ε的项的阶一致，从而得到

当然，该方程的形式用小参数ε1/3表示了内部解和外部解的摄动扩展。

当ε→0可以求式（1.11.8）的极限获得内部解，对于O（ε1/3）得到

内部解必须满足内部边界条件，即无正常流和西边界xi=0处无滑动：ψi/y=0=ψi/xi。内部解的外极限（xi→∞）也必须与外部解ψ0（0，y）=-1的内极限项匹配，因为与外部变量相比，边界层厚度很小，也就是说，外部解的渐进边界条件（xi→∞）是外部解的渐进（x0→0）极限。满足所有这些条件的内部解可以改为

可以简单地添加两个解以获得在各处均有效的解，并将它们相同的渐近线减去，对于O（ε1/3），则

加入维数的解为

对应的经向传输My和涡度ζ为

注意，绝对涡度ζ为负值，但是ζ/x为止值。

这是芒克问题的解析解，其形式见图1.11.1［改编自Mellor（1996）；也可参考Pedlosky（1996）］，边界层厚度与洋盆宽度之比，即参数ε的两个值分别为0.025和0.05。然而，解不满足东部边界的无滑动边界条件，因此不会产生这样的东边界流（对西边强化问题来说并不重要）。然而可以对东部边界实行渐进匹配扩展，但是对于零阶来说，解是不变的。而对于下一阶O（ε1/3）来说，无滑动边界条件是满足的，因为零阶解的不匹配误差是O（ε1/3），所以，可以求得产生一个窄的西边界流和一个宽的东边界流的芒克解（Mellor，1996）。

渐进匹配扩展方法也可以用在Stommel问题中。这里的小参数要得到摄动变量ε的一阶近似解，可以利用上述中提到的步骤，首先使用外部长度尺度W和ψ对式（1.10.3）中的空间变量进行标准化，从而得到用外部变量x0=x/W标准化后的方程为

其中x0=x/W，ε=c/（βW）。忽略ε项后得到的O（ε）阶外部解为ψ0（x0）=x0-1，在东部边界x0=1上满足边界条件，而在西部边界x0=0上则不然。在内部极限x0→1时，外部解为-1。其内部解可通过重定标空间变量使xi=x0ε-1而得到，则式（1.10.3）变为

注意，在方程的左侧，为了与第二项平衡，定标保留了圆括号中的最大项，即第一项。在ε→0时的极限为

从而在西部边界处满足边界条件的O（ε）阶内部解为ψi（xi）=b（e-xi-1）。外部极限xi→∞时解为-b，为了与外部解的内部极限相匹配，b必须为1，从而ψi（xi）（e-xi-1）。匹配内部解和外部解或者仅添加外部解和内部解并消去相同的渐进线-1，就可以正确地得到两个边界条件都满足的O（ε）阶解

从而加入维度后得到

可以用涡度守恒对西部强化进行解释，为此考虑方程（1.11.3），它是涡度ζ的一个简单守恒方程，可以整个洋盆即在x=0到x=W上求积分（上下限处的ψ都为0），得到

对于南向（北向）的Sverdrup传输或者负的（正的）风应力旋度来说，方程右侧为负（正）。边界流的返回流是北向（南向）的，在边界处为零，但是远离边界的地方达到最大值，因此在x=0和x=W处ζ/x都为正（负）。所以总涡度平衡的唯一保留方式是，在x=0处ζ/x达到的较大值（而在x=W处可忽略）足以平衡由风应力旋度引起的积分涡度，这要求无论Sverdrup传输是朝哪个方向，都要有一个狭窄、强烈的西边界流和一个扩散、微弱的东边界流。

由于解的线性关系，Stommel解和Mank解都具有南北对称性，这些解对改变线性的风驱动环流问题的数值解是有用的，不过存在局限性，无论在西部边界还是东部边界，Stommel解都不满足无滑动条件，然而与Stommel解相比，在这方面Mank解则更为真实。这两个解的另一特征是，忽略平流效应后会得到各纬度处的局部涡度平衡，而这也不是很真实，这两个解的线性特性还使不违背线性假设的狭窄西边界流的获得变得困难。

有关的雷诺数是Re=Uwδ/AM=Uw/βδ2，对于宽度为100km的边界流来说典型值约为1，Uw的标准值在本章1.9节中得到，在最大速度条件下，Re能比该值大几倍，此时惯性的影响几乎可以忽略不计，对于Stommel解也是如此。因此对于摩擦系数的似真值，该可调参数本质上是未知的，它们都违背了线性特性，而如果选择的参数不违背线性，则它们将得到宽的、逐渐衰弱的西边界流，这些困难促使了对不忽略非线性惯性项的解进行研究，Charney（1955）研究了纯惯性解，其中的西部边界层的厚度为δI=（U/β）1/2，该解与Stommel解（1.11.16）类似，但是a=（β/U）1/2，但是这个解是不完整的，而且只对副热带（副极地）环流的南（北）半部分有效（Pedlosky，1996），它不满足西部边界处的无滑动条件，为了使之得到满足，必须在其中嵌入一个黏性次层（Pedlosky，1996），注意雷诺数Re=（δ1/δ）2。

包含涡度平流项和式（1.11.2）的完全非线性涡度方程变成

对于非线性的情形，不再是南北对称的，最大速度向北移动。现在，非线性涡度平流项可以对β项进行平衡，使得其中|ψ|表示Sverdrup传输的大小从而然而，摩擦项也是很重要的，其大小有可能与平流项一样。

式（1.11.20）的求解需要用数值方法。虽然摩擦系数的恰当值以及西部边界处的恰当条件（有滑动还是无滑动，或者一些其他条件，比如子格网尺度运动）都有很多不确定性，它们都没有得到明确解决，对这些问题的讨论不属于本书的范畴（Pedlosky，1996），我们将仅仅描述一个来自Ierely（1987）的数值模型及非线性的Munk问题，其表示了西北角的再循环和完全非线性问题的南北对称特性（图1.11.2），目的就是为了说明非线性所带来的重大差别，这种差别即使对于简单的矩形、平底形以及均匀海洋也是存在的。

虽然Stommel解和Munk解非常具有典型意义，但它们只是均匀、平底海洋的最简单情形下的线性解，对于真实的海洋来说更为复杂。边界流中的流体是完全非线性的，因此非线性项非常重要。更为重要的是，地形是变化的，其变化与水平密度梯度的变化一致，表现为其本身在流上存在的扭矩。此外，真实的风力很少为了分析的方便而假设的力那样简单，它具有一个完整的时间尺度和空间尺度范围，这种尺度范围并不适合于分析模型。最后，温盐效应产生了海洋中的密度梯度，它促成了西边界流中的传输。从分析来看，该问题是很难处理的，而数值解却是必不可少的。实际洋盆中海洋环流和实际表面应力的真实模拟（包括动量通量和浮力通量）是海洋数值模型的主要任务。不过，直到最近，计算机计算能力的缺陷使得对狭窄西边界流进行处理时分辨率不够高，因此得不到流域尺度环流的真实描述。直到20世纪90年代，才有了每秒几十亿次浮点运算速度的计算机，从而使得洋盆模型变得越来越真实（Semtner，1995；Fu和Smith，1996）。