1.3　非线性和异方差

描述序列yt与解释变量xt之间关系的简化形式是，

yt=g（xt-j，j≥1，εt-j，j≥0）　（1-8）

其中，xt通常包含yt-k，k≥0和其他变量。然而，一个更为实用的、呈现外部性的改良形式是：

yt=g（It-1）+h（It-1）εt　（1-9）

其中，It是信息集xt-j，εt-j，j≥0。如果yt是向量，那么第k个元素的表达式是：

ykt=gk（It-1）+hk（It-1）εkt　（1-10）

其中，It为xt-j，εt-j，j≥0，并且xt包括yt。

如果hk（It-1）不是常数，那么序列yk存在异方差，否则就是同方差。如果g（It-1）是It-1的线性函数，就可以认为yt具有“均值线性”。如果h（It-1）也是常数，那么yt在It-1项上就具有完全线性，否则就是具有非线性。如果h=1且y恰好等于x，那么It：yt-j，j≥0，yt就可以写成：

yt=εt+f（εt-j，j≥0）

如果f()是线性函数，那么yt就是改良的线性过程。在理论上这一定义是有用的，但是由于εt通常是不可观测的，所以定义的实用性很小。

异方差的一个例子是：

这是自回归条件异方差（ARCH）的一个简单形式，Engle（1982）讨论过这一模型。显然，ARCH模型可以是均值线性，但不是完全线性。这会导致线性检验变得复杂化，我们将在第6章讨论这一问题。

如果yt是xt-1的完全线性函数，那么yt的一些同期变换形式，比如，关于是均值非线性的。由此可见，线性不是一个非常强健的概念。应变量的同期变换，特别是采用logyt，而不是yt，不仅非常常见，还很实用。我们在这里不详细讨论这种类型的非线性。本书将研究利率及其预测的问题。以后的章节我们将讨论解释变量的变换问题。

本质上，模型（1-8）和（1-9）都是简化模型。可以认为，经济变量源于经济行为者的决策，这需要花费时间来获取必要的信息决策并实施。所以，解释变量xt-1的产生和yt的形成之间存在时间差。当然，数据产生时间（严重）短于收集实际数据的时间，从而就可能导致从一个时期到另一个时期的时间累积问题，造成系统的联立性，当期的xt会影响当期的yt。因此，在上述的模型结构中，xt可能被认为属于信息集It-1。在线性模型中，许多著名的解释模型都运用即期变量的信息，而且非线性模型也存在此类问题。本书将用到诸如（1-8）和（1-9）的模型。非线性模型的时间累积效应将在8.1节进行简要讨论。