项目三 测量误差基本知识

内容提要 本项目共分六个任务，主要介绍了测量误差的来源及分类，偶然误差的特性，衡量精度的指标，观测值函数的中误差——误差传播定律，等精度观测的最或是值计算及精度评定以及不等精度观测的最或是值计算及精度评定。本项目的重点内容是：误差的定义、分类、特性，衡量精度的指标（中误差、相对误差和允许误差的概念及计算），误差传播定律，等精度观测的最或是值计算及精度评定。本项目的难点是：误差传播定律的应用，中误差的计算，权的确定。

在一定的外界条件下对某量进行多次观测，尽管观测者使用精密的仪器和工具，采用合理的观测方法，以及认真负责的工作态度，但观测结果之间往往还是存在着差异。这种差异说明了观测中存在误差。观测误差的产生是不可避免的。本章主要介绍产生误差的基本原因，分析误差的性质，确定判断观测成果质量的标准以及如何求得观测值的最可靠值等。

任务一 测量误差的来源及分类

一、测量误差及其来源

任何观测值都包含误差。例如：水准测量闭合路线的高差总和往往不等于零；观测水平角两个半测回测得的角值不完全相等；距离往返丈量的结果总有差异。这些都说明观测值中有误差存在。

观测对象客观存在的量，称为真值，通常用X表示。如三角形内角和的真值为180°。每次观测所得的数值，称为观测值，通常用l_i（i=1，2，…，n）表示。观测值与真值的差数，称为真误差，通常用Δ_i表示，有

产生观测误差的因素是多方面的，概括起来有以下三个：

（1）观测时由于观测者的感觉器官的鉴别能力存在局限性，在仪器的对中、整平、照准、读数等方面都会产生误差。同时，观测者的技术熟练程度也会对观测结果产生一定影响。

（2）测量中使用的仪器和工具，在设计、制造、安装和校正等方面不可能十分完善，致使测量结果产生误差。

（3）观测过程中的外界条件，如温度、湿度、风力、阳光、大气折光、烟雾等时刻都在变化，必将对观测结果产生影响。

通常把上述的人、仪器、客观环境这三种因素综合起来称为观测条件。

因受上述因素的影响，测量中存在误差是不可避免的。误差与粗差是不同的，粗差是指观测结果中出现的错误，如测错、读错、记错等，通常所说的 “测量误差″ 不包括粗差。

测量中，一般把观测条件相同的各次观测，称为等精度观测；观测条件不同的各次观测，称为非等精度观测。

二、测量误差的分类

根据观测误差的性质不同，观测误差可分为系统误差和偶然误差两类。

（一）系统误差

在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，若出现的误差在数值、符号上保持不变或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。

系统误差是由仪器制造或校正不完善，观测者生理习性及观测时的外界条件等引起的。如用名义长度为 30 m而实际长度为 29.99 m的钢卷尺量距，每量一尺段就有将距离量长1cm的误差。这种量距误差，其数值和符号不变，且量的距离愈长，误差愈大。因此，系统误差在观测成果中具有累计性。

1.系统误差的特性

（1）同一性。

（2）单向性。

（3）累积性。

系统误差在观测成果中的累积性，对成果质量影响显著。但它们的符号和大小又有一定的规律性，因此，可在观测中采取相应措施予以消除。

2.系统误差消除的方法

（1）测定仪器误差，对观测结果加以改正。如进行钢尺检定，求出尺长改正数，对量取的距离进行尺长改正。

（2）测前对仪器进行检校，以减少仪器校正不完善的影响。如水准仪的i角检校，使其影响减到最小限度。

（3）采用合理观测方法，使误差自行抵消或削弱。如水平角观测中，采用盘左、盘右观测，可消除视准轴误差和横轴误差等。

（二）偶然误差

在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，若出现的误差在数值、符号上有一定的随机性，从表面看并没有明显的规律性，这种误差称为偶然误差。

偶然误差是许许多多人们所不能控制的微小的偶然因素（如人眼的分辨能力、仪器的极限精度、外界条件的时刻变化等）共同影响的结果。如用经纬仪测角时的照准误差；水准测量中，在标尺上读数时的估读误差等。

在测量过程中，通常偶然误差和系统误差是同时出现的。由于系统误差具有一定的规律性，只要采取相应措施便可加以消除或削弱。偶然误差则不能完全消除，只能采取适当的方法削弱他的影响。

除上述两类性质的误差外，还可能发生错误，例如，测错、记错、算错等。错误的发生是由于观测者在工作中粗心大意造成的，又称粗差。凡含有粗差的观测值应舍去不用，并需重测。

为了提高观测成果的质量，同时也为了发现和消除错误，在测量工作中，一般都要进行多于必要的观测，称多余观测。例如，测量一平面三角形的内角，只需要测得其中的任意两个角度，即可确定其形状。但实际上也测出第三个角，以便检校内角和，从而判断结果的正确性。

任务二 偶然误差的特性

偶然误差产生的原因纯系随机性的，只有通过大量观测才能揭示其内在的规律，这种规律具有重要的实用价值。现通过一个实例来阐述偶然误差的统计规律。

在相同的观测条件下，对358个三角形独立地观测了其三个内角，每个三角形其内角之和应等于它的真值180°，由于观测值存在误差而往往不相等。根据式（3-1）可计算各三角形内角和真误差（在测量工作中称为三角形闭合差）。

式中 （l₁+l₂+l₃）_i——第i个三角形内角观测值之和。

现取误差区间的间隔dΔ=3″，将这一组误差按其正负号与误差值的大小排列。出现在基本区间误差的个数称为频数，用K表示，频数除以误差的总个数n称为频率（K/n），也称相对个数。统计结果见表3-1。

从表3-1中可以看出：小误差出现的频率较大，大误差出现的频率较小；绝对值相等的正负误差出现的频率相当；绝对值最大的误差不超过某一个定值。在其他测量结果中也显示出上述同样规律。通过大量实验统计结果表明，特别是当观测次数较多时，可以总结出偶然误差具有如下特性：

（1）有限性。在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。

（2）单峰性。绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多。

（3）对称性。绝对值相等的正负误差出现的机会相等。

（4）抵偿性。由对称性可导出，偶然误差的算术平均值，随观测次数的无限增加而趋向于零，即

式中 ［Δ］——误差总和的符号。

换言之，偶然误差的理论平均值为零。

图3-1 直方图

为了充分反映误差分布的情况，除了上述用表格的形式（称误差分布表）表示，还可以用直观的图形来表示。如图3-1中以横坐标表示误差的大小，纵坐标表示各区间误差出现的相对个数除以区间的间隔值。这样，每一误差区间上方的长方形面积，就代表误差出现在该区间的相对个数。例如图中有阴影的长方形面积就代表误差出现在+6″～+9″区间内的相对个数0.092。这种图称为直方图，其特点是能形象地反映出误差的分布情况。

如果继续观测更多的三角形，即增加误差的个数，当n→∞时，各误差出现的频率也就趋近于一个完全确定的值，这个数值就是误差出现在各区间的概率。此时如将误差区间无限缩小，那么图3-1中各长方条顶边所形成的折线将成为一条光滑的连续曲线，如图3-2所示。这些曲线称为误差分布曲线，也叫正态分布曲线。曲线上任一点的纵坐标y均为横坐标Δ的函数，其函数形式为

式中 e——自然对数的底，e=2.7183；

σ——观测值的标准差，其几何意义是分布曲线拐点的横坐标（将在下节讨论），其σ²称为方差。

图3-2中有三条误差分布曲线Ⅰ，Ⅱ及Ⅲ，代表不同标准差σ₁，σ₂及σ₃的三组观测。由图中看出，曲线Ⅰ较高而陡峭，表明绝对值较小的误差出现的概率大，分布密集；曲线Ⅱ、Ⅲ较低而平缓，分布离散。因此，前者的观测精度高，后两者则较低。由误差分布的密集和离散程度，可以判断观测的精度。但是求误差曲线的函数式比较困难，通常由分布曲线的标准差来比较精度。曲线越陡，标准差越小。如图σ₁＜σ₂＜σ₃，说明曲线Ⅰ的精度最高，曲线Ⅱ的精度其次，曲线Ⅲ的精度最低。

图3-2 三组观测分布曲线

1.偶然误差削弱的方法

（1）适当提高仪器等级。

（2）增加多余观测，根据闭合差评定测量精度和分配闭合差。

（3）求最可靠值。

2.各种误差处理原则

（1）粗差（严格意义上不能叫误差）——细心，多余观测，检核舍弃。

（2）系统误差——找出规律，加以改正。

（3）偶然误差——多余观测，制定限差。

任务三 衡量精度的指标

由于测量误差不可避免地存在，那么就必须了解这些误差对测量成果的影响，考核测量成果是否满足工程建设的要求。由于误差表现为偶然性，不能根据个别误差的大小来评定精度，就需要运用合理的方式建立统一的评定精度的标准。

一、中误差

观测误差的标准差σ，其定义为

用式（3-5）求σ值要求观测数n趋近无穷大，实际上很难办到。在实际测量工作中，观测数总是有限的，一般采用下述公式

式中 m——中误差；

［ΔΔ］——一组同精度观测误差自乘的总和，也可以写成∑Δ²；

n——观测数。

比较式（3-5）与式（3-6）可以看出，标准差σ与中误差 m的不同在于观测个数的区别，标准差为理论上的观测精度指标，而中误差则是观测数 n为有限时的观测精度指标。所以，中误差实际上是标准差的近似值，统计学上又称估值，随着 n的增加，m将趋近σ。

【例3-1】 设有两组同学观测同一个三角形，每组的三角形内角和观测成果见表3-2，各观测10次。试问哪一组观测成果精度高？

计算过程见表3-2，先算Δ_i，再算，求和，再根据观测数n计算中误差。其结果如下

由此可以看出第一组观测值比第二组观测值的精度高，因为第二组观测值中有较大的误差，用平方能反应较大误差的影响。因此，测量工作中采用中误差作为衡量精度的标准。

特别提示：某个观测值的真误差小，并不能说明它的精度就高，因为精度高低是由中误差来衡量的。

二、相对误差

在测量工作中，有时用中误差还不能完全表达观测结果的精度。例如，用钢卷尺丈量200m和40m两段距离，量距的中误差都是±2cm，但不能认为两者的精度是相同的，因为量距的误差与其距离的长短有关。为此，用相对中误差描述观测值的精度。相对中误差是观测值的中误差与观测值的比值，通常用分子为1的分数形式表示。上述例子中，前者的相对中误差为，而后者则为，前者分母大比值小，量距精度高于后者。

在距离测量中，有时也采用往返观测的较差与观测值平均值之比来衡量精度，称为相对误差。

三、允许误差

中误差是反映误差分布的密集或离散程度的，它代表一组观测值的精度高低，不是代表个别观测值的质量。因此，要衡量某一观测值的质量，决定其取舍，还要引入允许误差的概念。允许误差又称为极限误差，简称限差。偶然误差的第一特性说明，在一定条件下，误差的绝对值有一定的限值。根据误差理论可知，在等精度观测的一组误差中，误差落在区间（-σ，+σ）、（-2σ，+2σ）、（-3σ，+3σ）的概率分别为

式（3-7）说明，绝对值大于两倍中误差的误差，其出现的概率为4.6%，特别是绝对值大于三倍中误差的误差，其出现的概率仅0.3%，已经是概率接近于零的小概率事件，或者说是实际上的不可能事件。因此在测量规范中，为确保观测成果的质量，通常规定三倍或两倍中误差为偶然误差的容许误差或限差，即

超过上述限差的观测值应舍去不用，或返工重测。

任务四 观测值函数的中误差——误差传播定律

上一节根据一组等精度独立观测值的真误差计算观测值的中误差。但是在测量工作中，有些未知量往往不能直接测得，而是由某些直接观测值通过一定的函数关系间接计算而得。例如，水准测量中，测站的高差是由测得的前、后视读数求得的，即h=a-b。式中高差 h是直接观测值a、b的函数。由于观测值a、b客观上存在误差，必然使得 h也受其影响而产生误差。阐述观测值中误差与函数中误差之间关系的定律，称为误差传播定律。现就线性与非线性两种函数形式分别讨论如下。

1.线性函数

线性函数的一般形式为

式中 x₁，x₂，…，x_n——独立观测值，其中误差分别为m₁，m₂，…，m_n；

k ₁，k₂，…，k_n——常数。

设函数Z的中误差为m_Z，则（略去推导）

2.非线性函数

非线性函数即一般函数，其形式为

对函数取全微分，得

因为真误差很小，可用真误差Δx_i代替dx_i，得真误差关系式

式中，2，…，n）——函数对各变量所取的偏导数，以观测值代入，所得的值为常数。

因此，式（3-13）成为线性函数的真误差关系式，仿式（3-10），得函数Z的中误差为

3.误差传播定律的应用

应用误差传播定律求观测值函数的中误差时，可归纳为如下三步：

（1）按问题的要求写出函数式

（2）对函数式求全微分，得出函数的真误差与观测值真误差的关系式

式中——用观测值代入求得的值。

（3）写出函数中误差与观测值中误差之间的关系式

必须指出：只有自变量之间相互独立，即观测值必须是独立的观测值，才可以进一步写出中误差关系式。否则应作并项或移项处理，使其均为独立观测值为止。用数值代入上式时，注意各项的单位要统一。

图3-3 水准测量平差

【例3-2】 自水准点BM₁向水准点BM₂进行水准测量（图3-3），设各段所测高差分别为h₁=+3.852±5（mm）；h₂=+6.305±3（mm）；h₃=-2.346±4（mm）。求BM₁、BM₂两点间的高差及中误差（其中，后缀±5mm、3mm、4mm为各段观测高差的中误差）。

解：（1）列函数式：BM₁、BM₂之间的高差h=h₁+h₂+h₃=7.811（m）。

（2）写出函数的真误差与观测值真误差的关系式：Δ_h=Δ_h1+Δ_h2+Δ_h3，可见各系数k₁、k₂、k₃ 均为1。

（3）高差中误差。

【例3-3】 在三角形（图3-4）中，观测得斜边S为100.000m，其观测中误差为3mm，观测得竖直角v为30°，其测角中误差为3″，求高差h的中误差。

解：（1）列函数式

（2）写出函数的真误差与观测值真误差的关系式

图3-4 三角形示意图

（3）高差中误差

任务五 等精度观测的最或是值计算及精度评定

在相同的观测条件（人员、仪器、观测时的外界条件）下进行的观测，称为等精度观测。在不同的观测条件下进行的观测，称为不等精度观测。

一、等精度观测的最或是值计算

一个被测量的物理量，如一个角度、一段距离、两点的高差等，它们的真值是无法知道的，只有经过多次重复测量，才能得到近似于真值的可靠值，称为最或是值，即似真值。

设在相同的观测条件下，对某未知量X进行了n次观测，观测值为l₁，l₂，…，l_n

将上式求和后除以n，得

当n→∞时，根据偶然误差第（4）特性

则

即n趋近无穷大时，算术平均值即为真值。

在实际工作中，观测次数总是有限的，所以算术平均值不可视为所求量的真值；但随着观测次数的增加，算术平均值是趋近于真值的，故认为是该值的最可靠值（最或是值）。

最或是值与观测值之差称为改正数v_i。

求和

即改正数总和为零。可用式（3-17）作计算中的检核。

二、用改正数计算观测值的中误差

前面给出了评定精度的中误差公式

式中

真值X有时是知道的，例如三角形三个内角之和为180°，但更多情况下，真值是不知道的。因此，真误差也就无法知道，故不能直接用上式求出中误差。观测值的最或是值可以求得，观测值的改正数v_i根据式（3-16）也可以求得，所以，实际工作中可以利用观测值的改正数来计算观测值的中误差。公式推导如下

将上两式合并得

令

则

上式等号两边平方求和再除以n，得

得

其中

当n→∞时，上式右端第二项趋于0，则

将上式代入式（3-18）得

式（3-19）为同精度观测中用观测值的改正数计算观测值中误差的公式，称为白塞尔公式。

【例3-4】 对一段距离进行5次观测，其观测结果见表3-3，求该组距离观测值的中误差。

解：

三、等精度观测的最或是值（算术平均值）的中误差

由前述可知，等精度观测的最或是值就是算术平均值，要评定它的精度，可以把算术平均值看成是各个观测值的线性函数。

【例3-5】 算术平均值，已知：各观测值的中误差为m₁=m₂=…=m_n=m，求最或是值 （算术平均值）的中误差。

解：将算术平均值表达式求全微分

根据误差传播定律有

特别提示：

1.由式（3-20）可以看出，算术平均值的中误差一定小于单次观测值的中误差，即平差后精度一定会有所提高。

2.观测次数越多，平差值的中误差越小，精度越高。

【例3-6】 设对某距离丈量了6次，其结果为140.324，140.319，140.320，140.311，140.301，140.316，见表3-4。试求其结果的最或是值、算术平均值中误差及其相对中误差。

解：首先计算最或是值（算术平均值）

算术平均值中误差

相对中误差

【例3-7】 用三角形闭合差求测角中误差m（误差传播定律的逆向应用，先利用真误差求函数值的中误差，再推求观测值的中误差），已知各三角形内角和见表3-5，并计算出闭合差。

解：利用真误差求函数值的中误差 （三角形闭合差的中误差），得±7.0″

列函数式为

真误差（闭合差）Δ=A+B+C-180°（三个内角A、B、C为等精度观测）

设

则

测角中误差

任务六 不等精度观测的最或是值计算及精度评定

1.权的概念

前面讨论的都是等精度观测，但在实际工作中，还会遇到不等精度观测的情况。所谓不等精度观测是指在不同条件下进行的观测。这时各观测值的可靠程度不同，即精度不同。因此不能采用算术平均值作为最终结果，需要引进“权”的概念。权是用来比较各观测值可靠程度的一个相对性数值，常用字母P表示。权越大表示精度越高。

例如在相同条件下分两组对某一水平角进行观测，第一组观测4个测回，第二组观测6个测回。并设一测回观测值的中误差m=±2.0″，则其算术平均值的中误差分别为

由此可见，第二组平均值的中误差小，结果比较可靠，应有较大的权。因此可以根据中误差来规定观测结果的权。权的计算公式为

式中 λ——任意常数。选择适当的λ，可使权成为便于计算的数，例如选第一组观测次

数为λ，即λ=4，则

在水准测量中，由于水准路线越长，误差越大，故观测值的权与水准路线的长度成反比。例如设每公里水准路线的观测中误差为m，若观测L公里，其中误差为，设λ=m²，则其权为。

2.不等精度观测的平均值

对未知量X进行了n次不同精度观测，各观测值为L₁，L₂，…，L_n其相应的权P₁，P₂，…，P_n，按加权平均值的方法，求算未知量的最或是值为

3.单位权中误差与加权平均值的中误差

权是表示观测值的可靠性的相对指标，因此，可取任一观测值的权作为标准，以求其他观测值的权。如取，则

等于1的权称为单位权，它所对应的观测值中误差称为单位权中误差，设单位权中误差为μ，则权与中误差的关系为

如果用观测值改正数计算单位权中误差，可按式（3-23）计算

在式 （3-22）中，均为常数，如已知各观测值L₁，L₂，…，L_n的中误差分别为m₁ ，m₂ ，…，m_n，则根据误差传播定律，可推算出加权平均值的中误差为

因为

所以

代入上式得

则加权平均值的中误差为

【例3-8】 某角度采用不同测回数进行三组观测，每组的观测值列于表3-6，试求该角度的加权平均值及其中误差。

解：

加权平均值为

习题

1.测量误差的来源有哪些方面？

2.偶然误差和系统误差有什么不同？各有什么特点？

3.在相同的观测条件下，对同一量进行了若干次观测，问这些观测值的精度是否相同？此时能否将误差小的观测值理解为比误差大的观测值的精度高？

4.中误差和相对中误差是怎么定义的？

5.设在相同的观测条件下，对一距离进行了6次观测，其结果为341.752m、341.784m、341.766m、341.773m、341.795m、341.774m。试求其算术平均值、算术平均值中误差和相对中误差。

6.在水准测量中，若水准尺上每次读数中误差为±2.0mm，则每站高差中误差是多少？

7.若一方向的观测中误差为±6″，且每个角度都是作为两个方向之差求得的，求五边形中5个内角和的中误差。

8.用经纬仪观测某角4个测回，如果一个测回测角中误差为±6″，求该角的中误差。

9.在同精度观测中，对某角观测4个测回，得其平均值的中误差为±15″，若使平均值的中误差小于±10″，至少应观测多少测回？

10.x、y、z的关系式为z=3x+4y，现独立观测x、y，它们的中误差分别为m_x=±3mm，m_y=±4mm，求z的中误差m_z。

图3-5 D点示意图

11.如图3-5所示，D点高程分别由A、B、C求得，各为39.222m，39.285m，39.274m，求D点高程及中误差。