1.12　地形之上的正压流

海洋底部地形在海洋环流中扮演着非常重要的角色，它是人们在学术上对平底洋盆感兴趣的一个原因，对于正压流来说这种影响特别大，而密度分层的存在可能会削弱这种影响。假设在密度均匀的情况下对正压流以及地形对其影响进行探究，在这种情况下，不存在水平密度梯度，因此不存在垂直剪力，而且远离摩擦层的地方垂直方向上的速度是一样的，它完全受到海面坡度的驱动，因此由式（1.3.24）得其中梯度算子是二维的，上方横线表示只考虑水平梯度。

通过在控制方程中保留底部坡度，可以得到地形的影响。因此，在垂直方向上从z=-H到z=η对连续性式（1.9.1）进行积分，利用自由面上无流动和底的非渗透性这两个边界条件，得到

对于非均匀底部和自由面偏转的情形以及η/t=0的稳定情形，得到的方程与式（1.9.2）一样，而在整个水柱的z=-H到z=η上定义的传输则不同。Rossby数较小的流的线性动量方程式（1.9.1）也可以进行类似的积分，得到

忽略海平面偏转η对水柱深度的贡献，除以H，对η进行交叉区分和去除，并利用式（1.12.1），得到

其中f/H是位势涡度。如果底部摩擦可以忽略（对于深海来说是没问题的），也就是不存在外部（风）应力的情况下，则海洋中的正压流将满足f/H等值线，流和传输将与这些等值线平行。从位势涡度的角度考虑的话，这是不足为奇的，因为如果相关的涡度可以忽略的话（对于Rossby数较小的流来说确实可忽略），则正压流的位势涡度就是f/H，不存在外扭矩的流体块满足这一点。因此，流体块必然满足f/H等值线，因为地形的变化远比行星涡度的变化大，这意味着流与深度等值线平行。

在存在外扭矩的情况下，比如由除以H的风应力（不仅只有风应力）的旋度产生的扭矩，式（1.12.3）表明，与f/H等值线垂直的流分量取决于这一扭矩。当然，它要求一个涡度输入以改变位势涡度以将流偏离f/H等值线。

将其扩展到非线性流比较困难，但是可以通过查看涡度守恒得到一些指导。对于非线性流的情况，流的相关涡度可以与行星涡度f=2Ωsinθ相比拟，因此不能将其忽略。所以，需要用总涡度或绝对涡度（f+ζ）替换f，因为在正压流中不存在外扭矩，流体块的守恒量是位势涡度，用总涡度对其进行定义

在存在外扭矩的情况下，对该方程进行泛化，得到稳定情形下的方程

该关系是式（1.12.3）扩展到Rossby数为非零的情况。